Con los conceptos que acaban de ser definidos, ya podemos decir que el lugar de las raices se forma con las trayectorias que siguen los polos de lazo cerrado, a medida que la ganancia Kc varía desde 0 hasta infinito. Nótese que los polos de lazo cerrado son las raices de la ecuación característica, ya que por ser el denominador de la función de lazo cerrado, sus raices se consideran polos. La ecuación característica, expresada en función del numerador y denominador de la función de lazo abierto y haciendo común denominador, resulta un cociente de polinomios, que, al ser igual a 0, puede quitarse el denominador y quedar en la forma recuadrada según la figura anterior, es decir: den+Kc·num = 0.
El lugar de las raices comienza en las raices de la ecuación característica cuando Kc es igual a 0, de lo que resultará: den+0·num = 0 y por lo tanto: den = 0. Como den es el denominador de la función de lazo abierto, se concluye que el lugar de las raices comienza en los polos de la función de lazo abierto (p1, p2...), ya conocidos. El lugar de las raices finalizará cuando Kc sea infinito, de lo que resultará: den+infinito·num = 0. Cualquier valor de "s" que no coincida con una raíz del polinomio num, hará a num distinto de 0 y por lo tanto, infinito·num será infinito o -infinito. Este resultado, sumado a den, no puede ser cero y no cumplirá la ecuación característica. Por lo tanto, las raices cuando Kc llegue a infinito solo pueden ser las del polinomio num, es decir, los ceros de la función de lazo abierto (z1, z2...), ya conocidos. El primer paso para construir el lugar de las raices será dibujar los polos y ceros de la función de lazo abierto, puesto que, como se ha dicho, comenzará en los polos y terminará en los ceros.
Cada valor intermedio de Kc entre 0 e infinito hace que la ecuación característica cambie y será muy costoso resolver una cantidad suficiente de "ecuaciones características" como para definir con claridad los recorridos que siguen sus raices. Además, si el grado de la ecuación característica es elevado, se añade otra dificultad porque es dificil resolver ecuaciones con grado superior a 3. Estas dificultades pueden superarse si los cálculos los hace un ordenador, de modo que se añade un programa que hará el trabajo pesado por nosotros:
Existe otra alternativa que ofrece muchas pistas para el trazado manual del lugar de las raices, y conocerlo es interesante porque, aunque no lo hagamos a mano, puede ayudar a detectar errores y siempre es deseable comprender la razón de las cosas. Si se prefiere ver el desarrollo del procedimiento manual, basta con pulsar el siguiente enlace.
ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA.
Supongamos que se desea interpretar la función de transferencia que se muestra en la siguiente figura, obtenida experimentalmente con diagrama de Bode o bien por otro procedimiento, como un modelo matemático, un diagrama de bloques, etc. Los factores que la forman se describen en la columna izquierda: Un integrador, al que corresponderá un polo (p1) en el origen. Un retardo de segundo orden del que se conoce su frecuencia natural y su relación de amortiguamiento, resultando los polos p2 y p3. Un retardo de primer orden del que se conoce su frecuencia de cruce, resultando el polo p4. Un factor de segundo orden del que se conoce su frecuencia natural y su relación de amortiguamiento, resultando los ceros z1 y z2. Una ganancia del sistema igual a 1, por lo que no tiene efecto en la función de transferencia. Por último, un parámetro Kc variable, con el que construir el lugar de las raices.
Aunque el factor Kc quedará multiplicado por la ganancia del sistema, resultando un solo factor, se ha preferido distinguirlos porque Kc no forma parte del sistema sino del controlador. El programa de cálculo que se ha utilizado también los diferencia, de modo que el valor de Kc, que se calcula cuando se pulsa con el ratón en un punto del diagrama, ya es igual a la ganancia que se debe añadir con el controlador, a fin de que el sistema se comporte con las características del punto pulsado.
Con el programa abierto, ya solo falta introducir los ceros y polos que se han determinado y pulsar "Ejecutar trazado", resultando el diagrama que se ha mostrado en la figura anterior. Pulsando con el ratón en cualquier punto de las trayectorias, el programa indica las coordenadas (sigma y omega) del punto pulsado y la ganancia Kc que corresponde al punto. Así se ha comprobado los puntos marcados en rojo en la figura, y con los valores de Kc resultantes se han sacado las conclusiones que muestra la figura en la columna derecha. Hay que tener claro que para cada valor de Kc habrá 4 polos de lazo cerrado que se corresponden con ese valor, ya que existen 4 trayectorias que comienzan en los polos de lazo abierto que se han introducido. Recordar igualmente que cada trayectoria comienza en un polo de lazo abierto con Kc igual a 0, que los polos de lazo cerrado van recorriendo las trayectorias a medida que aumenta Kc, y que llegarán al final de las trayectorias cuando Kc se haga infinito, siempre en los ceros introducidos, o bien en el infinito si no existían suficientes ceros. En el ejemplo hay dos trayectorias que se dirigen al infinito porque había 4 polos pero solo dos ceros, de modo que los otros dos ceros están en el infinito.
Las posiciones de los polos de lazo cerrado (4 en el ejemplo) para un valor de Kc, tienen las propiedades que ya conocemos sobre estabilidad, frecuencia natural y relación de amortiguamiento. Sin embargo, habrá un solo polo, o dos en caso de ser conjugados, los que dominan el comportamiento del sistema, y serán los que más cerca se encuentren del eje imaginario. En el ejemplo, se han marcado en rojo los 4 polos de lazo cerrado que corresponden con Kc = 27.52, resultando dominantes los dos conjugados que coinciden en el eje imaginario, por lo tanto, un valor de Kc igual a 27.52 llevará al sistema al límite de la estabilidad.
Conclusiones:
Kc mayor de 0 y menor de 5.9 hace que el polo de lazo cerrado que arranca desde p1 sea dominante, porque su coordenada sigma estará entre 0 y -6.8, mientras que los demás estarán más lejos del eje imaginario. Por lo tanto, el sistema tiende a comportarse como si tuviera un único polo en el eje real, es decir, como un retardo de primer orden, con respuesta lenta, especialmente lenta, porque para una frecuencia de cruce entre 0 y 6.8 rad/seg, que es pequeña, resulta una constante de tiempo (inverso de la frecuencia de cruce) grande y, como sabemos, es el tiempo que tarda en llegar a los dos tercios del valor final.
Con Kc entre 5.9 y 27.52, los polos dominantes ya serán los que arrancan desde p2 y p3, de modo que el sistema se volverá muy oscilatorio por la cercanía de los polos al eje imaginario. Será muy poco amortiguado, porque el ángulo beta (en la figura) será grande y la relación de amortiguamiento será pequeña, ya que es el coseno de beta. Por la cercanía al origen, su frecuencia natural será pequeña y por lo tanto le faltará rapidez en su respuesta.
Con Kc entre 27.52 y 1173.83 será inestable porque habrá dos polos de lazo cerrado a la derecha del eje real. Curiosamente, con Kc por encima de 1173.83, el sistema recobra la estabilidad, con más velocidad de respuesta por estar más lejos del origen, pero la relación de amortiguamiento vuelve a ser pequeña y seguirán apareciendo amplias oscilaciones. Por lo tanto, lo que habrá ganado en rapidez será perjudicial, puesto que lo aplica en oscilar más deprisa en lugar de atender más rápido a la consigna.
La conclusión final solo puede ser que este sistema necesita una compensación o cambio que mejore su comportamiento. El controlador que se aplique necesitará algo más que una ganancia (Kc) para conseguir resultados en un sistema que demuestra ser "desastroso" a efectos de regulación. Naturalmente, el lugar de las raices puede ser ampliado con nuevas acciones en el controlador que modifiquen las trayectorias y den como resultado un mejor comportamiento. Otra posibilidad, en lugar de modificar las trayectorias, es que el controlador anule o "cancele" ciertas características negativas del sistema y añada otras mejores.
Correcciones en el sistema:
La primera parte de la siguiente figura muestra el efecto de añadir dos ceros próximos al origen. Demuestra un cambio radical en la estabilidad del sistema, ya que las trayectorias que antes pasaban a la derecha del eje imaginario, ahora se distancian por la izquierda y el sistema será estable para cualquier valor de Kc. Se consigue un desplazamiento a la izquierda añadiendo uno o más ceros y el efecto es mayor cuanto más se acerquen hacia la derecha los ceros añadidos. Este tipo de compensación es en adelanto y se consigue con factores que añaden ceros como es el caso de los factores derivativos y los factores de primero y segundo orden. El desplazamiento a la izquierda aumenta (generalmente) la distancia al origen y con ello la velocidad de respuesta también aumenta. El caso contrario de añadir polos es una compensación en atraso y tiene el efecto de desplazar las trayectorias hacia la derecha.
La compensación en atraso acerca a la inestabilidad y disminuye la velocidad de respuesta, pero mejora la precisión estática. La compensación en adelanto aumenta la velocidad y estabilidad, pero disminuye la precisión estática. Por lo tanto, no es posible mejorar a la vez la velocidad y la precisión, sino que debemos buscar el mejor equilibrio posible entre ambas. Un controlador puede diseñarse para que trabaje como compensador en atraso o en adelanto de forma configurable, por ejemplo con un cero y un polo cuyas posiciones dependan de algún parámetro, se puede hacer que el cero quede a la derecha o a la izquierda del polo y, lógicamente, compensará en adelanto si el cero queda a la derecha del polo y compensará en atraso en caso contrario. Así mismo, la distancia al origen del cero y del polo determinará la intensidad en el atraso o adelanto.
La compensación en adelanto que ha sido añadida en el ejemplo, a pesar de haber hecho al sistema estable, no es la más adecuada porque todavía está limitada la relación de amortiguamiento, ya que el ángulo beta no puede ser menor que el dibujado en la figura. Además, la proximidad al origen de uno de los ceros, prácticamente cancela el polo en el origen y por ello quedará muy resentida la precisión estática. Un cero y un polo muy cercanos o coincidentes hace que sus acciones se contrarresten y que apenas tengan efecto en la respuesta. Esto puede ser otra forma de corregir un sistema (cancelando polos perjudiciales) y demuestra ser más acertado en el ejemplo que seguimos, ya que como vemos en la segunda parte de la figura anterior, al añadir dos ceros coincidentes con los dos polos conjugados, se consigue un cambio radical del comportamiento: Aumenta la distancia al origen y, por lo tanto, también aumenta la velocidad. Se mantiene estable para cualquier valor de Kc, y la relación de amortiguamiento será perfectamente ajustable porque el ángulo beta mínimo puede llegar a cero grados. En la figura se ha marcado un punto que corresponde a una relación de amortiguamiento igual a 0.7 aproximadamente (coseno de beta igual a 0.7), siendo beta igual al arco cuya tangente es el cociente entre las coordenadas del punto (omega y sigma).