Die Fibonacci-Folge

Leonardo von Pisa , bekannt unter dem Namen Fibonacci stellte im Liber Abbaci folgendes Problem "aus dem Liebesleben der Kaninchen" dar: Es wird die Nachkommenschaft eines (idealisierten) Kaninchenpaares unter folgenden Annahmen betrachtet: Jedes Kaninchenpaar wird im Alter von 2 Monaten fortpflanzungsfähig Jedes Kaninchenpaar bringt von da an jeden Monat ein neues Paar zur Welt Alle Kaninchen leben ewig Wie viele Kaninchenpaare gibt es dann nach n Monaten? Dies führt zu der Rekursionsformel: a 1 =1, a 2 =1, a n+2 =a n+1 +a n Und ergibt folgende Zahlenfolge, auch Fibonacci-Zahlen genannt: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... Betrachtet man nun jene durch die Fibonacci-Zahlen definierte Folge z n = , so konvergiert diese Folge z n gegen einen Grenzwert z mit: z = z n = = = (1 + ) = (1 + ) = 1 + = 1 + = (1 + ) also nach Multiplikation mit z: z 2 = z + 1 oder: z 2 - z - 1 = 0 Dies ist genau die algebraische Gleichung, die wir schon bei der Berechnung des goldenen Schnittes gelöst haben mit der einzigen positiven Lösung =. Da nun z n = immer positiv ist, ist = = .