La regulación "por tramos" que se ha definido en el párrafo anterior suele ser preferible a la aplicación de técnicas no lineales, por su mayor complejidad. Otra alternativa a la regulación por tramos es linealizar las señales de los componentes cuya respuesta no sea lineal. Suele ser el caso de sensores que incluyen la electrónica necesaria para linealizar la señal o bien, si el regulador será programado, podemos valernos de una tabla que, como en la figura anterior, devuelva un valor Z proporcional a la señal original X, aunque la señal intermedia Y no lo sea.
CONSTRUCCIÓN DEL DIAGRAMA DE BODE.
Se basa en aplicar como entrada del componente a ensayar una señal senoidal U de amplitud constante y frecuencia variable. Para cada frecuencia, la respuesta Y será otra señal senoidal de la misma frecuencia pero con distinta amplitud y desfasada respecto de la señal de entrada U. El cociente entre la amplitud de la señal de salida y la amplitud de la señal de entrada es la ganancia del componente, pero no se representa esta ganancia sino el módulo (MdB) expresado en decibelios y se calcula como el logaritmo decimal de la ganancia multiplicado por 20. La frecuencia se expresa en radianes/segundo, siendo su relación con la frecuencia en hertzios:
El diagrama de Bode es doble, ya que se representa el módulo respecto de la frecuencia y el desfase (o simplemente fase) respecto de la frecuencia. La fase se expresa en grados, teniendo en cuenta que una oscilación completa corresponde a 360º y será negativo en caso de retraso y positivo en caso de adelanto. La escala gráfica en el eje de la frecuencia es logarítmica como puede verse en la figura, de forma que incrementos iguales en el logaritmo de la frecuencia corresponden a incrementos iguales en la escala, pero no a incrementos iguales en la frecuencia. Por ejemplo, para una frecuencia de 316.228 rad/seg, el punto a marcar en la escala logarítmica estará a 2.5 unidades del cero, ya que el logaritmo decimal de 316.228 es 2.5.
El hecho de aplicar escalas logarítmicas en el módulo y en la frecuencia no es un capricho. Curiosamente, las escalas logarítmicas nos permiten detectar las frecuencias a las que aparecen cambios de comportamiento en el componente, simplemente porque las representaciones del módulo en escala logarítmica son rectas y las frecuencias significativas se localizan por los cambios de pendiente. Otra gran ventaja de las escalas logarítmicas se fundamenta en que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos. De esta forma, los módulos (MdB) de dos componentes en serie (ver siguiente figura) se determinan simplemente como la suma de los módulos, es decir, la gráfica del conjunto es la suma de las gráficas. Lo mismo sucede con la gráfica de fase, ya que el desfase resultante (en grados) será la suma de los desfases debidos a cada uno de los componentes.
Si las gráficas de un sistema se pueden determinar sumando las gráficas de sus componentes y se conoce la relación entre ellos (el diagrama de bloques), entonces será posible obtener los diagramas del sistema sin tener que experimentar determinando punto a punto. Sin embargo, solo es válido si todos los componentes están en serie, puesto que los diagramas resultantes de componentes en paralelo no serán la suma de los diagramas. Por lo tanto, cuando dos componentes se encuentren en paralelo, habrá que determinar directamente los diagramas del conjunto formado por los dos componentes, y el resultado ya podrá sumarse con el resto de componentes.
Al comenzar un diagrama de Bode de un sistema o de una parte del sistema desconocida, hay que tener ciertas precauciones para que los resultados sean fiables. A medida que se aumente la frecuencia disminuirá el módulo y llegará un momento en que la señal de salida dejará de oscilar. La frecuencia límite a partir de la que ya no es posible continuar dependerá de la amplitud de la señal de entrada. Por otra parte, si la amplitud de la señal de entrada es demasiado grande, las oscilaciones con bajas frecuencias también serán muy grandes en la salida, por ejemplo, en una regulación de posición, la oscilación pudiera superar el recorrido práctico y se producirían choques. Si la amplitud de la señal de entrada es demasiado pequeña, a bajas frecuencias serán más significativos los fenómenos no lineales, como pudiera ser el rozamiento mecánico. Estos fenómenos pueden ser causa de una deformación de la señal de salida, dejando de ser senoidal y con ello haciendo menos fiables los resultados. Es importante que el sistema no resulte afectado por fenómenos ajenos al mismo, por ejemplo, si en una regulación de posición rápida no se fija bien el conjunto y el armazón oscila por el movimiento de la masa que se desplaza, los diagramas de Bode que se determinen ya no representarán al sistema regulado sino al conjunto formado por el sistema, su armazón, y las reacciones con el entorno.
Dependiendo del componente o sistema a ensayar, hay que comenzar experimentando qué amplitud de la señal de entrada es la más apropiada, para conseguir un rango de frecuencias en el que se detecten, al menos, los cambios de comportamiento más significativos del componente o sistema. En el caso de sistemas no lineales, el valor de la señal de salida en torno a la cuál se ejecutan las oscilaciones (un punto de funcionamiento concreto) tampoco será indiferente, recordemos que en sistemas no lineales habrá que determinar su comportamiento con varios puntos de funcionamiento distintos y por lo tanto, si es posible, hacer los diagramas de Bode con varios puntos de funcionamiento distintos. En algunos casos, el punto de funcionamiento se podrá fijar añadiendo a la señal senoidal de entrada una componente continua, en otros será más complicado, como el caso de posicionado, ya que el actuador debe cambiar constantemente de sentido y es más dificil asegurar que la oscilación se centre siempre en un punto concreto del recorrido.
Generalmente, la señal senoidal de entrada será una señal eléctrica, ya que los componentes suelen ser pilotados eléctricamente. Si se ensaya con el sistema completo, la salida también será eléctrica, procedente del dispositivo de medida. Por lo tanto, una alternativa frecuente es utilizar un generador de ondas para la señal de entrada y un osciloscopio para visualizar y comparar las dos señales, determinando así las amplitudes y el desfase que correspondan a cada frecuencia de prueba, para trazar punto a punto los diagramas de Bode. En el posicionado neumático de la maqueta no se utilizó generador de ondas ni osciloscopio, en su lugar se programó la señal senoidal con el propio autómata destinado para su control y también el autómata se encargó de leer la medida de posición, compararla con la generada como entrada y calcular módulo y fase. La posibilidad de programar permitió conseguir una oscilación centrada en una posición concreta, para lo que se añadió a la señal senoidal una pequeña componente continua con el fin de conseguir un pequeño deslizamiento en avance de las oscilaciones. Al oscilar y ganar posición poco a poco, se terminaba alcanzando la posición establecida, y, en ese momento, el programa registraba los datos correspondientes a una oscilación completa y calculaba los datos para añadir un nuevo punto en los diagramas de Bode. Con un poco más de esmero, el autómata hubiera podido controlar todo el proceso necesario para generar automáticamente los diagramas.
ESTABILIDAD.
La siguiente figura resume el concepto de estabilidad absoluta en un sistema identificado con una función de transferencia Gs y un controlador con una función de transferencia Gc. Rompiendo el lazo cerrado y aplicando una señal senoidal A y consigna U igual a cero, se transmite por el otro extremo una señal B que es opuesta a la realimentación o señal de medida Y, ya que Y cambia de signo en el nudo de señales. En estas condiciones, el sistema convierte la señal A en otra señal Y que tendrá un determinado retraso de fase. Si el retraso de Y respecto de A no puede llegar a 180º para ninguna frecuencia, entonces puede cerrarse el lazo, uniendo B con A, sin que las oscilaciones aumenten, porque B también tendrá desfase respecto de A y por lo tanto se amortiguan en un cierto grado, es decir, el sistema consume energía y las oscilaciones disminuyen. Por el contrario, si el retraso de Y respecto de A sí puede llegar a 180º, entonces las señales A y B no tendrán desfase, tal como vemos en la figura. En estas condiciones, la estabilidad depende de la amplitud de la señal Y o la de B, que serán iguales. Si la amplitud de B es menor que la de A y se cierra el lazo, resultará un sistema estable, porque la señal A irá perdiendo amplitud, ya que se iguala con B. Al contrario, si la amplitud de B es mayor o igual que la de A, resultará un sistema inestable, porque la señal A se mantiene o se incrementa, ya que se iguala con B.
Es verdad que pueden evitarse señales con una frecuencia tal, que el retraso no alcance los 180º, pero en la práctica no es aceptable porque toda señal es siempre una superposición de muchas otras, llamadas armónicos, de modo que alguna de ellas puede coincidir o acercarse demasiado a la frecuencia que lo inestabiliza, ese armónico será amplificado por el sistema y terminará dominando la respuesta. Tampoco ha de olvidarse la influencia de perturbaciones ajenas al sistema.
Este concepto de estabilidad absoluta solo nos dice si el sistema es estable o no lo es, pero no nos aporta una medida de la estabilidad. Con los diagramas de Bode también se puede determinar la estabilidad relativa como se representa en la siguiente figura. Se conoce como frecuencia de corte (en lazo abierto) a la frecuencia con la que se anula el módulo (expresado de decibelios), o, lo que es igual, a la frecuencia con la que la ganancia es igual a 1, ya que el logaritmo de 1 es cero. Con frecuencias mayores a la de corte, el módulo es negativo y la ganancia menor de 1, de modo que el sistema atenúa las oscilaciones de frecuencias mayores a la de corte. Si el retraso de 180º se alcanza a mayor frecuencia que la de corte, entonces el sistema es estable porque, como se acaba de decir, la ganancia es menor de 1. El margen de fase y el margen de ganancia, marcados en la figura, son una medida de la estabilidad relativa y miden, respectivamente, el número de grados y el número de decibelios que faltan para llegar a la inestabilidad. En el ejemplo representado como inestable, se observa que con el retraso de 180º tenemos un módulo mayor que cero, por lo que la ganancia será mayor de 1 y si se cierra el lazo (uniendo B con A como en la figura anterior) aumentarán las oscilaciones.
En lazo cerrado se denomina "banda pasante" al intervalo de frecuencias entre las que el sistema mantiene buena ganancia, concretamente se corresponde con una pérdida en módulo de 3 dB. En esta banda de frecuencias responde con rapidez a las exigencias de control y lógicamente, interesa que la banda pasante sea grande para que mantenga la capacidad de reaccionar con altas frecuencias. La banda pasante (en lazo cerrado) coincide aproximadamente con la frecuencia de corte (en lazo abierto), por lo tanto, aumentar la frecuencia de corte significa aumentar la velocidad de respuesta del sistema. Sin embargo, a medida que se aumenta la frecuencia de corte disminuyen los márgenes de fase y de ganancia, acercándose a la inestabilidad.
Para mejorar la respuesta se necesita, en consecuencia, aumentar la frecuencia de corte a la vez que se disminuye el retraso de fase, de forma que el módulo siempre sea menor de cero cuando se alcance el retraso de 180º. En el siguiente tema veremos los diferentes bloques o comportamientos que caracterizan a todo sistema y a cualquier regulador. Cada bloque tiene su propio diagrama de Bode característico, de forma que podemos configurar el regulador o controlador con los bloques que mejor se adapten para mejorar la respuesta del sistema. Como el controlador y el sistema estarán en serie, sus correspondientes diagramas de Bode pueden sumarse, lo que permite probar diferentes configuraciones de control hasta alcanzar el objetivo: Aumentar la frecuencia de corte y disminuir el retraso de fase sin que se pierda la estabilidad. Para garantizar en la práctica un comportamiento satisfactorio, el margen de fase debe estar entre 30º y 60º y el margen de ganancia ser superior a 6 dB.