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GEOMETRY - GEOMETRIA
ORIGINE DELLA GEOMETRIA
La geometria è la scienza che studia la forma e la grandezza dei corpi, senza interessarsi delle altre proprietà quali la natura della sostanza di cui sono costituiti, il loro colore, ecc.
Il vocabolo "geometria" significa "misura della terra" e la scienza della geometria ha origini antichissime.
LO STUDIO RAZIONALE DELLA GEOMETRIA
I più antichi popoli, gli Egiziani, gli Assiro-Babilonesi ecc. studiarono la geometria basandosi su casi pratici, cioè in modo "intuitivo" senza giustificare con ragionamenti le varie proprietà geometriche.
Per primi gli antichi greci vollero dimostrare la verità delle loro scoperte geometriche basandosi non su verifiche pratiche, ma su ragionamenti teorici fondati sulle proprietà generali di figure ideali prese in esame, usando il così detto "metodo razionale".
IL PUNTO
Il punto non è costituito da materia, è privo di estensione e, come le linee e le superfici, è un ente ideale che si può solo immaginare.
Il punto si deve supporre senza dimensioni, cioè senza lunghezza, larghezza, spessore.
I punti si indicano con le lettere maiuscole: A, B, C, …
Un insieme di punti costituisce una figura geometrica.
LA RETTA
La retta si deve supporre di lunghezza infinita e senza altre dimensioni (cioè senza larghezza e senza spessore).
Una retta si indica con una lettera minuscola oppure con due lettere maiuscole indicanti due punti distinti giacenti sulla retta.
Una retta, come qualsiasi altra linea, è costituita da infiniti punti.
IL PIANO
Il piano si deve supporre esteso senza limiti in due dimensioni (lunghezza e larghezza), ma senza alcun spessore.
I piani si indicano con lettere minuscole dell'alfabeto greco: a , b , c , d , …
Ad un piano appartengono infiniti punti, infinite linee e infinite rette.
Una figura geometrica si dice piana quando tutti i suoi punti appartengono ad uno stesso piano.
Le frasi che esprimono proprietà che si ammettono senza dimostrazione costituiscono i postulati.
Alcuni esempi: "esistono infiniti punti", "per due punti distinti passa una ed una sola retta", "per un punto passano infinite rette".
Ogni figura geometrica si può spostare nello spazio senza che si deformi, cioè sena che cambino la sua forma e le sue dimensioni.
Due figure si dicono uguali quando è possibile farle coincidere, con un movimento che non le deformi.
1. Ogni figura è uguale a se stessa (proprietà riflessiva dell'uguaglianza).
2. Se una figura è uguale ad una seconda, anche la seconda è uguale alla prima (proprietà simmetrica dell'uguaglianza).
3. Se una figura è uguale ad una seconda e questa è uguale ad una terza, anche la prima e la terza figura sono uguali (proprietà transitiva dell'uguaglianza).
4. Una figura non può essere uguale ad una sua parte.
I teoremi sono proprietà geometriche che accettiamo come vere solo in seguito ad un ragionamento.
Le frasi che esprimono tali proprietà geometriche sono gli enunciati dei Teoremi, che constano a loro volta di due parti:
1. L'ipotesi, che esprime le proprietà che supponiamo vere.
2. La tesi, che esprime ciò che vogliamo dimostrare.
Se si invertono tra loro l'ipotesi e la tesi di un teorema può capitare di ottenere un altro teorema, detto "teorema inverso".
Però se è vero un teorema, non è sempre vero il suo inverso.
Si chiamano corollari le conseguenze immediate di teoremi già dimostrati o di postulati.
1. Ogni retta contiene infiniti punti.
2. Per due punti passa una ed una sola retta.
3. Per un punto passano infinite rette.
4. Un qualsiasi punto di una retta la divide in due parti che non hanno altri punti in comune.
Si chiama semiretta ciascuna delle due parti in cui una retta è divisa da un punto.
Tale punto è detto origine della semiretta.
Tutte le semirette sono uguali.
1. Si dice segmento la parte di retta compresa tra due suoi punti, inclusi i punti stessi (detti estremi).
2. Il segmento che unisce due punti è detto distanza tra tali punti.
3. Si dicono consecutivi due segmenti aventi un estremo in comune (e nessun altro punto in comune).
4. Due segmenti consecutivi si dicono adiacenti se appartengono alla stessa retta.
Due segmenti si dicono uguali quando è possibile farli coincidere esattamente, con un movimento che non li deformi.
Per sommare due segmenti, sul prolungamento del primo segmento, costruiamo un segmento pari al secondo in modo che coincida un loro estremo. Il segmento che avrà per estremi gli estremi non comuni è la somma dei segmenti dati.
Per ottenere la differenza di due segmenti si trasporta il segmento minore in modo che coincidano un estremo e che l'altro estremo del segmento minore appartenga al segmento maggiore. Il segmento che avrà per estremi gli estremi non comuni di tali segmenti è la differenza dei segmenti dati.
Somme o differenze di segmenti rispettivamente uguali sono uguali.
Dati tre o più segmenti, per ottenere la loro somma, basta sommare i primi due e poi sommare il segmento ottenuto col terzo segmento e così di seguito.
Ciascuna retta di un piano lo divide in due parti.
Si dice semipiano ciascuna delle due parti in cui una retta divide un piano.
Tale retta è detta origine dei due semipiani.
Tutti i semipiani sono uguali.
Si dice angolo ciascuna delle due parti in cui due semirette, aventi stessa origine, dividono il piano.
Le due semirette sono dette lati dell'angolo, il loro punto in comune è il vertice.
L'angolo che non contiene i prolungamenti dei suoi lati è detto convesso.
L'angolo che contiene tali prolungamenti è detto concavo.
Si può indicare un angolo scrivendo, nell'ordine, la lettera di un punto di un suo lato (che non sia il vertice), la lettera del vertice e quella di un punto dell'altro lato. Sulla lettera centrale, che indica il vertice, si pone il segno ^.
In alternativa si può indicare l'angolo scrivendo una lettera interna all'angolo, generalmente dell'alfabeto greco.
Un angolo si dice piatto se i suoi lati appartengono alla stessa retta.
Tutti gli angoli piatti sono uguali.
Si dice angolo giro l'angolo che comprende l'intero piano.
Nell'angolo giro i due lati dell'angolo coincidono.
1. Se i lati degli angoli coincidono a due a due, i due angoli sono uguali.
2. Se solo due lati degli angoli coincidono e gli altri due non coincidono, gli angoli sono disuguali.
L'angolo maggiore è quello che contiene, nel suo interno, un lato dell'altro angolo.
1. Due angoli si dicono consecutivi quando hanno in comune il vertice ed un lato e nessun'altra parte.
2. Due angoli si dicono adiacenti se sono consecutivi ed i lati non comuni sono uno sul prolungamento dell'altro (cioè appartengono alla stessa retta).
Per sommare due angoli, si costruisce un angolo uguale al secondo e consecutivo al primo. L'angolo avente per estremi i lati non comuni di tali angoli è la somma degli angoli dati.
Per sommare tre o più angoli, si somma il primo col secondo, l'angolo ottenuto col terzo e così via.
La somma di due angoli piatti è un angolo giro.
Per ottenere la differenza di due angoli disuguali si trasporta l'angolo minore in modo che coincidano i vertici e due lati e che l'altro lato dell'angolo minore sia nell'interno dell'angolo maggiore. L'angolo formato dai due lati non comuni di tali angoli è la differenza degli angoli dati.
Somme o differenze di angoli rispettivamente uguali sono uguali.
Due angoli si dicono supplementari quando hanno per somma un angolo piatto.
Angoli supplementari di uno stesso angolo (o di angoli uguali) sono uguali.
Si dice bisettrice di un angolo la semiretta, uscente dal vertice, che lo divide in due parti uguali.
La bisettrice di un angolo piatto lo divide in due angoli uguali, ognuno dei quali costituisce un angolo retto.
Si dice angolo retto la metà di un angolo piatto.
1. Tutti gli angoli retti sono uguali perché sono la metà di angoli uguali (piatti).
2. Un angolo retto è uguale al suo adiacente (che è l'altra metà dell'angolo piatto determinato prolungando uno dei suoi lati).
3. Un angolo si dice acuto se è minore di un angolo retto.
4. Un angolo si dice ottuso se è maggiore di un angolo retto.
Si dicono complementari due angoli aventi per somma un angolo retto.
Angoli complementari dello stesso angolo (o di angoli uguali) sono uguali.
Due angoli si dicono opposti al vertice quando i lati dell'uno sono i prolungamenti dei lati dell'altro.
Due angoli opposti al vertice sono uguali.
Si dice triangolo la figura costituita dai tre segmenti congiungenti tre punti non allineati del piano e da tutti i punti ad essi interni.
I tre punti suddetti si dicono vertici del triangolo, mentre i lati che li congiungono sono i lati.
I lati, a due a due, formano i tre angoli interni del triangolo.
Si dice lato opposto ad un angolo quando non contiene il vertice di tale angolo.
Ogni angolo adiacente ad un angolo di un triangolo è un angolo esterno.
Si dice perimetro di un triangolo la somma dei tre lati.
Un triangolo si indica con le lettere dei suoi vertici.
Rispetto ai lati un triangolo può essere:
- equilatero, se ha tutti i lati uguali
- isoscele, se ha due lati uguali
- scaleno, se ha tutti i tre lati disuguali.
Due triangoli uguali hanno ordinatamente uguali tutti i loro elementi: lati ed angoli ad essi opposti.
Due triangoli sono uguali quando hanno rispettivamente uguali due lati e l'angolo compreso.
In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali.
Il triangolo equilatero si può considerare come un triangolo isoscele rispetto a qualsiasi lato preso come base.
Gli angoli del triangolo equilatero sono tutti uguali.
Due triangoli sono uguali quando hanno due angoli ed il lato ad essi comune rispettivamente uguali.
Due triangoli sono uguali se hanno, ordinatamente, uguali due angoli e un lato.
Due triangoli sono uguali quando hanno i tre lati rispettivamente uguali.
Il segmento di bisettrice dell'angolo interno di un triangolo compreso tra il vertice e il lato opposto è una bisettrice del triangolo.
Ogni triangolo ha tre bisettrici (una per angolo).
In un triangolo isoscele la bisettrice dell'angolo al vertice divide la base in due parti uguali (cioè è anche una mediana).
In triangoli uguali, i lati uguali sono precisamente quelli opposti ad angoli uguali (e viceversa).
In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti.
La somma di due angoli di un triangolo è minore di un angolo piatto.
Un triangolo non può avere più di un angolo retto od ottuso: almeno due angoli sono sempre acuti.
- Un triangolo si dice acutangolo se ha
tutti gli angoli acuti.
- Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto.
- Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso.
1. Se un triangolo ha due lati disuguali, l'angolo opposto al lato maggiore è maggiore dell'angolo opposto al lato minore.
2. Se un triangolo ha due angoli disuguali, il lato opposto all'angolo maggiore è maggiore di quello opposto all'angolo minore.
In un triangolo rettangolo l'ipotenusa è maggiore di ciascun cateto.
In un triangolo ottusangolo il lato maggiore è quello opposto all'angolo ottuso.
1. In un triangolo un lato è minore della somma degli altri due.
2. In un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due.
Se due triangoli hanno due coppie di lati ordinatamente uguali e la terza coppia di lati disuguali, anche gli angoli opposto a questi ultimi risultano disuguali nello stesso senso, cioè a lato maggiore sta opposto angolo maggiore, e viceversa.
Si dice poligono la figura formata dai lati di una spezzata chiusa e da tutti i punti ad essa interni.
I punti considerati sono i vertici.
I segmenti che formano la spezzata sono i lati del poligono
stesso.
Il poligono si indica citandone i vertici.
La somma dei lati costituisce il perimetro del poligono.
Quando si parla di un poligono e non si dice esplicitamente il contrario, il poligono si intende convesso.
Si dice diagonale ogni segmento che congiunge due vertici non consecutivi di un poligono.
Non è possibile disegnare un poligono avente meno di tre lati.
I poligoni con tre soli lati sono detti
triangoli (essi non possiedono diagonali).
I poligoni con quattro lati sono chiamati quadrilateri o
quadrangoli.
I poligoni con cinque e sei lati sono detti, rispettivamente
pentagoni ed esagoni, ecc.
Due poligoni si dicono uguali quando hanno tutti gli elementi (lati ed angoli) ordinatamente uguali.
I criteri di uguaglianza dei triangoli non sono validi per tutti i poligoni: per poligoni aventi più di tre lati esistono altri criteri più complicati.
In un poligono un lato è sempre minore della somma di tutti gli altri.
Due rette si dicono perpendicolari quando si incontrano formando quattro angoli uguali.
Ogni angolo formato da due rette perpendicolari è la metà di un angolo piatto, cioè è un angolo retto.
Per un punto si può condurre una ed una sola retta perpendicolare ad una retta data.
1. Tutti i punti dell'asse di un segmento sono equidistanti dagli estremi del segmento.
2. Se un punto del piano è equidistante dagli estremi di un segmento, esso appartiene all'asse del segmento.
Una figura si dice luogo geometrico dei punti del piano che godono di una determinata proprietà quando sono soddisfatte le seguenti condizioni:
1. ogni punto della figura gode di quella
proprietà
2. ogni punto che gode di quella proprietà appartiene alla
figura.
L'asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano che hanno la stessa distanza dagli estremi del segmento.
L'intersezione tra una retta e una perpendicolare condotta a tale retta si dice piede della perpendicolare.
La distanza di un punto da una retta è il segmento di perpendicolare compreso tra il punto e la retta.
Ognuno degli altri segmenti che congiungono il medesimo punto con punti diversi dal piede della perpendicolare è detto obliqua.
Si dice proiezione di un segmento su una retta il segmento che ha per estremi le proiezioni sulla retta degli estremi del segmento dato.
La distanza di un punto da una retta è
minore di ogni obliqua passante per quel punto.
Se due oblique hanno proiezioni uguali sono uguali.
Se hanno proiezioni diverse è maggiore quella che ha proiezione
maggiore.
Il segmento compreso tra il vertice di un triangolo e il piede della perpendicolare condotta alla retta che contiene il lato opposto è detto altezza del triangolo relativa a tale lato.
Se il triangolo è rettangolo, due delle tre altezze coincidono con i lati (cateti).
L'altezza relativa alla base di un triangolo isoscele coincide con la mediana e con la bisettrice.
Sono uguali due triangoli rettangoli aventi rispettivamente uguali:
1. i due cateti (dal 1° criterio)
2. un cateto e l'angolo acuto adiacente (dal 2° criterio)
3. un cateto e l'angolo acuto opposto (dal 2° criterio
generalizzato)
4. l'ipotenusa ed un angolo acuto (dal 2° criterio
generalizzato).
Due triangoli rettangoli sono uguali se hanno rispettivamente uguali l'ipotenusa ed un cateto.
Due triangoli rettangoli sono uguali quando hanno, ordinatamente, uguali due lati oppure un lato e un angolo acuto.
Un qualsiasi punto della bisettrice di un angolo è equidistante dai due lati dell'angolo.
Il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dai lati di un angolo è la bisettrice dell'angolo stesso.
Si dicono simmetrici due punti rispetto ad una retta (detta retta di simmetria) se tale retta è perpendicolare al segmento, avente per estremi i due punti dati, nel suo punto di mezzo.
Si dicono simmetrici due punti rispetto ad un punto (detto centro di simmetria) se il centro di simmetria è il punto medio del segmento avente per estremi i due punti dati.
Due rette di uno stesso piano sono parallele fra loro quando non hanno alcun punto in comune.
Le perpendicolari ad una medesima retta sono parallele fra loro.
Due rette tagliate da una terza retta (detta trasversale) formano 8 angoli che vengono distinti a coppie con nomi particolari:
- angoli alterni interni
- angoli alterni esterni
- angoli corrispondenti
- angoli coniugati interni
- angoli coniugati esterni.
Gli angoli "interni" sono quelli compresi internamente alla regione limitata dalle prime due rette.
Gli angoli "alterni" si trovano da parti opposte rispetto alla traversale.
Gli angoli "corrispondenti" si trovano dalla stessa parte della trasversale ed uno solo è "interno", ecc.
Due rette sono parallele quando, tagliate da una trasversale, formano:
1. angoli alterni interni uguali
2. angoli alterni esterni uguali
3. angoli corrispondenti uguali
4. angoli coniugati interni supplementari
5. angoli coniugati esterni supplementari.
POSTULATO "DELLE PARALLELE" O DI EUCLIDE:
Per un punto non giacente su una retta si può condurre una ed una sola parallela alla retta data.
1. Due rette parallele ad una terza sono parallele tra loro.
2. Se due rette sono parallele, una terza retta che incontra una di esse incontra anche l'altra.
La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto.
In un triangolo un angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti ad esso.
Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari.
Ogni angolo interno di un triangolo equilatero vale sempre un terzo di angolo piatto, cioè 60°.
Due triangoli sono uguali se hanno, ordinatamente, uguali due angoli e un lato.
In un poligono di n lati la somma degli angoli interni vale (n - 2) angoli piatti.
La somma degli angoli esterni di un poligono qualunque vale due angoli piatti.
Due semirette che stanno dalla stessa parte
di una retta che congiunge le loro origini si dicono concordi.
Se stanno da parti opposte alla retta, si dicono discordi.
Due angoli con i lati paralleli, entrambi concordi o entrambi discordi, sono uguali.
Due angoli con i lati paralleli, due concordi e due discordi, sono supplementari.
Si dicono opposti i lati di un quadrilatero che non hanno punti in comune, e gli angoli che non hanno lati in comune.
Si dice parallelogrammo un quadrilatero avente i lati opposti paralleli.
In ogni parallelogrammo:
1. i lati opposti sono uguali
2. gli angoli opposti sono uguali
3. gli angoli consecutivi sono supplementari
4. le diagonali si tagliano scambievolmente per metà.
Un quadrilatero è un parallelogrammo
quando risulta soddisfatta una delle seguenti condizioni:
1. i lati opposti sono uguali
2. gli angoli opposti sono uguali
3. le diagonali si tagliano scambievolmente per metà
4. gli angoli consecutivi sono supplementari
5. due lati opposti sono uguali e paralleli.
Il rettangolo, il rombo e il quadrato sono parallelogrammi particolari.
RETTANGOLO
Si dice rettangolo un parallelogrammo in cui i quattro angoli sono uguali.
Gli angoli del rettangolo sono tutti retti.
Le diagonali di un rettangolo sono uguali.
Se un parallelogrammo ha le diagonali uguali esso è un rettangolo.
Si dice distanza di due rette parallele il segmento di una qualsiasi perpendicolare ad esse, compreso fra le rette stesse.
ROMBO
Si dice rombo un parallelogrammo avente i quattro lati uguali.
Le diagonali di un rombo sono fra loro perpendicolari e sono bisettrici degli angoli.
QUADRATO
Si dice quadrato un parallelogrammo avente i quattro angoli uguali (retti) ed i quattro lati uguali.
Si dice trapezio un quadrilatero avente due soli lati paralleli.
I lati paralleli sono le basi del trapezio, gli altri due si dicono lati obliqui.
- Se uno dei lati obliqui è perpendicolare
alle basi il trapezio è rettangolo;
- se i lati obliqui sono uguali il trapezio è isoscele.
In un trapezio isoscele:
1. gli angoli che hanno in comune la stessa base sono uguali
2. le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore sono
uguali.
L'insieme di tre o più rette parallele costituisce un fascio di rette parallele.
Una retta che incontri una retta del fascio le incontra tutte e prende il nome di trasversale.
1. In un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, a segmenti uguali su una trasversale corrispondono segmenti uguali sull'altra.
Se per il punto medio di un lato di un triangolo si conduce la parallela ad un altro lato, essa divide il lato restante in due parti uguali.
Il segmento che unisce i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato ed è uguale alla metà di esso.
Si chiama circonferenza il luogo geometrico dei punti del piano aventi da un punto fisso (centro) una distanza fissa (raggio).
Due circonferenze di raggi uguali sono uguali.
- Il segmento che unisce due punti di una
circonferenza si dice corda;
- una corda che passa per il centro si chiama diametro;
- il diametro è doppio del raggio.
Il diametro è maggiore di ogni altra corda.
Ogni diametro divide la circonferenza in due parti uguali dette semicirconferenze.
Due punti di una circonferenza la dividono
in due parti ognuna delle quali è un arco di circonferenza.
Se non si precisa il contrario, quando si nomina un arco si
intende quello minore.
Si dice cerchio la figura formata dalla circonferenza e dai punti interni ad essa.
Si dice settore circolare la parte di cerchio compresa tra un arco ed i raggi che vanno agli estremi dell'arco.
Ogni diametro divide il cerchio in due settori uguali detti semicerchi.
Una corda divide il cerchio in due parti
ognuna delle quali è detta segmento circolare ad una base.
La parte di cerchio compresa fra due corde parallele è detta
segmento circolare a due basi.
1. In una circonferenza il diametro
perpendicolare ad una corda la divide per metà.
2. In una circonferenza corde uguali hanno uguale distanza dal
centro.
3. Se due corde di una circonferenza sono disuguali, la maggiore
ha dal centro distanza minore.
4. L'asse di una corda passa per il centro della circonferenza.
5. In una circonferenza corde uguali sottendono archi uguali e
viceversa.
6. In una circonferenza il raggio perpendicolare ad una corda
divide per metà l'arco da essa sotteso.
Gli angoli aventi i vertici nel centro della circonferenza, si dicono angoli al centro.
In una circonferenza ad archi uguali corrispondono angoli al centro uguali e viceversa.
Per tre punti non allineati passa una sola circonferenza.
1. La retta che ha due punti in comune con la circonferenza è detta secante, ed ha distanza dal centro della circonferenza minore del raggio.
2. La retta che ha un solo punto in comune con la circonferenza è detta tangente, ed ha distanza dal centro della circonferenza uguale al raggio.
3. La retta che non ha nessun punto in comune con la circonferenza è detta esterna, ed ha distanza dal centro della circonferenza maggiore del raggio.
Il punto di contatto tra la circonferenza e la retta tangente è detto punto di tangenza.
La retta tangente e il raggio passante per il punto di tangenza sono fra loro perpendicolari.
Per un punto di una circonferenza si può tracciare una sola tangente alla circonferenza stessa.
1. Da un punto interno alla circonferenza non si può tracciare alcuna retta tangente alla circonferenza stessa. Infatti qualunque retta passante per tale punto è una secante.
2. Se il punto è sulla circonferenza, per esso passa una sola tangente.
3. Per un punto esterno alla circonferenza passano due tangenti.
I segmenti compresi tra un punto esterno e i punti di contatto delle tangenti alla circonferenza uscenti dal punto dato sono uguali.
Le posizioni relative che possono avere due circonferenze di un piano dipendono dai raggi delle circonferenze e dalla distanza dei loro centri:
1. Esterne, se la distanza dei loro centri
è maggiore della somma dei loro raggi.
2. Tangenti esternamente, se la distanza dei loro centri è
uguale alla somma dei loro raggi.
3. Secanti, se la distanza dei loro centri è minore della somma
dei loro raggi, ma maggiore della differenza dei loro raggi.
4. Tangenti internamente, se la distanza dei loro centri è
uguale alla differenza dei loro raggi.
5. Una è interna all'altra, se la distanza dei loro centri è
minore alla differenza dei loro raggi.
6. Concentriche, se i loro centri coincidono.
La parte di piano compresa tra due circonferenze concentriche si dice corona circolare.
1. Si dice angolo alla circonferenza ogni angolo avente il vertice sulla circonferenza ed i cui lati sono entrambi secanti oppure uno secante ed uno tangente alla circonferenza.
2. Si dice angolo al centro ogni angolo avente il vertice nel centro della circonferenza considerata.
Si dice che l'angolo alla circonferenza
insiste sull'arco compreso nell'angolo o che è inscritto nello
stesso arco.
L'angolo che ha vertice nel centro ed i lati passanti per gli
stessi due punt, è l'angolo al centro che insiste sullo stesso
arco o che corrisponde al detto angolo alla circonferenza.
In una circonferenza, un angolo al centro è doppio dell'angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco.
1. Tutti gli angoli alla circonferenza che
insistono sullo stesso arco sono uguali.
2. Tutti gli angoli inscritti in una semicirconferenza sono
retti.
1. Un poligono si dice inscritto nella circonferenza quando tutti i suoi vertici stanno sulla circonferenza, la quale è la circonferenza circoscritta al poligono.
2. Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza quando i suoi lati sono tangenti alla circonferenza, la quale è la circonferenza inscritta nel poligono.
Poiché per tre punti non allineati passa
sempre una circonferenza:
- I triangoli sono sempre inscrittibili in una circonferenza.
- I triangoli sono sempre circoscrittibili ad una circonferenza.
1. Gli assi dei lati di un triangolo si incontrano in uno stesso punto.
Tale punto è equidistante dai tre vertici del triangolo perché l'asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento.
Il punto di incontro degli assi è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo stesso (circocentro).
2. Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo si incontrano in uno stesso punto.
Tale punto è equidistante dai tre lati del triangolo perché un qualsiasi punto della bisettrice di un triangolo è equidistante dai lati dell'angolo.
Il punto di incontro delle bisettrici di un triangolo è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo stesso (incentro).
3. Le altezze di un triangolo si incontrano in punto detto ortocentro.
4. Le tre mediane di un triangolo si incontrano in uno stesso punto (detto baricentro) che divide ognuna di esse in due parti tali che quella che ha un estremo nel vertice è doppia dell'altra.
Se una circonferenza passa per tre soli vertici di un quadrilatero mentre il quarto vertice non sta su questa circonferenza, il quadrilatero si dice non inscrittibile.
In un quadrilatero inscritto in una circonferenza gli angoli opposti sono supplementari.
In un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza la somma di due lati opposti è uguale alla somma degli altri due.
Un poligono si dice regolare quando ha tutti i lati e tutti gli angoli uguali.
1. In ogni poligono regolare si può inscrivere una circonferenza.
2. Ad ogni poligono regolare si può circoscrivere una circonferenza.
3. Se si divide una circonferenza in parti uguali (almeno tre) e si congiungono i successivi punti di divisione, oppure si si tracciano le tangenti alla circonferenza per i tre punti di divisione, si ottengono dei poligoni regolari.
4. Il lato dell'esagono regolare inscritto in una circonferenza è uguale al raggio della circonferenza.
Due figure geometriche, cioè due parti di
piano, se sono esattamente sovrapponibili, si dicono uguali.
Esse hanno la stessa forma ed hanno anche la stessa estensione
perché occupano una uguale parte del piano sul quale si trovano.
Due figure possono avere la stessa estensione anche se non sono uguali.
Si dice che due figure piane sono equivalenti quando hanno la stessa estensione.
1. Due superfici uguali sono equivalenti.
2. L'equivalenza delle superfici piane gode della proprietà riflessiva, simmetrica, transitiva.
Si dice somma di due superfici la superficie formata dalle due superfici date disposte in modo da avere in comune soltanto una parte del loro contorno.
3. Date due superfici, fra esse si verifica sempre una ed una sola delle seguenti relazioni: la prima è equivalente alla seconda, la prima è maggiore della seconda, la prima è minore della seconda.
4. Somme o differenze di superfici uguali o equivalenti sono equivalenti.
Un parallelogrammo ed un rettangolo aventi basi ed altezze uguali sono equivalenti.
Due parallelogrammi aventi basi uguali ed altezze uguali sono equivalenti.
Un triangolo è equivalente ad un parallelogrammo che abbia per base la metà della base del triangolo ed uguale altezza.
Due triangoli aventi, ordinatamente, uguali una base e la rispettiva altezza sono equivalenti.
Un trapezio è equivalente ad un triangolo avente la stessa altezza e la base uguale alla somma delle basi del trapezio.
Un poligono circoscrittibile ad una circonferenza è equivalente ad un triangolo avente la base uguale al perimetro del poligono e l'altezza uguale al raggio della circonferenza.
Un poligono regolare è equivalente ad un triangolo avente la base uguale al perimetro del poligono e l'altezza uguale all'apotema.
Un trapezio è equivalente ad un triangolo avente la stessa altezza e la base uguale alla somma delle basi del trapezio.
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per lati l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
In un triangolo, se il quadrato costruito su un lato è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati, l'angolo compreso tra questi è retto, cioè il triangolo è rettangolo.
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
Un insieme di figure geometriche forma una classe di grandezze quando, prese ad arbitrio due di esse, è possibile stabilire se sono uguali o se una è maggiore dell'altra e definire l'operazione di addizione.
Due o più grandezze della stessa classe si dicono omogenee.
Se una grandezza è la somma di un numero
intero di grandezze uguali ad una seconda grandezza omogenea, si
dice che la prima è multiplo della seconda.
Inoltre si dice anche che la seconda grandezza è sottomultiplo
della prima.
1. Quando una grandezza è multipla secondo un numero intero m di una seconda grandezza omogenea, si dice che m è il rapporto tra le due grandezze.
2. Se una grandezza non è multipla secondo un numero intero della seconda grandezza omogenea, ma è multipla, secondo un numero intero m, di un sottomultiplo della seconda grandezza, secondo un altro numero intero n, si dice che la frazione m/n è il rapporto fra le due grandezze.
In questo caso il valore 1/n è un sottomultiplo comune delle due grandezze.
Due grandezze omogenee sono commensurabili quando esiste una grandezza, omogenea con esse, che sia contenuta in entrambe un numero intero di volte, cioè quando le due grandezze ammettono un sottomultiplo comune.
Il rapporto tra due grandezze commensurabili è un numero razionale.
Due grandezze omogenee sono incommensurabili quando non ammettono un sottomultiplo comune.
Il rapporto di due grandezze incommensurabili non è un numero razionale.
Per esempio, la diagonale e il lato di un quadrato sono incommensurabili.
Si dice misura di una grandezza rispetto ad un'altra grandezza omogenea prefissata (unità di misura) il numero che esprime il rapporto fra la prima grandezza e la seconda.
Il rapporto di due numeri è il quoziente dei numeri stessi.
1. Il rapporto di due grandezze omogenee è uguale al rapporto delle loro misure, rispetto ad una stessa unità.
2. Il rapporto di due rettangoli di uguale altezza è uguale al rapporto delle loro basi.
La msiura di un segmento si chiama
lunghezza del segmento.
L'unità di misura dei segmenti è il metro oppure un suo
sottomultiplo o un suo multiplo.
La misura di una superficie è detta area
della superficie.
L'unità di misura delle superfici è la superficie di un
quadrato di lato lungo un metro, cioè il metro quadrato oppure
un suo sottomultiplo o un suo multiplo.
La misura di un angolo è detta ampiezza
dell'angolo.
L'unità di misura degli angoli è l'angolo ottenuto dividendo un
angolo giro in 360 parti uguali, detto grado. I sottomultipli del
grado sono il primo (un sessantesimo di grado) e il secondo (un
sessantesimo di primo).
L'area del rettangolo si ottiene moltiplicando la lunghezza della base per quella dell'altezza, cioè facendo il prodotto delle misure delle due dimensioni del rettangolo stesso.
L'area di un quadrato è uguale al quadrato
della lunghezza del lato.
La lunghezza del lato di un quadrato è la radice quadrata
dell'area.
PARALLELOGRAMMO
L'area del parallelogrammo è uguale al
prodotto della lunghezza della base per quella dell'altezza.
TRIANGOLO
L'area di un triangolo è uguale al
semiprodotto della lunghezza della base per quella della
rispettiva altezza.
TRIANGOLO RETTANGOLO
L'area di un triangolo rettangolo è uguale
al semiprodotto delle misure dei suoi cateti.
TRAPEZIO
L'area del trapezio è uguale al
semiprodotto della somma delle misure delle basi per la misura
dell'altezza.
POLIGONO REGOLARE
L'area di un poligono regolare è uguale al
semiprodotto della misura del perimetro per la misura
dell'apotema.
ROMBO
L'area di un rombo è uguale al
semiprodotto delle misure delle sue diagonali.
L'area di un triangolo è uguale alla radice quadrata del prodotto del semiperimetro per le differenze di ciascun lato dal semiperimetro.
Quattro grandezze considerate in un determinato ordine (le prime due omogenee fra loro e le altre due pure omogenee fra loro), formano una proporzione quando sono uguali i rapporti fra le prime due grandezze e fra le seconde due grandezze.
La prima e la quarta grandezza sono gli estremi.
La seconda e la terza grandezza sono i medi.
La prima e la terza grandezza sono gli antecedenti.
La seconda e la quarta grandezza sono i conseguenti.
La quarta grandezza è detta quarta proporzionale dopo le prime tre.
Le quattro grandezze considerate sono i termini della proporzione.
Una proporzione si dice continua quando i suoi medi sono uguali.
La seconda grandezza si dice media proporzionale o media
geometrica tra la prima e la terza grandezza.
La terza grandezza è detta terza proporzionale dopo le prime due.
Se quattro grandezze sono in proporzione lo sono anche le loro misure.
Se sono in proporzione le misure di quattro grandezze (a due a due omogenee) lo sono anche le grandezze stesse.
Proprietà dell'invertire: invertendo gli antecedenti con i propri conseguenti, si ottiene una nuova proporzione.
Proprietà del permutare gli estremi: invertendo gli estremi (con le quattro grandezze omogenee fra loro), si ottiene una nuova proporzione.
Proprietà del permutare i medi: invertendo i medi, si ottiene una nuova proporzione.
Proprietà del permutare i medi e gli estremi: invertendo sia i medi che gli estremi, si ottiene una nuova proporzione.
Proprietà del comporre: sostituendo agli antecedenti (oppure ai conseguenti) la somma di ciascun antecedente con il proprio conseguente, si ottiene una nuova proporzione.
Proprietà dello scomporre: sostituendo agli antecedenti (oppure ai conseguenti) la differenza fra ciascun antecedente ed il proprio conseguente, si ottiene una nuova proporzione.
Se quattro segmenti sono in proporzione, il rettangolo che ha per dimensioni gli estremi è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni i medi.
Se un segmento è un medio proporzionale tra altri due segmenti, il quadrato costruito sul primo segmento è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni gli altri due segmenti.
Se in due proporzioni, i primi tre termini sono uguali, anche i quarti termini sono uguali.
Esiste una corrispondenza biunivoca tra le grandezze di due classi quando ad ogni grandezza della prima classe corrisponde una ed una sola grandezza della seconda classe e ad ogni grandezza della seconda classe ne corrisponde una ed una sola della prima.
Due classi di grandezze in corrispondenza biunivoca sono direttamente proporzionali quando il rapporto tra due grandezze qualsiasi di una classe è uguale al rapporto tra due grandezze qualsiasi di una classe è uguale al rapporto delle due grandezze corrispondenti dell'altra classe.
Due classi di grandezze in corrispondenza biunivoca sono inversamente proporzionali quando il rapporto di due qualsiasi grandezze di una classe è uguale al rapporto inverso delle corrispondenti grandezze dell'altra classe.
Il rapporto tra le basi di due rettangoli di uguale area è uguale all'inverso del rapporto delle corrispondenti altezze.
Quando si dice che due classi di grandezze sono "proporzionali", si intende che sono "direttamente proporzionali".
Un fascio di rette parallele determina su due trasversali classi di segmenti direttamente proporzionali.
La bisettrice dell'angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati.
Se la bisettrice di un angolo esterno di un triangolo incontra il prolungamento del lato opposto, le distanze del punto di incontro dalle estremità di tale lato sono proporzionali agli altri due lati.
Si dicono simili due figure di uguale forma.
Due figure uguali sono anche simili, mentre non è sempre vero il contrario.
Due figure uguali sono contemporaneamente simili ed equivalenti.
Due triangoli si dicono simili se hanno gli angoli rispettivamente uguali ed i lati opposti ad angoli uguali in proporzione.
1. Se due triangoli sono simili ad un terzo, essi sono simili tra loro (proprietà transitiva della similitudine).
2. Due triangoli uguali sono anche simili.
Dati due triangoli simili, si dicono vertici omologhi i vertici di due angoli uguali e lati omologhi i lati opposti ad angoli uguali.
Ogni retta parallela ad un lato di un triangolo, se incontra gli altri due lati, determina un triangolo simile a quello dato.
Le proporzioni fra i lati di due triangoli simili sono formate da rapporti fra ciascun lato del primo triangolo ed il lato omologo del secondo.
1. Due triangoli sono simili se hanno due angoli rispettivamente uguali.
2. Due triangoli sono simili se hanno un angolo uguale compreso tra lati in proporzione.
3. Due triangoli sono simili quando hanno i lati ordinatamente in proporzione.
In due triangoli simili le altezze stanno tra loro come due lati omologhi.
I perimetri di due triangoli simili stanno tra loro come due lati omologhi.
Le aree di due triangoli simili stanno tra loro come i quadrati di due lati omologhi.
Due poligoni di uno stesso numero di lati si dicono simili se hanno ordinatamente gli angoli uguali ed i lati in proporzione.
Si dicono omologhi i lati di due poligoni simili compresi tra vertici di due angoli uguali (vertici omologhi).
1. Due poligoni regolari di uguale numero di lati sono simili ed i lati stanno tra loro come i raggi delle rispettive circonferenze circoscritte o inscritte.
2. I perimetri di due poligoni simili stanno tra loro come due lati omologhi.
3. Le aree di due poligoni simili stanno tra loro come i quadrati di due lati omologhi.
1. In un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.
2. In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
Se per un punto interno ad una circonferenza si conducono due corde, tale punto le divide in modo che le due parti di una corda sono i medi e le due parti dell'altra gli estremi di una proporzione.
Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono due secanti, una delle secanti e la sua parte esterna sono i medi, l'altra secante e la sua parte esterna sono gli estremi di una proporzione.
Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono una tangente ed una secante, il segmento di tangente compreso fra il punto dato e il punto di tangenza è medio proporzionale tra l'intera secante e la sua parte esterna.
Si dice sezione aurea di un segmento quella parte (la maggiore) che è media proporzionale tra l'intero segmento e la parte restante.
Il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza è uguale alla sezione aurea del raggio di tale circonferenza.
Si dice lunghezza di una circonferenza la lunghezza di quel segmento che è maggiore dei perimetri di tutti i poligoni inscritti e minore dei perimetri di tutti i poligoni circoscritti alla circonferenza considerata.
Le lunghezze di due circonferenze stanno tra loro come i rispettivi raggi.
Il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e quella del rispettivo diametro è costante.
Tale valore si indica con la lettera p (pi greco).
La lunghezza di una circonferenza è uguale al prodotto della misura del suo diametro per la costante p, che si approssima in 3,14 (oppure in 3,141592 per calcoli più esatti).
La lunghezza di un arco di una circonferenza è direttamente proporzionale all'ampiezza del rispettivo angolo al centro come la lunghezza dell'intera circonferenza lo è rispetto ad un angolo giro.
Si chiama area di un cerchio quell'area (la quale esiste ed è unica) che è maggiore delle aree di tutti i poligoni inscritti e minore delle aree di tutti i poligoni circoscritti al cerchio.
Un cerchio è equivalente ad un triangolo avente la base lunga come la corrispondente circonferenza e l'altezza uguale al raggio.
L'area di un cerchio è uguale al prodotto del quadrato della misura del raggio per la costante p.
L'area di un settore circolare è uguale a quella di un triangolo avente la base di lunghezza uguale a quella dell'arco e per altezza il raggio.
L'area della corona circolare si ottiene come differenza delle aree di due cerchi concentrici.
1. Se una retta ha due punti in comune con un piano essa ha tutti i suoi punti nel piano, cioè giace nel piano.
2. Per tre punti dello spazio, non allineati, passa un piano ed uno solo.
Perciò un piano dello spazio può essere determinato:
- da tre punti distinti non allineati
- da una retta e da un punto non appartenente ad essa
- da due rette incidenti
- da due rette parallele.
1. Ogni piano divide lo spazio in due parti dette semispazi, ognuno dei quali contiene infiniti punti.
I due semispazi si dicono opposti rispetto al piano dato.
2. Ogni segmento avente gli estremi nello stesso semispazio giace tutto in quel semispazio.
3. Un segmento avente gli estremi in semispazi opposti rispetto ad un piano dato, incontra quel piano in un punto.
Si dice intersezione tra due figure la parte che queste hanno in comune.
Se due piani hanno in comune un punto, hanno in comune una retta che passa per quel punto.
Due piani aventi in comune una retta si dicono secanti: tale retta è la loro intersezione.
1. Se per un punto di una retta si conducono due perpendicolari distinte alla retta, questa risulta perpendicolare a tutte le rette giacenti nel piano delle due rette e passanti per quel punto.
2. Tutte le perpendicolari ad una retta in un suo punto giacciono nello stesso piano.
Una retta ed un piano si dicono perpendicolari quando la retta incontra il piano ed è perpendicolare a tutte le rette del piano passanti per il punto di intersezione (detto piede della perpendicolare).
Una retta è perpendicolare ad un piano se lo incontra ed è perpendicolare a due rette distinte del piano passanti per il punto di intersezione.
Una retta che incontra il piano e non è perpendicolare ad esso si dice obliqua.
1. Per un punto dello spazio si può condurre una ed una sola retta perpendicolare ad un piano dato.
2. Per un punto dello spazio si può condurre uno ed un solo piano perpendicolare ad una retta data.
Se dal piede di una perpendicolare ad un piano si conduce la perpendicolare ad un'altra retta del piano, quest'ultima risulta perpendicolare al piano delle prime due.
Si dice distanza di un punto da un piano il segmento di perpendicolare compreso tra il punto e il piano.
Due punti si dicono simmetrici rispetto al piano (piano di simmetria) se tale piano è perpendicolare al segmento, avente per estremi i due punti dati, nel suo punto medio.
Due punti si dicono simmetrici rispetto ad un altro punto (detto centro di simmetria) se quest'ultimo è il punto medio del segmento avente per estremi i due punti dati.
Se una retta interseca un piano e non è ad esso perpendicolare, si dice angolo della retta con il piano l'angolo acuto che essa forma con la sua proiezione sul piano stesso.
Due rette dello spazio aventi un solo punto in comune si dicono incidenti.
Due rette si dicono parallele quando giacciono nello stesso piano e non hanno alcun punto in comune.
Due rette distinte dello spazio possono essere:
- incidenti, se stanno nello stesso piano e hanno un punto
in comune;
- parallele, se stanno nello stesso piano e non hanno alcun punto in comune;
- sghembe, se non stanno nello stesso piano (e non hanno punti in comune).
Se due rette sono parallele ogni piano che ne incontri una, incontra anche l'altra.
Nello spazio, due rette parallele ad una terza sono parallele fra loro.
Si dice angolo di due rette sghembe l'angolo acuto o retto formato dalle parallele a tali rette tracciate da un qualsiasi punto dello spazio.
Due rette sghembe si dicono ortogonali se il loro angolo è retto.
Si dice distanza di due rette sghembe il segmento della perpendicolare comune compreso tra esse.
Una retta e un piano si dicono paralleli se non hanno alcun punto in comune.
Ogni retta condotta per un punto esterno ad un piano parallelamente ad una retta di questo, è parallela al piano.
Se per una retta parallela ad un piano si conduce un altro piano che incontri il primo, l'intersezione dei due piani è parallela alla retta data.
Due piani si dicono paralleli quando non hanno alcun punto in comune.
Le rette di intersezione di due piani paralleli con un terzo piano sono parallele.
Segmenti di rette perpendicolari a due piani paralleli compresi tra detti piani, sono uguali.
Si dice distanza tra due piani la distanza di un punto qualsiasi di uno di essi dall'altro piano.
Un fascio di piani paralleli determina su due trasversali classi di segmenti proporzionali.
Un diedro è una parte di spazio limitata da due semipiani (facce del diedro) aventi l'origine in comune (spigolo del diedro).
Si dice convesso il diedro che non contiene il
prolungamento delle sue facce.
Si dice concavo il diedro che contiene il prolungamento delle sue facce.
Se le due facce di un diedro sono contenute nello stesso piano e non sono sovrapposte il diedro si dice piatto.
Le definizioni di diedri consecutivi e adiacenti, di somma e differenza di diedri, sono analoghe a quelle date nella geometria piana per gli angoli.
Si dice sezione normale di un diedro l'angolo formato dalle semirette di intersezione delle facce del diedro con un piano perpendicolare allo spigolo.
Tutte le sezioni normali di un diedro sono uguali.
Due diedri si dicono uguali quando si possono sovrapporre in modo che coincidano i loro spigoli e le loro facce.
Due diedri uguali hanno sezioni normali uguali.
Se due diedri hanno sezioni normali uguali, essi risultano uguali.
Un diedro si dice acuto, ottuso, retto, piatto, giro quando la sua sezione normale è, rispettivamente, un angolo acuto, ottuso, retto, piatto, giro.
Due diedri sono complementari o supplementari oppure opposti al vertice, quando lo sono le loro rispettive sezioni normali.
Due piani che si intersecano sono perpendicolari quando formano quattro diedri uguali (ognuno dei quali è retto).
Se una retta è perpendicolare ad un piano, qualsiasi piano passante per essa è perpendicolare al piano dato.
Se una retta non è perpendicolare ad un piano, si può condurre per essa un solo piano perpendicolare al piano dato.
Congiungendo i vertici di un triangolo ad un punto esterno
al piano si determinano tre semirette aventi origine in quest'ultimo punto e non
giacenti nello stesso piano.
Queste semirette determinano, a due a due, tre angoli.
Ogni coppia di questi angoli appartiene alle facce di un diedro, determinando
tre diedri.
La parte di spazio comune ai tre diedri predetti costituisce un triedro.
Le tre semirette si dicono spigoli del triedro, il loro punto di origine è detto vertice, mentre i tre angoli costituiscono le facce del triedro stesso.
In un triedro una faccia è minore della somma delle altre due.
La somma delle facce di un triedro è minore di quattro angoli retti.
Due triedri si dicono uguali se le loro facce ed i diedri che esse determinano sono ordinatamente uguali.
Due triedri sono detti opposti al vertice quando i loro spigoli appartengono, a due a due, alla stessa retta.
Due triedri opposti al vertice non sono sovrapponibili: la loro è una uguaglianza inversa.
Congiungendo i vertici di un poligono qualsiasi ad un
punto esterno al piano si determinano delle semirette aventi origine in
quest'ultimo punto e non giacenti nello stesso piano.
Queste semirette determinano, a due a due, degli angoli situati in piani
distinti.
Ogni coppia di questi angoli appartiene alle facce di un diedro, determinando
dei diedri.
La parte di spazio comune a detti diedri costituisce un angoloide, avente un numero di facce pari ai lati del poligono dato.
1. In un angoloide una faccia è minore della somma delle altre.
2. La somma delle facce di un angoloide convesso, è minore di quattro angoli retti.
Si dice poliedro una parte di spazio limitata da poligoni situati in piani diversi in modo che ciascuno dei lati di tali poligoni sia comune a due soli di essi.
Detti poligoni sono le facce del poliedro, i loro lati ed i loro vertici sono, rispettivamente, gli spigoli ed i vertici del poliedro.
La somma delle superfici delle facce costituisce la superficie del poliedro.
TEOREMA DI EULERO
Il numero degli spigoli aumentato di due è uguale alla somma del numero delle
facce e di quello dei vertici.
Un poliedro deve avere almeno quattro facce per essere tale.
Se il poliedro ha quattro facce è detto tetraedro, se ne ha cinque è detto pentaedro, se ne ha sei esaedro, ecc.
Si dice diagonale di un poliedro il segmento che unisce due qualsiasi vertici non appartenenti alla stessa faccia.
Due poliedri si dicono uguali quando hanno ordinatamente uguali tutti gli elementi, cioè le facce e gli angoloidi che esse determinano.
Conducendo una retta per un vertice di un poligono, che
non sia contenuta nel piano del poligono, e tracciando per gli altri vertici
altrettante rette tutte parallele alla prima, si determinano da ciascuna di
queste rette con la retta successiva (secondo l'ordine indicato dai vertici del
poligono) dei piani.
Tali piani determinano dei diedri aventi per spigoli le rette date.
Si chiama prisma indefinito la parte di spazio comune ai diedri predetti.
La parte di prisma indefinito compresa fra due piani paralleli si dice prima definito o, semplicemente, prisma.
I poligoni ottenuti dalla intersezione di due piani
paralleli con le facce del prisma indefinito rappresentano le basi del prisma
definito.
I loro lati sono gli spigoli della base.
Gli altri poligoni che limitano il prisma sono le facce
laterali.
I lati delle facce laterali che non appartengono alla base del prisma sono gli
spigoli laterali.
La somma delle superfici delle facce laterali costituisce
la superficie laterale del prisma.
La somma della superficie laterale e della superficie delle due basi costituisce
la superficie totale del prisma.
Un prisma si dice retto quando gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi (altrimenti il prisma di dice obliquo).
Le basi di un prisma sono poligoni uguali.
Le facce laterali di un prisma sono dei parallelogrammi.
Le facce laterali di un prisma retto sono dei rettangoli.
Si dice altezza di un prisma la distanza tra i piani delle sue basi.
L'area della superficie laterale di un prisma retto è uguale al prodotto della lunghezza del perimetro della base per la misura dell'altezza.
L'area della superficie totale di un prisma retto è uguale alla somma della superficie laterale e delle superfici delle due basi.
Si dice parallelepipedo un prisma avente per basi dei parallelogrammi.
Tutte le facce di un parallelepipedo sono dei parallelogrammi.
Le facce opposte di un parallelepipedo sono parallelogrammi uguali.
Un parallelepipedo si dice retto quando gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi.
Si dice parallelepipedo rettangolo un parallelepipedo retto avente per basi due rettangoli.
Tutte le facce del parallelepipedo rettangolo sono rettangoli.
I tre spigoli uscenti da uno stesso vertice sono detti dimensioni del parallelepipedo rettangolo.
Vale quanto già detto per la misura della superficie di un prisma retto.
La misura della diagonale di un parallelepipedo rettangolo si ottiene estraendo la radice quadrata della somma dei quadrati delle misure delle sue tre dimensioni.
Tutte le diagonali di un parallelepipedo rettangolo sono uguali.
Si dice cubo un parallelepipedo rettangolo avente tutte le dimensioni uguali.
Tutte le facce di un cubo sono quadrati uguali.
Si dice piramide la parte di un angoloide compresa tra il vertice ed un piano, non passante per il vertice, che incontri gli spigoli dell'angoloide.
Si dice vertice della piramide il vertice dell'angoloide.
L'intersezione fra le facce dell'angoloide ed il piano citato è un poligono
detto base della piramide.
La piramide si dice triangolare, quadrangolare, pentagonale ecc. secondo che la base è un triangolo, un quadrangolo, un pentagono ecc.
Le altre facce della piramide sono tutti triangoli aventi
un vertice in comune.
Queste facce sono le facce laterali e la loro somma costituisce la superficie
laterale della piramide.
Se si aggiunge alla superficie laterale quella della base si ha la superficie
totale.
I lati delle facce si dicono spigoli.
Si dice altezza della piramide la distanza dal vertice dal piano della base.
Il poligono che si determina tagliando una piramide con un piano parallelo alla base è simile al poligono di base; i perimetri di tali poligoni stanno fra loro come le rispettive distanze dal vertice, mentre le aree delle loro superfici stanno tra loro come i quadrati di tali distanze.
Una piramide si dice retta se nel poligono della sua base è possibile inscrivere una circonferenza e il piede della sua altezza coincide con il centro di tale circonferenza.
Le altezze delle facce laterali di una piramide retta sono tutte uguali.
Ciascuna di queste altezze si dice apotema.
Una piramide retta avente per base un poligono regolare si dice piramide regolare.
Le facce laterali di una piramide regolare sono triangoli
isosceli tutti uguali.
L'altezza di tali triangoli è l'apotema della piramide.
L'area della superficie laterale della piramide retta si ottiene moltiplicando la misura dell'apotema per quella del semiperimetro della base.
Un piano parallelo alla base di una piramide, compreso tra questa e il vertice, divide la piramide in due parti: il poliedro compreso fra questo piano parallelo e la base della piramide è detto tronco di piramide.
Il poligono di base e quello ottenuto dall'intersezione con piano considerato, sono simili e costituiscono le basi del tronco di piramide.
Le facce laterali sono costituite da trapezi.
Un tronco di piramide si dice retto quando è ottenuto da una piramide retta.
L'altezza di una qualsiasi faccia rappresenta l'apotema
del tronco di piramide.
Si dice altezza del tronco di piramide la distanza tra le due basi.
L'area della superficie laterale di un tronco di piramide retta è uguale al prodotto della somma delle lunghezze dei semiperimetri delle basi per la misura dell'apotema.
Aggiungendo le aree delle due basi alla superficie laterale si ottiene l'area della superficie totale.
Un poliedro è detto regolare quando le sue facce sono poligoni regolari uguali ed i suoi diedri sono uguali.
La somma delle facce di un angoloide è sempre minore di quattro angoli retti.
Non possono esistere più di cinque tipi di poliedri regolari:
TETRAEDRO REGOLARE
Ha quattro facce che sono triangoli equilateri
uguali.
E' l'unica "vera" piramide regolare.
CUBO O ESAEDRO REGOLARE
Ha sei facce che sono quadrati uguali.
OTTAEDRO REGOLARE
Ha otto facce costituite da triangoli equilateri
uguali.
E' formato dalla unione di due piramidi uguali aventi per base comune un
quadrato.
DODECAEDRO REGOLARE
Ha dodici facce che sono pentagoni regolari
uguali.
ICOSAEDRO REGOLARE
Ha venti facce che sono triangoli equilateri
uguali.
Si dice misura di un poliedro (o volume del poliedro) il numero che esprime il rapporto fra l'estensione del poliedro stesso e quella di un altro poliedro assunto come unità di misura (cubo di spigolo unitario).
Due parallelepipedi rettangoli di uguale base stanno tra loro come le rispettive altezze.
Il volume di un parallelepipedo rettangolo è uguale al prodotto delle misure delle sue dimensioni.
Il volume di un parallelepipedo rettangolo si ottiene facendo il prodotto dell'area della superficie di base per la misura dell'altezza.
Il cubo può essere considerato un parallelepipedo rettangolo di dimensioni tutte uguali.
Il volume di un cubo si ottiene elevando al cubo la lunghezza dello spigolo.
Due poliedri si dicono equivalenti quando hanno uguale estensione.
1. Due solidi uguali sono equivalenti.
2. Due solidi equivalenti ad un terzo sono equivalenti fra loro (proprietà transitiva dell'equivalenza dei solidi).
3. Somme o differenze di solidi, rispettivamente, uguali o equivalenti sono equivalenti.
Dati due solidi, se è possibile disporli, rispetto ad un piano, in modo che ogni piano parallelo a questo li tagli secondo sezioni equivalenti, i due solidi sono equivalenti.
Due prismi aventi altezze uguali e basi equivalenti sono equivalenti.
Un prisma è equivalente ad un parallelepipedo rettangolo di base equivalente ed uguale altezza.
Il volume di un prisma è uguale al prodotto dell'area della base per la misura dell'altezza.
Due piramidi aventi altezze uguali e basi equivalenti sono equivalenti.
Una piramide è equivalente alla terza parte di un prisma avente uguale base ed uguale altezza.
Il volume di una piramide è uguale ad un terzo del prodotto dell'area della base per la misura dell'altezza.
Il tronco di piramide equivale alla somma di tre piramidi di altezza uguale a quella del tronco aventi per base, rispettivamente, la base maggiore, la base minore e la loro media proporzionale.
Si dice cilindro il solido generato dalla rotazione completa di un rettangolo intorno ad uno dei suoi lati.
Il lato intorno a cui ruota il rettangolo è l'asse del
cilindro; esso è pure l'altezza del cilindro, ossia la distanza tra le due
basi.
Le varie posizioni assunte dal lato lato opposto del rettangolo nella rotazione
sono le generatrici del cilindro.
Il raggio di una qualsiasi delle due basi è il raggio del cilindro.
Il cilindro si dice equilatero se la sua altezza è uguale
al diametro del cerchio di base.
La sezione di un cilindro equilatero con un piano passante per il suo asse è un
quadrato.
La superficie determinata dalla rotazione di una
generatrice del cilindro è la superficie laterale del cilindro stesso.
Se ad essa si aggiungono quelle delle due basi si ha la superficie totale.
L'area della superficie laterale di un cilindro è uguale al prodotto della lunghezza della circonferenza della base per la misura dell'altezza.
Se un cilindro e un prisma hanno basi equivalenti ed altezze uguali, essi sono equivalenti.
Il volume di un cilindro è uguale al prodotto dell'area della superficie del cerchio di base per la misura dell'altezza.
Si dice cono circolare retto o semplicemente cono il solido generato dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo intorno ad un suo cateto.
Il cateto intorno a cui ruota il triangolo è l'altezza
del cono.
L'altro cateto, nella sua rotazione, genera un cerchio che è la base del cono.
L'ipotenusa è l'apotema del cono.
L'ipotenusa, nella sua rotazione, genera la superficie
laterale del cono stesso.
Le varie posizioni assunte dall'ipotenusa nella rotazione si dicono generatrici.
Il punto di origine dell'altezza e dell'apotema è il vertice del cono.
Il cono si dice equilatero quando l'apotema è uguale al
diametro della base.
La sua sezione con un piano passante per l'altezza è un triangolo equilatero.
Un cono è tagliato da un piano parallelo alla base
secondo un cerchio.
Tale sezione e il cerchio base stanno fra loro come i quadrati delle rispettive
distanze dal vertice.
L'area della superficie laterale di un cono è uguale al
semiprodotto della lunghezza della circonferenza della base per la misura
dell'apotema.
Se aggiungiamo a questa l'area della base otteniamo l'area totale.
Un cono e una piramide aventi basi equivalenti ed altezze uguali sono equivalenti.
Il volume di un cono è uguale ad un terzo del prodotto dell'area del cerchio di base per la misura dell'altezza.
Un piano parallelo alla base di un cono, compreso tra questa e il vertice, divide il cono in due parti: quella che non contiene il vertice è un solido detto tronco di cono.
La superficie laterale di un tronco di cono è uguale al
prodotto della somma dei raggi dei due cerchi di base per l'apotema e per la
costante p.
Se alla superficie laterale aggiungiamo le superfici delle due basi otteniamo la
superficie totale.
Il volume di un tronco di cono è uguale ad un terzo del prodotto dell'altezza per la costante p e per la somma del raggio della base maggiore al quadrato, del raggio della base minore al quadrato e del prodotto della misura dei due raggi.
Il luogo geometrico dei punti dello spazio che hanno la stessa distanza (raggio) da un punto fisso (centro) si dice superficie sferica.
- Se la distanza di una retta dal centro di una superficie
sferica è minore del raggio, la retta incontra tale superficie in due punti
(retta secante).
- Se la distanza dal centro è uguale al raggio, la retta incontra la superficie
in un punto (retta tangente).
- Se la distanza dal centro è maggiore del raggio, la retta non incontra la
superficie sferica (retta esterna).
Una retta tangente e il raggio passante per il punto di contatto (punto di tangenza) sono fra loro perpendicolari.
Un piano, rispetto ad una superficie sferica, può essere:
- secante, se la distanza dal centro è minore del raggio
- tangente, se la distanza dal centro è uguale al raggio
- esterno, se la distanza dal centro è maggiore del raggio.
Un piano secante interseca la superficie sferica secondo una circonferenza il cui centro è il piede della perpendicolare al piano condotta dal centro della superficie sferica.
Se il piano secante passa per il centro della superficie sferica (piano diametrale), la circonferenza ottenuta è detta circonferenza massima.
Se un piano è tangente ad una superficie sferica, il raggio passante per il punto di tangenza è perpendicolare al piano stesso.
Si dice fuso sferico la parte di superficie sferica limitata dalle facce di un diedro il cui spigolo passi per il centro della sfera.
La sezione normale del diedro è l'ampiezza del fuso sferico considerato.
Un piano che tagli una superficie sferica la divide in due parti ognuna delle quali è chiamata calotta sferica.
Due piani paralleli che taglino una superficie sferica la
dividono in tre parti: la parte compresa fra i due piani è detta zona sferica.
La distanza tra i due piani paralleli è l'altezza della zona.
Il solido formato dai punti di una superficie sferica e da tutti i punti interni ad essa si dice sfera.
Il centro e il raggio della superficie sferica sono pure il centro e il raggio della sfera.
La sfera è il luogo geometrico dei punti dello spazio la cui distanza dal centro è minore o uguale al raggio.
SPICCHIO SFERICO
La parte di sfera compresa tra un fuso sferico di ampiezza a
e le facce del diedro che lo definiscono è detta spicchio sferico di ampiezza a.
SEGMENTO SFERICO AD UNA BASE
Un piano che tagli una sfera determina, come sezione, un cerchio e divide la
sfera in due parti ognuna delle quali è detta segmento sferico ad una base.
La base è il cerchio sezione; l'altezza è quella della calotta sferica
corrispondente.
SEGMENTO SFERICO A DUE BASI
La parte di sfera compresa fra due piani paralleli secanti è detta segmento
sferico a due basi.
Le due basi sono i cerchi sezione; l'altezza è quella della zona sferica
corrispondente.
SETTORI SFERICI
Esistono i seguenti due solidi:
1. Una calotta sferica e la superficie del cono avente per
vertice il centro della sfera che contiene la calotta e per base quella della
calotta limitano un solido detto settore sferico.
2. Una zona sferica e le superfici dei due coni aventi per vertice il centro
della sfera e per basi quelle della zona limitano un solido detto settore
sferico.
(Nel secondo caso il solido ottenuto è la differenza fra una sfera e due settori sferici di uguali dimensioni, come descritti nel primo caso, le cui calotte sferiche sono state ottenute da due piani paralleli passanti ad uguale distanza dal centro della sfera.)
Una semisfera è equivalente al solido differenza tra un cilindro ed un cono aventi raggio di base e altezza uguali al raggio della semisfera.
Il volume della sfera sarà il doppio del volume della semisfera.
Il volume di una sfera è uguale ai quattro terzi del prodotto della costante p per il cubo della misura del suo raggio.
L'area della superficie di una sfera è quattro volte quella di un cerchio di uguale raggio.
L'area della superficie di un fuso sferico è direttamente proporzionale alla propria ampiezza come l'area dell'intera superficie sferica lo è rispetto ad un angolo giro.
L'area della calotta sferica è uguale al doppio del prodotto del raggio per l'altezza e per la costante p.
L'area della zona sferica è uguale al doppio del prodotto del raggio per l'altezza e per la costante p.
Il volume di uno spicchio sferico è direttamente proporzionale alla propria ampiezza come il volume dell'intera sfera lo è rispetto ad un angolo giro.
Il volume del segmento sferico a due basi è uguale alla somma dei quattro terzi del prodotto della costante p per metà dell'altezza al cubo, più la metà dell'area del cerchio maggiore per l'altezza, più la metà dell'area del cerchio minore per l'altezza.
Il volume del segmento sferico ad una base è uguale alla somma dei quattro terzi del prodotto della costante p per metà dell'altezza al cubo, più la metà dell'area del cerchio per l'altezza.
Il volume di un settore sferico è uguale a quello di una piramide la cui area di base è uguale all'area della calotta, o della zona che limitano il settore, e la cui altezza è uguale al raggio della sfera alla quale il settore appartiene.
Origine della geometria - Lo studio razionale della geometria - Enti geometrici fondamentali - I postulati - Il "postulato del movimento" - Figure geometriche uguali - Proprietà dell'uguaglianza - I teoremi - Il "teorema inverso" - I corollari
RETTE, SEMIRETTE, SEGMENTI
Alcuni postulati sulla retta - La semiretta - I segmenti - Confronto di due
segmenti - Somma e differenza di due segmenti - Somme di tre o più segmenti
GLI ANGOLI
I semipiani - Gli angoli - Angoli concavi e convessi - Come si indica un angolo
- Angolo piatto e angolo giro - Confronto di due angoli - Angoli consecutivi e
angoli adiacenti - Somma e differenza di angoli - Angoli supplementari - La
bisettrice di un angolo - Angoli retti, acuti, ottusi - Angoli complementari -
Angoli opposti al vertice
I TRIANGOLI
Definizioni relative al triangolo - Triangoli equilateri, isosceli, scaleni -
Triangoli uguali - Primo criterio di uguaglianza dei triangoli - Una proprietà
del triangolo isoscele - Secondo criterio di uguaglianza dei triangoli - Terzo
criterio di uguaglianza dei triangoli - Bisettrici mediane di un triangolo -
Applicazione dei teoremi - Il "teorema dell'angolo esterno" -
Triangoli rettangoli, ottusangoli, acutangoli - Relazioni tra i lati di un
triangolo e gli angoli opposti - Relazioni tra i lati di un triangolo - I
poligoni
RETTE PERPENDICOLARI
Definizione - Teorema - Asse di un segmento - Luoghi geometrici - Distanza fra
un punto ed una retta - Le "altezze di un triangolo" - Un'altra
proprietà del triangolo isoscele - Criteri di uguaglianza dei triangoli
rettangoli - Una proprietà della bisettrice di un angolo - Simmetria rispetto
ad una retta o ad un punto
RETTE PARALLELE
Esistono rette di un piano che non hanno punti in comune - Angoli
"alterni", "corrispondenti", "coniugati" - I
criteri di parallelismo - Il postulato delle parallele - Somma degli angoli
interni di un triangolo - Generalizzazione dei criteri di uguaglianza dei
triangoli - Somma degli angoli interni di un poligono - Somma degli angoli
esterni di un poligono - Angoli con lati paralleli o perpendicolari
PARALLELOGRAMMI
Definizione - Criteri per riconoscere se un quadrilatero è un parallelogrammo -
Parallelogrammi particolari - Il trapezio - Fascio di rette parallele
LA CIRCONFERENZA
Definizione - Il cerchio - Proprietà delle corde - Altre proprietà - Posizioni
di una retta rispetto ad una circonferenza - Tangenti ad una circonferenza -
Posizioni relative di due circonferenze - Angoli alla circonferenza
POLIGONI INSCRITTI E
CIRCOSCRITTI AD UNA CIRCONFERENZA
Definizione - Punti notevoli di un triangolo - Quadrilateri inscritti e
circoscritti - Poligoni regolari
POLIGONI EQUIVALENTI
Eguaglianza di estensione - Postulati dell'equivalenza - Parallelogrammi
equivalenti - Triangoli equivalenti - Equivalenza fra trapezi e triangoli -
Equivalenza fra poligoni circoscritti e triangoli - Problemi grafici
TEOREMI DI EUCLIDE E PITAGORA
Primo teorema di Euclide - Teorema di Pitagora - Secondo teorema di Euclide
MISURA DELLE GRANDEZZE GEOMETRICHE
Grandezze geometriche omogenee - Multipli e sottomultipli di una grandezza -
Rapporto fra due grandezze - Grandezze commensurabili - Grandezze
incommensurabili e loro rapporto - Misura di una grandezza - Proprietà relative
alla misura di grandezze - Unità di misura - Area del rettangolo - Area del
quadrato - Aree di altri poligoni - La "formula di Erone" per il
triangolo
PROPORZIONI FRA GRANDEZZE
Grandezze in proporzione - Proporzioni continue - Proprietà fondamentali delle
proporzioni fra grandezze - Altre proprietà delle proporzioni fra grandezze -
Proprietà delle proporzioni tra segmenti - Unicità del quarto proporzionale -
Grandezze direttamente proporzionali - Grandezze inversamente proporzionali - Il
teorema di Talete - I "teoremi della bisettrice"
POLIGONI SIMILI
Esempio di figure "simili" - Triangoli simili - Teorema - Criteri di
similitudine - Altri teoremi sui triangoli simili - Poligoni simili - Teoremi
sui poligoni simili
APPLICAZIONI DELLA SIMILITUDINE
Nuova dimostrazione dei teoremi di Euclide - Il teorema "delle corde"
- Teorema "delle secanti" - Il teorema "della tangente e della
secante" - La "sezione aurea" di un segmento - Lato del decagono
regolare inscritto in una circonferenza
MISURE DELLA CIRCONFERENZA E DEL
CERCHIO
Lunghezza della circonferenza - Come si determina la lunghezza di una
circonferenza - Lunghezza di un arco - Area del
cerchio - Area del settore circolare - Area della corona circolare
RETTE E PIANI NELLO SPAZIO
Come si può individuare un piano nello spazio - Postulati dello spazio -
Intersezione tra retta e piano - Intersezione di due piani - Perpendicolarità
tra retta e piano - Il teorema "delle tre perpendicolari" - Distanza
di un punto da un piano - Simmetria rispetto ad un piano e rispetto ad un punto
- Angolo di una retta con un piano - Mutue posizioni di rette nello spazio -
Angolo e distanza di due rette sghembe - Parallelismo tra retta e piano -
Parallelismo tra piani - Il teorema di Talete nello spazio
DIEDRI, TRIEDRI, ANGOLOIDI
Angoli diedri - La "sezione normale" di un diedro - Piani
perpendicolari - Triedri - Relazione tra le facce di un triedro - Triedri uguali
- Angoloidi
I POLIEDRI
Definizioni relative ai poliedri - PRISMI: Definizioni relative ai prismi -
Misura della superficie di un prisma retto - Parallelepipedi - Parallelepipedi
rettangoli - Misura della superficie di un parallelepipedo rettangolo - Misura
della diagonale di un parallelepipedo rettangolo - Il cubo - PIRAMIDI:
Definizioni relative alla piramide - La piramide retta - Piramide
"regolare" - Area della superficie di una piramide retta - Tronco di
piramide - Area della superficie di un tronco di piramide retta - Poliedri
regolari
VOLUME DEI
POLIEDRI
Misura di un solido - Volume di un parallelepipedo rettangolo - Volume del
cubo - Poliedri equivalenti - Il principio di Cavalieri - Equivalenza tra prismi
- Volume di un prisma - Equivalenza tra piramidi - Volume della piramide -
Volume del tronco di piramide
IL CILINDRO E IL
CONO
Il cilindro - Area della superficie del cilindro - Volume del cilindro - Il cono
circolare retto - Teorema - Area della superficie del cono - Volume del cono -
Tronco di cono
LA SFERA
Definizione di superficie sferica - Posizioni di una retta rispetto ad una
superficie sferica - Posizioni di un piano rispetto ad una superficie sferica -
Fuso sferico - Calotta e zona sferica - La sfera - Parti della sfera - Volume
della sfera - Area della superficie sferica - Area del fuso sferico - Area della
calotta e della zona sferica - Volume dello spicchio sferico - Volume dei
segmenti sferici - Volume dei settori sferici
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