PHYSICS

 
 
 
 

Home My Greek page Physics links page Science Science Fiction

Έχουμε έναν ταλαντωτή που διέπεται από τη διαφορική εξίσωση και έχει αρχικές συνθήκες . Παρατηρούμε ότι υπάρχει ένας όρος που μπορεί να θεωρηθεί ως δύναμη τριβής και έχει τη μορφή . Για να δούμε τη συμπεριφορά της λύσης της διαφορικής εξίσωσης με το χρόνο θα δούμε τι επιπτώσεις έχει ο όρος της δύναμης τριβής. Το έργο της δύναμης τριβής σε μια περίοδο θα είναι . Μπορούμε σε πρώτη προσέγγιση να θεωρήσουμε ότι σε μια περίοδο το πλάτος της ταλάντωσης δεν μεταβάλλεται έντονα άρα μπορούμε να πούμε ότι οι λύσεις του αρμονικού ταλαντωτή περιγράφουν την κίνησή μας για το διάστημα από t=0 ως t=T, όπου Τ είναι η περίοδος του αρμονικού ταλαντωτή. Άρα θα έχουμε για το έργο : Από εδώ βλέπουμε ότι η ενέργεια ελαττώνεται όταν το ε είναι θετικό. Για να προσδιορίσουμε την πρώτης τάξης προσέγγιση χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των δύο χρόνων. Θεωρούμε ως γρήγορο χρόνο τον t και ως αργό χρόνο τον τ=εt. Η λύση θέλουμε να έχει τη μορφή άρα θα έχουμε και με αντικατάσταση στη διαφορική μας εξίσωση θα έχουμε το σύστημα των εξισώσεων . Από την πρώτη διαφορική έχουμε μια λύση της μορφής . Με αντικατάσταση στη δεύτερη εξίσωση από το σύστημα των εξισώσεων που έχουμε παίρνουμε τις εξισώσεις για τους συντελεστές : . Από αυτές τις δύο εξισώσεις έχουμε ότι Φ=Φ0 και όπου c είναι σταθερά ολοκλήρωσης. Αν εφαρμόσουμε τις συνοριακές συνθήκες έχουμε . Από αυτά συμπεραίνουμε ότι Φ0=0 και 2c=-1. Άρα έχουμε τη λύση της διαφορικής μας εξίσωσης .Παρατηρούμε ότι όταν έχουμε ε>0 η λύση πάει στο μηδέν ως t-0,5. Αν έχουμε ε<0 τότε παρατηρούμε ότι το πλάτος της ταλάντωσης όταν το t πάει στο (4/3)ε-1 γίνεται άπειρο. Για να συγκρίνουμε τα αποτελέσματά μας με τα πραγματικά φτιάχνουμε τα παρακάτω γραφήματα :   ε=2 , 0<t<50     ε=-0.1 , 0<t<13 Στο πρώτο γράφημα βλέπουμε ότι η λύση που βρήκαμε θεωρητικά σε όλο το διάστημα από t=0 ως t=50 προσεγγίζει την ακριβή λύση που μας έδωσε η αριθμητική μέθοδος Runge-Kutta. Στο δεύτερο γράφημα βλέπουμε ότι η λύση προσεγγίζει την ακριβή λύση μέχρι το t να πλησιάσει την τιμή για την οποία το πλάτος πάει στο άπειρο. Κοντά σε αυτή την τιμή βλέπουμε ότι η ακριβής λύση πάει στο άπειρο πιο γρήγορα από αυτή που υπολογίσαμε.

Sign My GuestbookView My Guestbook         vagelford@oocities.com