Altro su aree e volumi

Questa pagina è la continuazione della prima pagina sulle aree e volumi; per capirla dovete leggere quella precedente. In questa uso dei metodi più sofisticati e tratto casi più specifici.

Figure piane
Rettangolo
In realtà qui non calcolerò l' area del rettangolo, ma la diagonale, perché ciò a volte può essere utile.
Uso il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo che ha per lati i lati del rettangolo e la sua diagonale. Guardate la figura per capire meglio.

(a²+b²)
Quadrato
Il quadrato è un particolare rettangolo, perciò la diagonale si calcola allo stesso modo. Vediamo.
d=

(a²+a²)
d=

(1*a²+1a²)
d=

((1+1)a²)
d=

(2a²)
d=

2*(a²)^1/2
d=

2*a^2(1/2)
d=

2*a¹
d=

2*a
Notiamo (ed era chiaro) che la diagonale dipende solo dal lato del quadrato. Allora potremmo calcolare l' area del quadrato anche conoscendo solo la diagonale. Per capire come trasformiamo la formula sopra in modo da esprimere il lato tramite la diagonale.
d=

2*a

2*a=d //(

2*(1/

2)a=d/

2
1a=d/

2
a=d/

2
razionalizziamo l' espressione
a=d/

2*1
a=d(1/

2*(1/

2)
a=d

2*(1/

2)²
a=d

2*(1²/(2^1/2)²)
a=d

2*(1/2^(1/2)2)
a=d

2*(1/2¹)
a=d

2*(1/2)
a=(

2/2)d
Ora calcoliamo l' area. Per farlo conviene usare l' espressione del lato non razionalizzata (vedrete perché nei conti).
Usando l' espressione razionalizzata:
s=a²
s=((

2/2)d)²
s=(

2/2)²d²
s=((2^1/2)²/2²)d²
s=(2^(1/2)2/4)d²
s=(2¹/4)d²
s=(2/4)d²
s=(1/(1/(2/4)))d²
s=(1/(1/(2(1/4))))d²
s=(1/(1/2/(1/4)))d²
s=(1/((1/2)(1/(1/4))))d²
s=(1/((1/2)4))d²
s=(1/(4(1/2)))d²
s=(1/(4/2))d²
s=(1/2)d²
s=d²(1/2)
s=d²/2
Usando l' espressione non razionalizzata:
s=a²
s=(d/

2)²
s=d²/(2^1/2)²
s=d²/2^(1/2)2
s=d²/2¹
s=d²/2
Abbiamo ottenuto che
a=(

2/2)d
s=d²/2
Parallelogrammo
Si può calcolare l' area del parallelogrammo conoscendo la lunghezza della base e dell' altezza, ma come facciamo se conosciamo entrambi i lati e un angolo (l' angolo è necessario perché un parallelogrammo può essere più o meno inclinato; da questo dipende l' altezza e quindi l' area)? Dobbiamo cercare di calcolare l' altezza dai lati e da un angolo. Usiamo la trigonometria.
Consideriamo il triangolo rettangolo che ha per lati il lato b del parallelogrammo, l' altezza di esso e un pezzo del lato a. Guardate la figura per capire meglio.

Possiamo scrivere
sen t=h/b
h/b=sen t /*b
h(1/b)b=sen t*b
h1=b sen t
h=b sen t
Calcoliamo l' area.
s=ah
s=ab sen t
Abbiamo ottenuto che
h=b sen t
s=ab sen t
Triangolo equilatero
Il triangolo equilatero è un triangolo che ha tutti i lati della stessa lunghezza.
È vero che l' area si calcola come per un normale triangolo, ma dovendo essere tutti i lati della stessa lunghezza, la possibile altezza del triangolo è unica e dipende solo dal lato (non avrebbe senso conoscere sia il lato che l' altezza di un triangolo equilatero, infatti esiste una sola possibile altezza e si calcola dal lato).
Calcoliamo l' altezza usando il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo che ha per lati un lato del triangolo equilatero, metà di un altro lato e l' altezza del triangolo equilatero. Guardate la figura per capire meglio.

(a²-(a/2)²)
h=

(a²-a²/2²)
h=

(a²1-a²/4)
h=

(a²4(1/4)-a²/4)
h=

((a²4)/4-a²/4)
h=

((a²4-a²)/4)
h=

((4a²-1a²)/4)
h=

(((4-1)a²)/4)
h=

(3a²(1/4))
h=

3(a²)^1/2

(1/4)
h=

4a^2(1/2)
h=

3(1/2)a¹
h=(

3/2)a
Ora sappiamo calcolare l' altezza dal lato. Passiamo a calcolare l' area.
s=ah/2
s=a(

3/2)a(1/2)
s=(1/2)

3(1/2)a²
s=(1/2)²

3*a²
s=(1²/2²)

3*a²
s=

3(1/4)a²
s=(

3/4)a²
Abbiamo ottenuto che
h=(

3/2)a
s=(

3/4)a²
Esagono regolare
L' esagono è una figura a 6 lati; l' esagono regolare ha tutti i lati della stessa lunghezza e tutti gli angoli uguali. Si osserva facilmente che è composto da 6 triangoli equilateri, quindi la sua area sarà 6 volte maggiore. In generale è molto difficile calcolare l' area di un poligono (figura con più lati) regolare. Calcoliamo l' area di un esagono regolare.
s=6(

3/4)a²
s=6(1/4)

3*a²
s=3*2*(1/(2*2))*

3*a²
s=3*2((1/2)/2))

3*a²
s=3*2((1/2)(1/2))

3*a²
s=3(1/2)2(1/2)

3*a²
s=(3/2)(2/2)

3*a²
s=(3/2)1

3*a²
s=(3/2)

3*a²
Abbiamo ottenuto che
s=(3/2)

3*a²
Settore circolare
Il settore circolare è una parte di un cerchio delimitata da 2 raggi e da una parte della circonferenza, detta arco (di cerchio).

Si può verificare che l'area di un settore circolare è uguale all' area di un triangolo che ha per base l' arco e per altezza il raggio.
Quindi se chiamiamo l' area s, il raggio r e l' arco l, possiamo scrivere
S=lr/2
Ma se non conosciamo l' arco, come lo calcoliamo? Guardate la seconda pagina sul calcolo di perimetri e superfici per scoprirlo.
L' area si può calcolare anche in un' altro modo. Basta prendere l' area del cerchio, dividerla col numero di gradi o radianti presenti in un' angolo giro e moltiplicare col numero di gradi o radianti dell' angolo presente nel settore circolare (è chiaro che è giusto).
Quindi se chiamiamo l' area s, il raggio r e l' angolo presente nel settore circolare a, possiamo scrivere
S=r²

/(360°)*a (a espresso in gradi)
oppure
S=r²

/(2

)*a (a espresso in radianti)
S=r²

/2/

*a
S=r²

(1/2)(1/

)*a
S=r²(

)(1/2)*a
S=r²1(1/2)*a
S=r²/2*a
S=r²/2*a (a espresso in radianti)
Solidi
Cuboide
In realtà qui non calcolerò il volume del cuboide, ma la diagonale, perché ciò a volte può essere utile.
Uso il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo che ha per lati la diagonale del rettangolo di base, il lato c del cuboide e la diagonale di esso. Guardate la figura per capire meglio.

Abbiamo visto che la diagonale di un retangolo di lati a e b si calcola così (qui la chiamo d₁):
d₁=

(a²+b²)
Calcoliamo la diagonale del cuboide.
d=

(d₁²+c²)
d=

(

(a²+b²)²+c²)
d=

(((a²+b²)^1/2)²+c²)
d=

((a²+b²)^(1/2)2+c²)
d=

((a²+b²)¹+c²)
d=

(a²+b²+c²)
Abbiamo ottenuto che
d=

(a²+b²+c²)
Cubo
Il cubo è un particolare cuboide, perciò la diagonale si calcola allo stesso modo. Vediamo.
d=

(a²+a²+a²)
d=

(1a²+1a²+1a²)
d=

((1+1+1)a²)
d=

(3a²)
d=

3*(a²)^1/2
d=

3*a^2(1/2)
d=

3*a¹
d=

3*a
Notiamo (ed era chiaro) che la diagonale dipende solo dal lato del cubo. Allora potremmo calcolare il volume del cubo anche conoscendo solo la diagonale. Per capire come trasformiamo la formula sopra in modo da esprimere il lato tramite la diagonale.
d=

3*a

3*a=d //(

3(1/

3)a=d/

3
1a=d/

3
a=d/

3
razionalizziamo l' espressione
a=d/

3*1
a=d(1/

3*(1/

3)
a=d

3*(1/

3)²
a=d

3*(1²/(3^1/2)²)
a=d

3*(1/3^(1/2)2)
a=d

3*(1/3¹)
a=d

3*(1/3)
a=(

3/3)d
Ora calcoliamo il volume. Per farlo conviene usare l' espressione del lato non razionalizzata (guardate il perché nei conti per calcolare l' area del quadrato con la diagonale che sono molto simili ai seguenti).
s=a³
s=(d/

3)³
s=d³/(3^1/3)³
s=d³/3^(1/3)3
s=d³/3¹
s=d³/3
Abbiamo ottenuto che
a=(

3/3)d
s=d³/3
Parallelepipedo avente come base un rettangolo
Il volume del parallelepipedo si calcola moltiplicando l' area della superficie di base con l' altezza; ma se chiamiamo il volume v, l' altezza h e a e b i lati del rettangolo che fa da superficie di base al nostro parallelepipedo, siccome la sua area è uguale ad ab, possiamo scrivere:
v=abh
Prisma avente come base un triangolo
Il volume del prisma si calcola moltiplicando l' area della superficie di base con l' altezza; ma se chiamiamo il volume v, l' altezza h e a e h₁ rispettivamente la base e l' altezza del triangolo che fa da superficie di base al nostro prisma, siccome la sua area è uguale ad ah₁, possiamo scrivere:
v=(ah₁/2)h
Prisma avente come base un cerchio - cilindro
Il volume del prisma si calcola moltiplicando l' area della superficie di base con l' altezza; ma se chiamiamo il volume v, l' altezza h e r il raggio del cerchio che fa da superficie di base al nostro prisma, siccome la sua area è uguale ad r²

, possiamo scrivere:
v=r²

Nota: se siamo formali, il cilindro non può essere considerato propriamente un prisma, ma questa è un' approssimazione che a scuola si può fare.
Piramide avente come base un rettangolo
Il volume della piramide si calcola moltiplicando l' area della superficie di base con l' altezza e dividendo con 3; ma se chiamiamo il volume v, l' altezza h e a e b i lati del rettangolo che fa da superficie di base alla nostra piramide, siccome la sua area è uguale ad ab, possiamo scrivere:
v=abh/3
Piramide avente come base un triangolo
Il volume della piramide si calcola moltiplicando l' area della superficie di base con l' altezza e dividendo con 3; ma se chiamiamo il volume v, l' altezza h e a e h₁ la base e l' altezza del triangolo che fa da superficie di base alla nostra piramide, siccome la sua area è uguale ad a*h₁, possiamo scrivere:
v=(ah₁/2)h/3
Piramide avente come base un cerchio - cono
Il volume della piramide si calcola moltiplicando l' area della superficie di base con l' altezza e dividendo con 3; ma se chiamiamo il volume v, l' altezza h e r il raggio del cerchio che fa da superficie di base alla nostra piramide, siccome la sua area è uguale ad r²

, possiamo scrivere:
v=r²

h/3

Nota: se siamo formali, il cono non può essere considerato propriamente una piramide, ma questa è un' approssimazione che a scuola si può fare.
Dove è possibile cercate di vedere le progressive trasformazioni della figura o del solido mentre leggete la sua formula; così non la imparerete a memoria e vi sarà tutto più chiaro. Ad esempio prendiamo la formula per il volume del cono:
v=r²

h/3.
r - immaginiamo il raggio
r² - immaginiamo il quadrato che ha per lato il raggio
r²

- immaginiamo il cerchio che ha per raggio il lato del quadrato (qui l' unica cosa da sapere a memoria è

)
r²

h - immaginiamo il cilindro che ha per base il cerchio
r²

h/3 - immaginiamo di tagliare il cilindro di traverso tutto intorno fino ad ottenere il cono
Ripetete il ragionamento per le figure e gli altri solidi e saprete le formule senza doverle imparare a memoria!!!

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