Las condicions que se imponen a la hora de regular sistemas pueden estar relacionadas con la frecuencia o con el tiempo. Las relacionadas con la frecuencia se han explicado en los diagramas de Bode y son la banda pasante (o frecuencia de corte a la que el módulo se anula), el margen de fase y el margen de ganancia. Las relacionadas con el tiempo serán velocidad de respuesta, coeficientes de error frente al escalón, rampa y aceleración, y relación de amortiguamiento. La velocidad de respuesta tiene una relación directa con la frecuencia natural en los polos dominantes de lazo cerrado, o bien con la frecuencia de cruce si solo hay un polo dominante. Por lo tanto, la especificación de velocidad se expresa en términos de frecuencia, que deberá ser alta para velocidad alta. Frecuencia alta significa polos dominantes de lazo cerrado alejados del origen, cuyo límite lo impone la naturaleza física del sistema. Los coeficientes de error determinan la capacidad que debe tener el sistema para eliminar el error estático y el error al seguir una consigna variable con velocidad constante o velocidad variable y aceleración constante.
Regulador PID:
La siguiente figura presenta el diagrama de bloques y la función de transferencia de un regulador proporcional, integral y derivativo (PID), que se encuentra en el mercado como controlador electrónico de propósito general, o bien como subrutina de control en la mayoría de los autómatas programables. Los reguladores PID electrónicos se presentan con frecuencia como reguladores de temperatura, sin embargo son aplicables en el control de otros tipos de sistemas como caudal, presión, nivel, etc. Dependiendo de la aplicación a la que se destine, será necesario ajustar los parámetros K, Ti y Td o bien K, Ki y Kd. Según los valores que tomen los parámetros, sus raices podrán adoptar diversas configuraciones como se ha desarrollado en la figura, de forma que la compensación podrá ser en atraso o en adelanto.
Utilizando el programa de cálculo del lugar de las raices y probando las diversas configuraciones del PID, será facil encontrar las posiciones de las raices que más beneficios aporten al sistema. En el caso más general, el PID aporta un polo en el origen y dos ceros, de modo que su función de transferencia se puede calcular como K·(s-z1)·(s-z2)/s, siendo z1 y z2 los ceros. Desarrollando los productos quedará en forma de polinomio y dividiendo entre el término independiente quedarán definidos los parámetros Ti y Td, ya que Ti será igual al coeficiente del término en "s" y Ti·Td será igual al coeficiente del término en "s al cuadrado". Por último, el parámetro K nos lo dará el programa (como Kc) cuando se pulse en el punto del lugar de las raices con el que se quiera que trabaje el sistema.
Según se desprende de la función de transferencia del PID, el único polo que añade está en el origen (un factor integral), por lo que compensará en atraso y aumentará considerablemente la precisión estática. Hay muchos sistemas que necesitan mejorar su precisión estática y el PID será una buena alternativa, pero en los casos en que el sistema tiene su propio integrador o un polo muy cerca del origen, o en general cuando no se necesite una mejora en la precisión, el polo en el origen del PID debe anularse. Esto se consigue haciendo Ti muy grande (o bien Ki igual a cero), que es equivalente a poner en el origen uno de los dos ceros del PID, de forma que solo quedará un cero en el eje real porque el polo y un cero quedan cancelados. En estos casos, el PID solo aporta un cero al sistema y es posible que no sea suficiente para conseguir la mejora buscada, siendo preferible otra configuración más eficiente que el PID.
Otras alternativas de regulación.
En los casos en que el PID no sea una buena solución, lo más común será que el diseño se haga personalizado a la aplicación. El programa de cálculo del lugar de las raices será una buena herramienta para buscar la mejor configuración de polos y ceros para el controlador. Una vez encontrada, no quedará más remedio que construir o programar el controlador, ya que, como se ha dicho, será dificil encontrar un regulador comercial con el que se alcancen las especificaciones de funcionamiento. Mas adelante se trata el tema sobre implementación de reguladores por dos procedimientos: Reguladores electrónicos construidos con amplificadores operacionales y reguladores programados, sin profundizar en lenguajes de programación, sino describiendo las operaciones y condiciones que debe ejecutar el programa, para que pueda adaptarse a cualquier lenguaje y sistema programable.
Otra alternativa para regular es aplicar una compensación en paralelo, que se diferencia de la compensación en serie en que se añade el regulador en un lazo de realimentación y divide al sistema en dos partes. También será posible configurar sistemas mixtos con un regulador en serie y uno o más lazos de realimentación que forman parte del sistema. Cuando se dispone en el proceso de una señal adecuada puede ser más económico y racional una compensación en paralelo porque los efectos se aplican desde un punto de mayor energía y no suelen hacer falta amplificadores adicionales.
Precisión estática.
Sea un sistema con un controlador, un proceso y un componente de medida cuyas ganancias en régimen estático (en equilibrio) sean Kc, Kp y Ks como se representa en la figura. La relación entre el error "e" y la consigna "c" será entonces una medida de la precisión alcanzada. En la parte inferior de la figura se encuentra un ejemplo con regulador PI en el que se obtiene una relación e/c = 0, es decir, un error nulo. Un elemento integral, que acumula la señal de entrada, tiene una ganancia que en teoría es infinito en régimen estático, ya que la salida crece indefinidamente. Por esta razón, una acción integral mejora la precisión del sistema, pues acumula un valor que no se anula cuando se alcanza el equilibrio y contrarresta la tendencia del sistema. Por ejemplo, cuando se regula la posición vertical de una masa pesada, la acción proporcional se anula cuando se alcanza la posición de consigna, y es entonces cuando la acción integral mantiene a la masa en posición. Mientras exista error, la acción integral aumenta hasta que lo hace desaparecer. Existen sistemas que ya contienen un componente integrador y no es necesario añadirlo en el regulador, ya que si se añade se aumentará innecesariamente el retraso de fase y se acercará más a la inestabilidad.
Coeficientes de error frente al escalón, la rampa y la aceleración.
Dependiendo del uso que tendrá un sistema, la exigencia que se impone en cuanto al seguimiento de la consigna será distinta. Por ejemplo, en un desplazamiento en el que solo importa la posición final y no se necesita precisión en el recorrido a seguir, bastará con hacer pequeño el error frente al escalón. Si el uso consiste en seguir con precisión una trayectoria, entonces hay que exigir precisión frente a la rampa, manteniendo pequeño error en el movimiento con velocidad constante, y, posiblemente, también frente a los cambios de velocidad, que serán aceleraciones. La figura representa el concepto matemático de los tres tipos de error, en lo que no profundizaremos, siendo suficiente con los coeficientes Kp, Kv y Ka, recuadrados en la figura. Cuanto mayores sean estos coeficientes, menor será el error correspondiente.
Los sistemas en los que el denominador de G(s)·H(s) no tiene una raíz en el origen (en s = 0), o, lo que es igual, no tienen integrador, mantienen un error constante frente al escalón (que será pequeño si Kp es grande), pero no pueden seguir una rampa ni una aceleración. Los que tienen una raíz en el origen anulan el error frente al escalón y mantienen error constante frente a la rampa (que será pequeño si Kv es grande), pero no pueden seguir una aceleración. Los que tienen dos raices en el origen anulan el error frente al escalón y la rampa, manteniendo error constante frente a la aceleración (que será pequeño si Ka es grande). Por último, los que tienen tres raices en el origen, anulan el error frente a los tres tipos de consigna. A mayor número de raices en el origen (integradores) es mayor la dificultad para mantener al sistema estable y en la práctica es raro construir sistemas con más de dos raices en el origen.
Cuando se aplica una compensación en adelanto (acercando algún cero hacia el origen) con el fin de aumentar la velocidad de respuesta, la precisión se ve perjudicada. Cuando se puede conseguir la velocidad deseada con diversas configuraciones de las raices del regulador, un criterio razonable es elegir la solución que aporte la mayor precisión, es decir, aquella para la que sean mayores los coeficientes de error. Al contrario, si se aplica una compensación en atraso (acercando algún polo hacia el origen) con el fin de mejorar la precisión, ésta tendrá como límite las dificultades que surjan para mantener al sistema estable.
En la siguiente figura se considera un regulador de función Gc(s) y un proceso de función G(s) y se desarrolla, como ejemplo, el coeficiente de error de velocidad (Kv) del conjunto. Si nos fijamos en el denominador de la función de lazo abierto G(s)·H(s), se observa que falta el término independiente y se puede sacarse factor común a "s", por lo que existe un integrador en el proseso, ya que aparece "s" como factor en el denominador. Por existir un integrador, el coeficiente de error frente al escalón (Kp) es infinito, puesto que al estar "s" en el denominador y considerar que tiende a 0, el cociente tiende a infinito. Como conclusión se puede decir que el sistema eliminará el error estático frente al escalón (por ser Kp infinito) y tendrá capacidad para seguir consignas en rampa con un coeficiente de velocidad Kv igual a 23.3.
