Definizione di $\Phi$

La funzione $\Phi$ calcola le $w$ parole distinte contenute nel set di documenti di addestramento per ciascuna categoria e calcola due parametri specifici che vengono chiamati Presenza (Presence) e Espressività (Expressiveness). Questi parametri sono specifici di GAME (sempre secondo quanto esposto in [1]) e a differenza di quanto accade per differenti parametri usati da altri algoritmi di classificazione, sono dei valori ``umanamente comprensibili'': $P$ indica quanto un termine $t$ è presente nei documenti appartenenti a una categoria $c_i$, $E$ dà una stima di quanto lo stesso termine (non) appaia nei documenti delle altre categorie.

Il vettore $\phi$ diventa dunque il seguente:

$$\phi = \left[ \begin{array}{c} \{ E_1, P_1 \} \\ \{ E_2, P_2 \} \\ \cdots \\ \{ E_w, P_w \} \end{array} \right]$$ (3.13)

Dato un set di categorie $C = \{c_1, c_2, \cdots, c_k, \cdots, c_n\}$, ciascuna categoria avente (per semplicità) un numero di documenti $m$ (ad es: $c_1 = \{ d_{1,1}, d_{1,2}, \cdots, d_{1,j}, \cdots, d_{1,m} \}$), vengono date le seguenti definizioni:

• Il numero totale di documenti $D_{tot}$ del dominio è:
  

  $$D_{tot} = \sum\limits_{k = 1}^{n} \vert c_k \vert = \sum\limits_{k = 1}^{n} \sum\limits_{j = 1}^{m} d_{k,j}$$ (3.14)

  
  

  dove come già definiti, $n$ sono il numero di categorie e $m$ il numero di documenti per ciascuna categoria

• Il numero di documenti $D_k$ della k-esima categoria è:
  

  $$D_k = \vert c_k \vert = \sum\limits_{j = 1}^{m} d_{k,j}$$ (3.15)

  
  

• Il numero di documenti della categoria $k$ in cui il termine $t$ è presente^3.1:
  

  $$D_{k\vert t} = \vert c_{k\vert t} \vert = \sum\limits_{j = 1}^{m} (d_{k,j}\vert t)$$ (3.16)

  
  

• Infine la Presenza $P$ di un termine $t$ nella k-esima categoria è, usando le equazioni (3.15) e (3.16):
  

  $$P_{k\vert t} = \frac{D_{k\vert t}}{D_k}$$ (3.17)

  
  

  mentre l'Espressività $E$ di un termine $t$ nella k-esima categoria è calcolata tramite:
  

  $$E_{k\vert t} = 1 - \frac{\sum\limits_{p = 1}^{n} P_{p\vert t}}{\vert C\vert - 1} \qquad p \neq k$$ (3.18)

  
  

E' importante far notare come lo stesso termine in categorie differenti abbia diversi valori di espressività. Per un esempio di ciò, si guardi la Tabella 3.1. Un termine $t$ è presente in tutte e tre le categorie e la sua presenza $P_{k\vert t}$ è mostrata nella prima riga. La seconda riga mostra i valori di espressività $E_{k\vert t}$ dello stesso termine per ogni categoria.

Tabella 3.1: esempio numerico di $P$ e $E$. Per una categoria $c_x$, meno un termine $t$ è presente nelle altre categorie, più alta è la espressività che possiede.

	$c_1$	$c_2$	$c_3$
$P_{k\vert t}$	0.9	0.4	0.2
$E_{k\vert t}$	0.7	0.45	0.35

Si nota come il termine $t$ della categoria $c_1$ abbia una espressività maggiore poichè lo stesso termine ha un relativamente piccola presenza nel resto del dominio.