Ahora un rayo se refracta en una superficie esférica . La ecuación de Snell se transforma en: n1.(q1+F)=n2.(q2+F) y haciendo de nuevo la aproximación F~tan(F)=y1/R tenemos n1.(q1+y1/R)=n2.(q2+y1/R) y reorganizando obtenemos: q2=-(D/n2).y1+(n1/n2).q1 con D=(n2-n1)/R; como la refracción ocurre en un punto podemos afirmar que y2= y1 o que y2 = y1 + 0

Estas ecuaciones se pueden escribir como un producto matricial así:

En esta operación el vector (y1,q 1) se transforma en (y2,q 2) al aplicarle la transformación representada por la matriz de refracción

Para una lente real se debe aplicar una refracción en la primera superficie, propagación hasta la segunda superficie y de nuevo refracción en la segunda superficie. el resultado es:

con D=(n2-n1)/R1 y D2=(n3-n2)/R2.  Para una lente delgada (e1 = 0) si además consideramos n1=n3=1; y a n2 de la lente llamémoslo n. La matriz que representa la lente se simplifica a:
       con 
Insertando el foco de la lente en la matriz de refracción y ampliándola para ser consistentes con la matriz de propagación tenemos: 

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