Centro Per Il Potenziamento Cognitivo
“PERCHÉ LA MATEMATICA - MATEMATICA PERCHÉ”
di Carlo Angaroni
Due per uno due, due per due quattro…La mamma mi rincorre intorno al tavolo di cucina cercando di acciuffarmi per farmi ripetere le tabelline, ma è primavera, fuori il sole già caldo chiama con irresistibili promesse ed io sono deciso a vendere cara la pelle.
Non so dire con precisione se questo sia il primo ricordo legato alla matematica, ma certo è quello più vivo nella mia memoria.
A quei tempi in cui tutto era chiaro, la matematica mi appariva già come un'attività inevitabile, dati i suoi strettissimi legami con molteplici aspetti della vita quotidiana. Addirittura utile quando si trattava di contare figurine, misurare a passi le dimensioni di un campo di gioco o stabilire con equità la quota pro capite di ciliegie pericolosamente colte con gli amici su un albero proibito. Nel peggiore dei casi semplicemente necessaria, come per il conto della spesa dal salumiere o al baretto dell'oratorio.
Divertente no, mai, piuttosto noiosa, sì, parecchio noiosa e faticosa, addirittura insopportabile quel fatidico pomeriggio di primavera.
Finché
un giorno la maestra...
Un giorno però la maestra ci propose un problema un po' strano ma apparentemente innocuo che diceva pressappoco così:
"Un grosso dado troneggia su un tavolo. Luciano, seduto a questo tavolo, vede tre facce del cubo: la faccia superiore e due delle facce verticali. Salvatore, seduto dalla parte opposta di Luciano, vede a sua volta tre facce: le due facce verticali che Luciano non vede ed ancora la faccia superiore. La somma delle tre facce viste da Luciano è 7, mentre la somma delle facce viste da Salvatore è 11. Qual è il numero riportato sulla faccia nascosta (quella inferiore) del dado?" (Luciano e Salvatore erano i miei compagni più bravi in matematica).
Non so esattamente cosa capitò, ma certamente senza volerlo mi ritrovai a pensare al problema mentre gli altri, finita aritmetica, già si dilettavano con gli articoli determinativi e, completamente concentrato sulla questione, dopo diversi tentativi andati a vuoto riuscii a risolverlo.
La cosa si ripeté qualche tempo dopo e successivamente molte volte ancora. Un altro problema intrigante che ricordo è questo:
"Due amiche, Anna e Laura, si rivedono dopo un lungo periodo di tempo. Anna chiede a Laura l'età dei suoi figli e lei risponde: "Il prodotto delle età dei miei tre figli è 36". Anna chiede ulteriori indicazioni. Laura aggiunge: "La somma delle loro età corrisponde al numero civico della casa davanti alla quale ci troviamo". Di nuovo Anna dice di non avere elementi sufficienti, cosicché Laura completa: "Il maggiore ha gli occhi azzurri". A questo punto giunge immediata la deduzione di Anna: " Ho capito! Le età sono…".
Sorpresa,
divertimento, sfida
cognitiva
Queste esperienze mi rivelarono un aspetto sorprendente e inaspettato della matematica: poteva essere divertente, nello stesso senso in cui era per me divertente esplorare qualche via sconosciuta del paese, qualche cortile mai visto, qualche giardino misterioso oltre l'alto muro di cinta o costruire una fionda o un arco. Un'attività che coinvolge pienamente, nella quale devi utilizzare al meglio le tue abilità, che richiede attenzione e concentrazione, fantasia, ingegno, allenamento anche, e che può essere faticosa, ma di una fatica "buona", che non pesa. Un'impresa che puoi vivere come una sfida, un gioco in cui ti metti alla prova per scoprire fin dove arrivano le tue energie migliori.
A queste ragioni se ne sono aggiunte altre, perché alcuni di quei giardini inesplorati una volta raggiunti hanno rivelato frutteti rigogliosi ma soprattutto nuove recinzioni e luoghi arcani.
Immagino che quella che ho descritto sia una storia abbastanza comune ma sta di fatto che la matematica non gode di buona fama presso il largo pubblico e spesso anche persone istruite e per altro colte addirittura si vantano di "non essere portate per la matematica" e "di non capirci niente".
D'altra parte ognuno si diverte come vuole e come può, e nel caso della matematica non è difficile intuire le cause di tanta avversione.
La specificità del linguaggio matematico, che deve essere padroneggiato ad un livello minimo prima che si possa accedere al suo mondo di idee e ragionamenti, e l'astrattezza degli oggetti matematici, se da un lato costituiscono elementi di fascino e attrazione (per pochi), dall'altro sono lo scoglio principale contro cui si infrangono e spesso naufragano i tentativi di avvicinamento dei più.
I motivi a favore dello studio della matematica prevalgono però su ogni obiezione e difficoltà.
La
matematica è bella! è elegante!
Una delle ragioni fondamentali per conoscere la matematica sta nella sua bellezza. E' bella come può esserlo un componimento poetico o musicale, sia su un piano estetico e formale sia su quello dei contenuti.
Non sono in grado di trasmettere compiutamente il senso della bellezza di qualcosa attraverso le parole, ma basta pensare alla dimostrazione euclidea dell'infinità dell'insieme dei numeri primi (alla portata di qualunque studente di scuola superiore) per cogliere molti aspetti che fanno intravedere la bellezza e l'eleganza della matematica: la comprensione in modo semplice e chiaro di un problema all'apparenza complesso ed insolubile; la creatività di un'idea nuova e originale di fronte ad una sfida intellettuale; il contatto mentale dell'uomo, sia pure fugace ed indiretto, con l'infinito.
"Il grande libro della natura è scritto in caratteri matematici". In questo modo Galileo indicava già molti secoli fa che per comprendere e spiegare i fenomeni del mondo di cui facciamo parte (a cominciare da quelli fisici) è necessario fare ricorso alla matematica.
E' questo il secondo importante motivo per coltivare la matematica.
Senza voler entrare nella disputa epistemologica se "la struttura stessa" del nostro universo sia di natura matematica, bisogna riconoscere che senza la matematica è addirittura impossibile definire e trattare in modo coerente e comprensibile concetti come quello di tempo, di spazio, di caso, di complessità, di infinito.
Tra le motivazioni più conosciute del valore della matematica c'è quella della sua utilità "pratica".
E' noto che gran parte della tecnologia moderna utilizza la matematica come strumento potente e necessario e che sono pochissime ormai le attività professionali che possono fare a meno di conoscenze matematiche.
Oggi molti studi e applicazioni in campo biologico, medico, economico, sociologico e legale si basano su metodi e concetti matematici (ad esempio le tecniche statistiche in epidemiologia e farmacologia, gli algoritmi decisionali nel settore terapeutico ecc.), senza contare il supporto fornito dai computer (l'informatica è una branca della matematica) a tutte le attività umane, comprese quelle ludiche.
Se ci mettessimo poi ad indagare i rapporti tra matematica e cultura in senso lato scopriremmo che ve ne sono con la musica, con la pittura e la prospettiva, con la filosofia, la religione e addirittura con la letteratura e l'estetica .
Ad esempio concetti fondamentali per la filosofia, quali quello di verità e di dimostrazione, sarebbero poco comprensibili ed imprecisi se si prescindesse dalla storia e dalla conoscenza della matematica. Non è un caso che in origine la matematica fosse considerata parte integrante della filosofia e spesso i filosofi erano anche matematici e viceversa.
D'altra parte la matematica è stata tra le prime fonti di problemi per la filosofia. Ad esempio, quale oggettività va riconosciuta ai concetti matematici? Le teorie matematiche vengono scoperte o sono un'invenzione dell'uomo? Su questi temi affascinanti e difficili si è sviluppato un ampio dibattito che ha visto contrapporsi principalmente due posizioni: la corrente realista, che si rifà a Platone e quella formalista. Secondo la prima i concetti matematici hanno un'esistenza propria, indipendente dall'uomo; il matematico ha il compito di studiare una realtà astratta ma oggettiva. Secondo la corrente formalista, invece, i concetti matematici sono libere invenzioni dell'uomo: una teoria viene costruita ponendo certi assiomi in modo arbitrario e deducendone i teoremi secondo regole logiche.
Queste considerazioni testimoniano il fatto che la matematica ha rappresentato una delle attività più elevate dello spirito umano e ad essa l'uomo ha sempre attribuito una grande importanza, correndo anche più volte il rischio di sconfinare impropriamente nella religione e nel misticismo.
Concludendo vale la pena di ricordare che c'è addirittura chi sostiene che lo studio della matematica sia un antidoto contro l'ansia e l'angoscia, ma so bene che ci sono ottime ragioni per credere l'esatto contrario, ragioni che ben conosce chi ha avuto la ventura di studiarla a scuola.
Beh, si è fatto tardi, Caterina (mia figlia) deve ancora ripassare le tabelline e non sarà una passeggiata. Due per uno due, due per due quattro…
Il matematico, come il pittore o il poeta, è un creatore di forme. E se le forme che crea sono più durature delle loro è perché le sue sono fatte di idee.
Godfrey H. Hardy
I disegni di Maurits Cornelis Escher, artista e matematico olandese (1898-1972), si prestano molto bene a raffigurare le idee qui espresse.
Di seguito, riportiamo alcune citazioni pertinenti al nostro discorso, tratte dall'articolo Matematica e...Tassellature - Il mondo di Escher, pubblicato sul sito del Progetto Polymath del Politecnico di Torino, dove si può trovare anche un'interessante bibliografia e sitografia sull'opera di questo artista (cliccare qui per accedere al sito ufficiale di Escher, curato dalla M.C. Escher Foundation e dalla M.C. Escher Company B.V.)
Alle superiori ero molto scarso in aritmetica e in algebra perché avevo, e ho ancora una grande difficoltà nell’astrazione di numeri e lettere. Più tardi, quando la mia immaginazione venne attratta dalla stereometria [geometria solida] le cose andarono un po’ meglio, ma a scuola non riuscii mai ad avere buoni risultati in queste discipline. Ma il percorso della nostra vita può prendere strane svolte.
Maurits Cornelius Escher
Non crediate affatto a quello che Escher racconta sulla sua ignoranza matematica. Forse non aveva dei buoni voti, o forse non aveva avuto un buon rapporto con i professori. Ma una conoscenza molto chiara ed approfondita della matematica e della geometria ce le aveva eccome. D'altra parte questo è evidentissimo nei suoi disegni.
Roger Penrose, grande fisico e matematico amico di Escher
Forse è il solito problema: una scuola che non porta lo studente ad amare la matematica, a scoprirne la bellezza.
Commento dell'autore dell'articolo Matematica e...Tassellature - Il mondo di Escher
Molto tempo fa, durante uno dei miei vagabondaggi mi capitò di trovarmi in questo campo (la divisione regolare del piano); vidi un alto muro e poiché avevo il presentimento di trovare qualcosa di enigmatico e di sconosciuto, lo scavalcai faticosamente. Dall’altra parte c’era un deserto che attraversai con gran fatica fino a quando seguendo un complicato percorso, mi trovai su una soglia: davanti a me si spalancavano le porte della matematica. Da qui si dipartivano in diverse direzioni molti sentieri ben tracciati e da allora mi soffermo spesso in questo luogo. Talvolta mi pare di aver perlustrato l’intera zona, di averne percorso ogni sentiero e ammirato ogni veduta; poi improvvisamente scopro un sentiero ancora inesplorato e assaporo nuove delizie”.
Maurits Cornelius Escher
Le leggi dei fenomeni che ci circondano - ordine, regolarità, ripetizioni cicliche e rinascite - hanno assunto per me un'importanza sempre maggiore. La consapevolezza della loro esistenza mi procura pace e conforto; con le mie stampe, cerco di testimoniare che viviamo in un mondo bello e ordinato e non in un caos senza forma, come sembra talvolta.
I miei soggetti sono spesso anche giocosi: non posso esimermi dallo scherzare con le nostre inconfutabili certezze. Per esempio, è assai piacevole mescolare sapientemente la bidimensionalità con la tridimensionalità, la superficie piana con lo spazio, e divertirsi con la gravità...
È piacevole osservare che parecchie persone sembrano gradire questo tipo di giocosità, senza paura di cambiare opinione su realtà solide come rocce.
Maurits Cornelius Escher, da un discorso tenuto a Hilversum nel 1965
Sinapsi n°1-
L'importanza del mediatore (in questo caso, la maestra)
per suscitare interesse nell'allievo.
Connessioni alla sezione di questo sito dedicata alla presentazione del Metodo Feuerstein - soprattutto alla parte relativa a uno dei pilastri di questo metodo: l'Esperienza di Apprendimento Mediato.
Sinapsi n°2-
Enigmi & curiosità intellettuale
Connessioni alla presentazione del Piccolo Spazio Labirintico,
altra sottosezione di
Qui di seguito, alcuni passaggi trattai da tale presentazione:
"Questo spazio è tutto dedicato a quelle affascinanti sfide intellettuali che sono gli enigmi e i paradossi, capaci di far avvolgere il pensiero su se stesso" (...).
"In definitiva, questo spazio è progettato per chi nutra il desiderio (...) di calarsi in quel gioco di specchi che è l'addentrarsi, pensando, nelle tortuose vie del pensiero, per provare a uscirne senza aver smarrito la ragione, o - che (forse) è lo stesso - il senso del gioco, ma anzi portando con sé un discreto bottino. Ossia un po' di materia viva (per quanto grigia), con la quale provare a stimolare la curiosità intellettuale di qualcun altro".
Sinapsi n°3-
Il Metodo Feuerstein, la motivazione intrinseca e l'accettazione delle sfide cognitive.
Connessioni alla sezione di questo sito dedicata al Metodo Feuerstein - in particolare alla presentazione de
Il Programma di Arricchimento Strumentale (P.A.S.), specificamente la parte relativa agli obiettivi.
Sinapsi n°4-
l frattali: formule matematiche che possono essere tradotte in immagini o musiche bellissime.
Connessioni alla pagina di questo sito dedicata ai frattali, in cui cerchiamo di spiegare i perché di questa metafora: motivi generali, che hanno a che fare con un certo modo di guardare il mondo, e
motivi più specifici, basati su interessanti analogie tra le caratteristiche dei frattali e quelle della metodologia metacognitiva proposta da Feuerstein.
Sinapsi n°5-
Problemi apparentemente o realmente insolubili,
il perturbante contatto dell'uomo con l'infinito tramite le vie della ragione.
Connessioni alla sezione di questo sito dedicata a enigmi e paradossi (Piccolo Spazio Labirintico, in
"Un Momento...c'è di più"!), e in particolare alla citazione tratta da John D. Barrow, Infinities
(margine destro)
Sinapsi n°6-
La rete del sapere: i legami esistenti tra le attività spirituali e anche tra le facoltà mentali e le funzioni cognitive proprie dell'essere umano.
Svariate connessioni:
all'introduzione della sezione del sito: "Un Momento...c'è di più!", di cui questa pagina fa parte;
alla problematizzazione della filosofia e al senso del suo progetto conoscitivo, che si trova nella sezione Divergiamo Insieme?;
all'aspetto strutturale della modificabilità cognitiva, uno dei pilastri del Metodo Feuerstein.
Sinapsi n°7-
Il pensiero divergente: considerazioni originali e forse sorprendenti, ma in definitiva più che plausibili, e soprattutto stimolanti...
Connessioni alla sezione di questo sito "Divergiamo Insieme?", in particolare alle Divergenze che rinnovano lo sguardo