CAPÍTULO VII: O SÉCULO XVIII
TRABALHO DE DIANA MARONA
O Século XVIII
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A produtividade matemática, deste século, concentrava-se no cálculo e suas aplicações à mecânica.
As maiores figuras desta época são:
Leibniz (1646-1716)
Os irmãos Bernoulli: Jakob (1654-1705) e Johann (1667-1748)
Euler (1707-1783)
Lagrange (1736- 1813)
Laplace (1749-1827)
A atividade científica era centrada nas academias, em especial as de Paris, Berlim e Sampetersburgo.
O ensino universitário desempenhava um papel praticamente nulo.
Neste período, os principais estados europeus eram governados por iluministas, que por puro prazer, rodeavam-se de homens cultos. Este prazer, era uma espécie de esnobismo intelectual, pois sabiam da importância que as ciências naturais e as matemáticas aplicadas desempenhavam na modernização das manufaturas e no aumento da eficácia militar.
A astronomia continuou a desempenhar um papel importante na investigação matemática, sob proteção real e imperial.
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A família Bernoulli, desde o século XVII até a época atual, te produzido cientistas em todas as gerações. Entre eles encontram-se Jakob e Johann. A história diz que estes dois irmãos foram os primeiros alunos importantes de Leibniz.
JAKOB BERNOULLI (1654-1705)
Em 1687 Jakob inicia sua correspondência com Leibniz; neste mesmo ano, aceitou lecionar a cadeira de Matemática na Universidade da Basiléia, onde ensinou até sua morte, em 1705.
Algumas das contribuições de Jakob encontram-se o uso de coordenadas polares, estudo da catenária, da lemniscata e da espiral logaritma. Em 1690 encontrou a “isócrona”, proposta por Leibniz em 1687. Jakob também estudou as figuras isoperimétricas (1701).
Jakob foi um dos primeiros a estudar a teoria das probabilidades, sobre o que escreveu Ars Conjectandi, obra publicada após sua morte, em 1713. Os números de Bernoulli, surgem neste livro, na discussão sobre o triângulo de Pascal.
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JOHANN BERNOULLI (1667-1748)
Em 1691-1692, Johann passou a lecionar cálculo a um jovem Marques de L`Hopital e, em troca passou a receber um salário regular, concordou em enviar ao nobre francês suas descobertas mais importantes, para serem usadas como o marques desejasse. A conseqüência foi que, uma das mais importantes descobertas de Johann passou a historia como Regra de L`Hopital.
Em 1695, Johann tornou-se professor em Groninga, depois da morte de seu irmão mais velho (Jakob, doze anos e meio mais velho) sucedeu-lhe na Basiléia, onde permaneceu por 43 anos.
Seu trabalho estava intimamente ligado ao de seu irmão, o qual torna-se difícil distinguir entre os resultados de um e de outro. São considerados os inventores do cálculo das variações.
Além dos irmãos Bernoulli destacam-se outros da mesma família, como:
Daniel (1700-1782), filho de Johann, estudou o problema da Hydrodynamica. Com os estudos de Daniel, juntamente com Euler e d’Alembert é que surgem pela primeira vez, as séries trigonométricas...
Nicolaus I (1687-1759) estudou o problema de Sampeterburgo...
entre outros.....
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Na Basiléia, também surge o mais produtivo matemático do século XVIII, LEONHARD EULER. A vida deste acadêmico foi exclusivamente dedicada aos diferentes campos da matemática aplicada e pura.
Euler, cego em 1766, continuou a ditar suas descobertas, durante sua vida escreveu cerca de 560 livros e artigos. Em vários campos, a apresentação feita por Euler, adquiriu sua forma quase definitiva, um exemplo, nossa atual trigonometria; com suas concepções de valores trigonométricos, como razões, e sua útil, fácil e prática notação, que data da Introductio in analysin infinitorum (1748). Esta obra trata de vários assuntos, entre eles uma exposição das séries ex, senx, cosx, uma discussão sobre curvas, superfícies e etc.
Algumas obras de Euler:
INSTITUTIONES CALCULI DIFFERENTIALIS (1755): encontra-se e neste livro não só o cálculo elementar, mas também teorias das equações diferenciais, teorema de Taylor, fórmula da soma de Euler,....
MECHANIC SIVE MOTUS SCIENTIA ANALYTICE EXPOSITA (1736): primeiro texto na qual a teoria Newtoniana do ponto material foi desenvolvida com métodos analíticos.
THEORIA MOTUS CORPORUM SOLIDORUM SEU RIGIDORUM (1765):neste texto, a mecânica dos corpos sólidos estava tratada de uma forma semelhante. Este texto contém as equações de Euler par um corpo que gira a volta de um ponto.
VOLLSTÄNDIGE ANLEITUNG ZUR ALGEBRA (1770): serviu como modelo de muitos textos posteriores sobre álgebra. Este livro compreende a teoria das equações cúbicas e biquadradas, teoria das equações indeterminadas,...
METHODUS INVENIENDI LINEAS CURVAS MAXIMI MINIMIVE PROPRIETATE GAUDENTES (1744): foi a primeira exposição sobre cálculo das variações.
Euler foi o primeiro a utilizar a letra como base do sistema de logaritmos naturais, a letra , o uso das letras minúsculas designando lados de triângulos e maiúsculas para seus ângulos opostos,..
A enorme fertilidade de Euler tem sido fonte de continua de surpresa e admiração para todos que tem tentado estudar seus trabalhos, uma tarefa não muito difícil como parece, pois sua notação é quase moderna, ou melhor a nossa notação é quase a de Euler!!!
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É importante realçar não só algumas contribuições de Euler para a ciência, mas também, algumas fraquezas de Euler.
Aceitamos, por exemplo, a afirmação de Euler, de que log n tinha uma infinidade de valores que são todos números complexos, exceto quando n é positivo, em que um dos valores é real. Ele chegou a esta conclusão afirmando que log(-1)=0. Mas não podemos segui-lo quando ele escreve:
1-3+5-7+.....= 0 , ou quando conclui que:
e
que
Não podemos criticar Euler, apenas devemos falar da falta de rigor quando algum resultado tenha sido obtidos por raciocínios que não possam ser sustentados logicamente.
A fundamentação do calculo de Euler pode ter sido as suas fraquezas, mas ele exprimiu os seus pontos de vista sem imprecisões.
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Embora Euler fosse o principal matemático desse tempo, a França continuou a produzir trabalhos de grande originalidade. Para os franceses, a matemática era considerada a ciência que viria trazer mais perfeição a teoria de Newton.
A questão do newtoniano vs. Cartesianismo tornou-se durante algum tempo um assunto de grande interesse. Para os cartesianos, a terra alongava-se nos Pólos, na teoria de Newton, a terra era achatada.
Após uma expedição ao Peru (1735), e outra ao Torne, na Suécia (1736-1737), para que se medisse um grau de longitude, o resultado das expedições foi um triunfo para a teoria newtoniana.
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JEAN LE ROND D’ALEMBERT (1717 – 1783)
Em 1743, escreveu o traité de dynamique , conhecido como tratado de d’Alembert, trata do método em reduzir a dinâmica dos corpos sólidos à estática. Em 1747, escreve sobre a teoria das cordas vibrantes, esta teoria o tornou junto com Daniel Bernoulli, o fundador da teoria da equações diferenciais às derivadas parciais.
Pelo seu precoce brilhantismo, tornou-se em 1754 secrétaire perpétuel da Academia Francesa, ou seja, o homem de ciência mais influente da França.
d’Alembert escrevia sobre vários assuntos com facilidade, incluindo questões fundamentais em matemática. O teorema fundamental da álgebra é por muitas vezes chamado teorema de d’Lembert devido a sua tentativa de o provar (1746).
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O principal matemático britânico desta época foi COLIN MAcLAURIN, discípulo de Newton.
Vários teoremas de Maclaurin ocupam lugar na nossa teoria das curvas planas e na geometria projetiva. Algumas de suas obras:
Geometria organica (1720): encontramos a observação de uma curva de ordem n não é sempre determinada por n(n+3)/2 pontos, conhecido como paradoxo de Cramer.
Treatise of fluxions (1742): obra de difícil leitura, linguagem geométrica antiquada. Contem as investigações de Maclaurin sobre as atrações de elipsoides de revolução e o seu teorema que diz que se 2 elipsoides, for confocais, atraem uma partícula sobre o eixo ou no equador com forças proporcionais ao seus volumes.
Neste livro, ele trata também da famosa série de Maclaurin, que não era bem de Maclaurin; pois Taylor em uma de suas obras, em 1715, já havia tratado dessa série.
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JOSEPH – LOUIS LAGRANGE (1736-1813)
Com 19 anos de idade tornou-se professor de matemática na Escola de Artilharia de Turim (1755), sua terra natal.
Em 1766, Lagrange foi para Berlim onde ficou até 1786, partindo daí para Paris. Durante a Revolução, ajudou na reforma dos sistemas de pesos e medidas, mais tarde tornou-se professor da Escole Normale (1795) e depois da Escole Polytechnique (1797).
Lagrange após observar as memorais de Euler, resolveu estudar o calculo das variações com um olhar de analista puro; o resultado não tem apenas descobertas originai, mas também um material histórico muito bem ordenado. Contribuiu para o problema da teoria da lua, importante para calcular a longitude.
Sur la résolution des équations numériqus (1767): apresentou métodos para separar raízes reais de uma equação algébrica e para as aproximar de frações continuas.
Lagrange dedicou a Segunda parte da sua vida a composição de seus maiores trabalhos:
Mécanique analytique (1788)
Théorie des fonctions analytiques (1797)
Leçons sur le calcul des fonctions (1801), estes livros sobre funções, foram uma tentativa de dar uma fundamentação solida ao calculo pela sua redução a álgebra. O livro Mecanique foi um triunfo da analise pura, o que o caracterizou como o primeiro verdadeiro analista.
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PIERRE SIMON LAPLACE (1749-1827)
Ultimo dos principais matemáticos do sec. XVIII.
Era professor de matemática da Escola Militar de Paris, possuía outros cargos docentes e administrativos, durante a Revolução participou da organização da Escole Normale e da Escole Polytechnique.
Os dois grandes trabalhos de Laplace, unificam não só as suas investigações mas também todo o trabalho anterior dos correspondestes assuntos, são théorie analytique des probabilités (1812) E mecanique céleste ,5 vols. (1799 – 1825). Este ultimo foi o culminar dos trabalhos de Newton, d’Lembert, Euler, Lagrange e do próprio Laplace sobre a forma da terra, a teoria da lua, o problema dos três corpos e as perturbações dos planetas, conduzindo ao problema da estabilidade do sistema solar.
As questões relacionadas com probabilidades surgem, de acordo com Laplace por que em parte conhecemos as coisas, em parte somos ignorantes.
O grandioso volume contem uma discussão extensa sobre probabilidades geométricas, o teorema de Bernoulli, teoria dos mínimos quadrados. Ao utilizar fonctions génératrices, das quais laplace demonstra o poder para a solução de equações às diferenças; surge a transformada de Laplace.
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No final do século XVIII, é curioso o fato de alguns dos principais matemáticos terem expresso o sentimento de que o campo da matemática estava saturado. Desde a antiga Babilônia até Laplace e Euler a astronomia guiou e inspirou as mais sublimes descobertas da matemática. Agora, este desenvolvimento parecia Ter desenvolvido o seu máximo. Os teoremas mais importantes tinham sido descobertos, e portanto, os futuros estudiosos apenas encontrariam pequenos problemas para resolver. Porém, uma nova geração inspirada por novas perspectivas, abertas pela revolução francesa e pelo florescimento das ciências naturais viria demonstrar como este pensamento era infundado.