PHYSICS

 
 
 
 
 
 
 
 

Home My Greek page Physics links page Science Science Fiction

Λύσεις των θεμάτων Κβαντομηχανικής Ι του τμήματος Λαχανά 7/9/99               Θέμα 1ο Σωματίδιο μάζας m κινείται στο δυναμικό Οι ιδιοτιμές της ενέργειας είναι  και οι κανονικοποιημένες ιδιοσυναρτήσεις Αν την στιγμή t=0 το σωματίδιο βρίσκεται σε κατάσταση που περιγράφεται από την κυματική συνάρτηση να βρεθεί η μέση τιμή της ορμής  τη στιγμή t.               Λύση : Η μέση τιμή δίνεται από τη σχέση  Μετά από πράξεις καταλήγουμε στην σχέση Από την σχέση αν υπολογίσουμε τα ολοκληρώματα έχουμε όπου              Θέμα 2ο Σωματίδιο μάζας mκινείται σε δυναμικό V(r) . Αν η κυματική συνάρτηση γραφτεί με τη μορφή  όπου α και S πραγματικές συναρτήσεις να δειχθεί ότι η εξίσωση Schrodinger στο όριο που  οδηγεί στην εξίσωση Hamilton-Jacobi  και στην εξίσωση . Ποιο το περιεχόμενο της δεύτερης εξίσωσης;               Λύση : Αρχικά υπολογίζουμε τις παραγώγους άρα έχουμε Βάζουμε τις παραπάνω σχέσεις στην εξίσωση του Schrodinger και μετά από πράξεις έχουμε Την παράσταση αυτή μπορούμε να την θεωρήσουμε ως εξίσωση ανάμεσα σε δύο μιγαδικούς αριθμούς λόγω του ότι οι συναρτήσεις α και S είναι πραγματικές. Έτσι λέμε ότι Re(z)=Re(w) και Im(z)=Im(w) και άρα έχουμε τις δύο σχέσεις από αυτές τις σχέσεις έχουμε ότι από την δεύτερη για  και με απαλοιφή του α οδηγούμαστε στην εξίσωση Hamilton-Jacobi και από την πρώτη με πολλαπλασιασμό με 2α και τις ταυτότητες οδηγούμαστε στην εξίσωση  η οποία είναι μια εξίσωση συνέχειας με πυκνότητα  και ρεύμα .             Θέμα 3ο Δέσμη σωματιδίων ενέργειας Ε προσκρούει εξ αριστερών στο δυναμικό όπου Vo>0. Αν Ε<Vo να δειχθεί ότι : Τα πλάτη Α και Β της προσπίπτουσας και ανακλώμενης δέσμης αντίστοιχα έχουν ίδιο μέτρο αλλά διαφορετική φάση. Ποια η φυσική σημασία της ισότητας των μέτρων των Α και; Να υπολογισθεί η διαφορά φάσης φ των Α και Β. Για τιμές της ενέργειας Ε πολύ μικρότερες του Vo να δειχθεί ότι το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με αυτό της ανάκλασης από το δυναμικό               Λύση : 1) Θεωρούμε δύο περιοχές του χώρου. Α) x<0 ,V=0 Εδώ η διαφορική μας εξίσωση έχει τη μορφή και η λύση της είναι της μορφής  B) x>0 , V=Vo Εδώ η διαφορική εξίσωση έχει τη μορφή και η λύση έχει τη μορφή  επειδή όμως Ε<Vo θα έχουμε ότι  άρα η λύση θα έχει τη μορφή και από την συνθήκη ότι για x® ¥?Ψ® 0 έχουμε ότι D=0 άρα . Από τη συνέχεια της Ψ στο 0 και από τη συνέχεια της πρώτης παραγώγου έχουμε τις σχέσεις και από εδώ έχουμε ότι  και άρα για το μέτρο των Α και Β έχουμε . Επίσης καταλήγουμε στη σχέση . Εδώ θέτουμε  και έχουμε  από τη σχέση αυτή με αντικατάσταση των σταθερών και πράξεις καταλήγουμε ότι . Η φυσική σημασία του ότι τα μέτρα των Α και Β είναι ίσα είναι ότι αφού τα σωματίδια της δέσμης έχουν μικρότερη ενέργεια από το δυναμικό τότε δεν είναι δυνατόν κάποια από αυτά να βρεθούν στο άπειρο. Άρα τα σωματίδια που ανακλώνται είναι τόσα όσα και τα σωματίδια που φτάνουν στο σκαλοπάτι δυναμικού. Αυτό δεν εμποδίζει κάποια σωματίδια να προχωρήσουν και στην κλασσικά απαγορευμένη περιοχή, και αυτά όμως τελικά θα ανακλαστούν από το δυναμικό. 2)Αν θεωρήσουμε ότι Ε<<Vo τότε θα έχουμε για τη διαφορά φάσης που ισχύει στην περίπτωση δυναμικού της μορφής

Sign My GuestbookView My Guestbook               vagelford@oocities.com