筆者在前面各章已介紹了自然語言中各種「廣義量化結構」的語義和形式表達問題，從本章開始，筆者將討論
與量化結構有關的各種推理模式。「形式語義學」作為邏輯學與語言學的交叉學科，「推理」(Inference)順理
成章成為其首要研究課題之一。筆者認為，假如「形式語義學」只滿足於研究各種語言結構的形式表達而忽視
「推理」問題，那麼它只能成為一種沒有多大實用價值的符號遊戲。
從Aristotle開始，西方的古典形式邏輯便把對「推理」(尤其是「三段論」推理)的研究置於首要位置。現代數
理邏輯雖然對古典形式邏輯作出了重大變革，但其研究重點仍是「推理」問題，儘管其關注重點已由「三段論」
推理轉移至邏輯推理系統和「證明論」(Proof Theory)的研究。從某一角度看，「形式語義學」也是為了解決
某些邏輯「悖論」(Paradox)(註1)而興起的，例如「蒙太格語法」的重大貢獻就是透過建立「內涵邏輯」從而
解決了「晨星昏星悖論」。而當代「形式語義學」其他分支學科在研究語義問題之餘，也極為關注「推理」問
題，例如「廣義量詞理論」便發掘了有關「單調性推理」的研究，並研究含有不同量詞的推理系統之間的關係
；而「類型-邏輯語法」(Type-Logical Grammar)和「自然語言理解的加標演繹系統」(Labelled Deductive
System for Natural Language Understanding)則分別把自然語言語句的句法推導和對語句的理解表現為一種
類似邏輯推導的形式化操作。
在上述眾多推理中，有某些推理與量詞有密切的關係，這些推理包括古典形式邏輯中幾個最重要的課題－「對
當關係推理」、「結構變換推理」和「三段論推理」、當代「廣義量詞理論」專門研究的「單調性推理」和「
對偶性推理」以及Keenan近年提出的「自然邏輯」推理等。由於上述各種推理內容龐雜，筆者將分數章介紹這
些推理的內容，本章首先介紹與量詞有關的「古典推理模式」。
古典形式邏輯的推理可分為「直接推理」和「間接推理」兩種，其中「直接推理」是指從一個前提直接推出結 論的推理，而「間接推理」則是指由兩個或以上前提推出結論的推理。在「直接推理」中，「對當關係推 理」是最重要的一種推理，這種推理是指四個「量化句」之間的邏輯推理關係，下表顯示這四個「量化句 」的名稱、代號、文字結構和三分結構式：
| 名稱 | 代號 | 文字結構 | 三分結構式 |
|---|---|---|---|
| 全稱肯定命題 | |||
| 全稱否定命題 | 所有S不是P ⇔ 沒有S是P | ||
| 存在肯定命題 | |||
| 存在否定命題 |
請注意命題E有兩種表述方式，而且這四個「量化句」涵蓋了三個最重要的量詞："all"、 "some"和"no"。我們可以把這四個「量化句」的推理關係總結為以下的「古典對當方陣」 (Classical Square of Opposition)：
上圖標示了四種「對當關係」，以下簡述這四種推理關係的意義。「差等關係」(Subalternate
Relation)相當於「單向蘊涵關係」，即如果p真，則q也真，但反之則不必然。而根據「假言易位律」，上述「
單向蘊涵關係」又可表述為如果q假，則p也假，但反之則不必然。根據以上「古典對當方陣」，A與I句和E與O
句之間存在「差等關係」，這是合理的。因為若果「所有學生都穿／不穿校服」真，那麼「有學生穿／不穿校
服」自然也真。但從「有學生穿／不穿校服」真卻推不出「所有學生都穿／不穿校服」真，因為可能只是部分
而非全部學生穿／不穿校服。
其次，讓我們看看「矛盾關係」(Contradictory Relation)。這種關係是指若p真，則q假；若p假，
則q真，反之亦然。根據「古典對當方陣」，A與O句和E與I句之間存在「矛盾關係」，這也是合理的。因為若果
「所有學生都穿校服」真，則「有學生不穿校服」自然是假的。類似地，若「所有學生都不穿校服」真，則「
有學生穿校服」自然是假的。
最後，讓我們看看「反對關係」(Contrary Relation)和「下反對關係」(Subcontrary
Relation)。前者是指p和q不可以同真，但可同假；後者則剛好相反，是指p和q不可以同假，但可同真。根據「
古典對當方陣」，A與E句和I與O句之間分別存在「反對關係」和「下反對關係」。容易看到，「所有學生都穿
校服」與「所有學生都不穿校服」不可能同真，但卻可以同假，因為如果實際情況是，有部分(但非全部)學生
穿校服，那麼上述兩句便同假，這就是A與E句的「反對關係」。同理，也容易看到「有學生穿校服」與「有學
生不穿校服」不可能同假，但卻可以同真，因為若果有部分(而非全部)學生穿校服時，上述兩句便同真，這就
是I與O句的「下反對關係」。我們也容易看到「反對關係」與「下反對關係」互有關連。由於A句的否定是O句
而E句的否定是I句，所以當A與E句同假，I與O句就同真(所以用來證明「反對關係」的反例正可用來作為「下反
對關係」的例證)，而A與E句不可同真正蘊涵I與O句不可同假，反之亦然。
利用「古典對當方陣」，我們可以進行一系列推理。舉例說，從E與O句的「差等關係」，可以推得
而且「古典對當方陣」中的推理關係滿足「交換性」(Commutativity)，即對於方陣中任意兩句間的推理關係， 我們可以沿不同的「路徑」進行推理。舉例說，前述的推理(1)便既可以視為從E句沿著向下箭頭直接推得O句， 也可以視為從E句出發，根據「矛盾關係」推得I句假，並再根據「下反對關係」推得O句真(由於I與O句不可同 假，現在既已得I句假，因此必有O句真)，此即以下推理過程：
請注意我們可以利用集合論定理證明「古典對當方陣」上的各個推理關係。舉例說，由於A句可以用集合論語言 表達為S ⊆ P，這句的否定就是S ~⊆ P。根據集合論，S ~⊆ P等價於S ∩ ~P ≠ Φ， 而此式正是O句的集合論表達式，由此證明了A句的否定等價於O句。同理，我們亦可以證明O句的否定等價於A句 ，從而證明這兩句的「矛盾關係」。方陣上的其他關係也可作類似的證明(惟「差等關係」的證明須用到下一小 節介紹的「存在預設」)，這裡從略。
「古典對當方陣」中的推理關係之所以能成立，其實有賴一個前提條件，即在包含「所有」的兩個「量化句」A 和E中，主語S所指稱的事物都是存在的，此即所謂「存在預設」(Existential Import)。Vendler在 Each and Every, Any and All一文中曾討論「全稱量詞」"all"的語義問題，他指出"all"是模棱兩可 的，或者換句話說，有兩個不同的"all"。「實存性的"all"」(Existential "all")近似"every"和"each"，它 所修飾的名詞是實際存在的；而「非實存性的"all"」(Nonexistential "all")則近似"any"，它所修飾的名詞 具有假設性，不一定存在。Vendler指出在討論科學定律或假設事態時，有時要用到「非實存性的"all"」，例 如在語句
中，"perpetual motion machines"(永動機)是不存在的。但這並不影響這句的真確性，因為這句是在說明一種 科學定律，而科學定律的特點是可以就一些未發生或根本不會發生的事態作出陳述。因此我們要區分兩種語句 ，一種語句描述已然事態，另一種則描述未然事態。「已然事態句」中的主語，不論是否受「所有」修飾，都 應該是實際存在的。例如當我們說
時，「學生」顯然是存在的。因此只要我們規定，「古典對當方陣」中的語句都是「已然事態句」，便能保證
方陣中各語句的主語是存在的(註3)，從而保證方陣中的各種關係都成立。
這裡有必要強調一點，上述的「主語S所指稱的事物存在」(以下簡稱「S存在」)在這裡是作為「預設」而非「
斷言」出現。根據語用學上有關「預設」的定義，當某命題被否定時，其「預設」仍然成立。這一點對「古典
對當方陣」來說是非常重要的，因為假如「S存在」是「所有S是P」的斷言的一部分(即該句的邏輯形式為S
⊆ P ∧ S ≠ Φ)，那麼作為其否定的「有S是P」的邏輯形式便是S ~⊆ P ∨ S = Φ
。可是這麼一來，便輪到語句「有S是P」中的S可能不存在了，但這有悖我們對該句的語感。因此為了避免上述
問題，我們必須把「S存在」看作一種「預設」。事實上，它不僅是包含「所有」的兩個「量化句」的「預設」
，而是方陣中四個「量化句」的「預設」。對於「存在預設」的問題，現代的數理邏輯和「廣義量詞理論」尚
有其他處理方法，這將留待以後再介紹。
自從古希臘的邏輯學家提出「古典對當方陣」以後，西方的形式邏輯千百年來都只是沿用這個「對當方陣」而
沒有進一步的發展。不過，根據「廣義量詞理論」，我們可以運用集合論語言來刻劃量詞的語義，因此只要運
用集合論以及現代數學其他學科的知識，應能擴充古典形式邏輯有關「對當方陣」的理論。在本小節，筆者將
討論如何構造包含量詞「只有」的「對當方陣」，至於「對當關係推理」的其他擴充，將留待以後再介紹。
根據《廣義量詞系列：基本單式量詞》中的表3，量詞"all"與
"only"存在對稱關係，以下是這兩個量詞的真值條件：
上式顯示，"all"與"only"互為「逆向反義詞」(這兩個量詞分別對應著「⊆」和「⊇」 )，因此兩者可以互相定義：
利用上述等價關係，我們可以把「古典對當方陣」上的四個「量化句」換成其等價形式。例如「所有S不是P」 便可以換成「只有非P是S」，然後再把位於「主詞」和「謂詞」位置的變項分別重寫為S和P，便得到「只有非S 是P」。這樣我們便可以構造以下這個包含「只有」的「對當方陣」：
容易驗證，上述方陣中四個「量化句」之間的確存在圖中所示的邏輯關係。舉例說，若「只有會員才穿T恤」是
假的，那麼「有非會員穿T恤」自然是真的。類似地，若「只有非會員才穿T恤」是假的，那麼「有會員穿T恤」
自然是真的。由此驗證了方陣上的兩個「矛盾關係」。
由於「⊇」與「⊆」互為「逆向反義詞」，可以預期上述方陣中含有「只有」的兩句也有「存在預設」
的問題。具體地說，如要上圖中的兩個「差等關係」成立，我們必須假定謂語P所指稱的事物存在(以下簡稱「
P存在」)。為了區別以上兩個方陣中兩種不同的「存在預設」，我們把「S存在」和「P存在」分別稱為「主語
存在預設」和「謂語存在預設」。
請注意上面兩個「對當方陣」的I句都是「有S是P」。由於這兩個方陣的E句都與I句處於「矛盾關係」，我們可
以得出如下結論：上述兩個方陣的E句是等價的，即
由於以上兩句各有其逆向形式「only(~P)(S)」和「all(P)(~S)」，而「all(S)(~P)」 和「all(P)(~S)」又可以分別表達為帶"no"的等值式－「no(S)(P)」和「 no(P)(S)」。這樣我們便一共得到六個互相等價的命題，以下六句是這些等價命題的實例：
由此可見，只要在「對當關係推理」中加入"all"的「逆向反義詞」"only"，便可得到豐富得多 的內容。
筆者在前面各章把量詞的概念推廣到不同論域，從而得到各種「廣義量化結構」。這些量化結構除了具有相似 的表現形式外，更重要的是它們有相似的推理模式。事實上，筆者研究「廣義量化結構」的目的，正是要發掘 新的推理模式。在本節筆者將討論在「個體論域」以外其他論域上的「對當關係推理」。讀者將會發現，不同 論域上都存在類似的「對當方陣」。
筆者在《廣義量詞系列：時間量化結構》中曾指出，「時態邏輯」引入的四 個「時態算子」P、F、H和G對應著「個體論域」下的量詞，其中P和F對應著"some"，H和G則對應著 "all"。P與F的分別只在於前者表示過去時間，後者表示將來時間，H與G的分別也是如此。因此，P作為 一種表示過去時間的「存在量詞」，它的意義便相當於「過去曾經」，其餘三個算子的意義也可如此類推。既 然「時態算子」可被解釋成「時間論域」上的量詞，它們自然也存在著對當關係。事實上，研究「時態邏輯」 的學者早已構造了兩個由「時態算子」組成的「對當方陣」，以下是「過去時態對當方陣」：
類似地，我們也有「將來時態對當方陣」：
利用上述兩個「對當方陣」，我們可以得到一系列推理，例如根據A與I句的「差等關係」，可以得到以下推理 ：
可是，上述兩個「對當方陣」遠未能概括「時間量化結構」的所有「對當關係推理」，這是因為自然語言有非
常豐富多樣的表達時間的「量化狀語」。事實上，如果我們把各種「量化狀語」看成「時間論域」上的量詞，
便根本無需為每種「量化狀語」構造專門的「對當方陣」，只需把「古典對當方陣」中四個「量化句」中的S和
P解釋成適當的「時段集合」或「事件集合」便行了。這樣我們便可以推導出很多前人沒有提出過的「對當關係
推理」模式，從而解釋很多涉及「時間量化結構」的推理。
以下首先看一個關於「事件集合」的例子。設我們把S和P分別解釋為「John看牙醫」和「John感到害怕」的「
事件集合」，那麼「古典對當方陣」中的A、E、I、O便分別代表「John每次看牙醫都感到害怕」、「John看牙
醫從不感到害怕」、「John看牙醫有時感到害怕」、「John看牙醫有時不感到害怕」。根據A與O句的「矛盾關
係」，容易得到以下有效推理：
接著再看一個關於「時段集合」的例子，今次我們使用含「只有」的「對當方陣」。設「時間論域」T為過去數 天的時間，並把S和P分別解釋為「昨天」和「John穿T恤」的「時段集合」，那麼~S便是「昨天以外的時間」， 而A、E、I、O便分別代表「John只在昨天穿T恤」、「John只在昨天以外的時間穿T恤」、「John曾於昨天穿T恤 」、「John曾於昨天以外的時間穿T恤」。根據I與E句的「矛盾關係」，容易得到以下有效推理：
筆者在《廣義量詞系列：模態量化結構》中曾指出，「模態邏輯」各分支中 的「模態詞」可以被看成不同「可能世界論域」上的「全稱量詞」和「存在量詞」，因此我們也可以構造對應 於各分支的「對當方陣」，以下逐一介紹。首先，在「真勢模態邏輯」下，我們有「必然」和「可能」這兩個 「模態詞」。相應地，我們有以下這個「真勢模態對當方陣」：
其次，在「認識模態邏輯」下，我們有兩組「模態詞」：表達「信念」的「確信」和「可信」以及表達「知識」 的「確知」和「可想像」。由於這兩組「模態詞」在結構上非常相似，以下只提供「信念對當方陣」：
再次，在「道義模態邏輯」下，我們有「必須」和「可以」這兩個「模態詞」。相應地，我們有以下這個「道 義模態對當方陣」：
最後，筆者在《廣義量詞系列：模態量化結構》中還介紹了一種「祈使邏輯
」。由於這種邏輯基本上是由「道義模態邏輯」引申出來的，只要把上述方陣中的「必須」和「可以」分別改
為「祈使邏輯」的兩個算子「命令」和「准許」，便可得到相應的「祈使對當方陣」，所以這裡略去這個「對
當方陣」。
利用上面的「對當方陣」，我們可以得到一系列有關「模態量化句」的「對當關係推理」。請注意正如在「古
典對當方陣」中E句的「所有...不」可以改寫為「沒有」一樣，上述各個「對當方陣」中E句的「模態詞」也有
各種變體，例如「真勢模態邏輯」中的「必然不」可以改寫為「不可能」，「道義模態邏輯」中的「必須不」
可以改寫為「不可以」，「祈使邏輯」中的「命令不」可以改寫為「不准／禁止」等。這樣，「模態量化句」
的「對當關係推理」便呈現豐富多彩的語言表現形式。以下列出應用上面「對當方陣」進行推理的一些例子：
| John不可能及格。 ⇒ John可能不及格。 | (E與O句的「差等關係」) |
| 地球位於宇宙中心，這是不可信的。 ⇔ 地球並非位於宇宙中心，這是被確信的。 | (I與E句 的「矛盾關係」) |
| 今天你不必上班。 ⇔ 今天你可以不上班。 | (A與O句的「矛盾關係」) |
| 你沒有被禁止喝酒。 ⇔ 你獲准喝酒。 | (E與I句的「矛盾關係」) |
上一小節討論的都是「絕對模態」的情況。除此以外，我們還可以把「對當關係推理」推廣至「相對模態」， 即各種「條件句」，這裡主要考慮「真勢模態」下的「條件句」。筆者在《廣義 量詞系列：模態量化結構》中曾經指出，表達「必然」模態的「充分條件句」"If p, then (surely) q." (註4)可被表達為帶有「全稱量詞」的「三分結構」：
在上式中，World(p)和World(q)分別代表使命題p和q真的「可能世界集合」。而表達「可能」模態的「充分條 件句」"If p, then probably q."則可被表達為帶有「存在量詞」的「三分結構」：
請注意由於
其中W代表「可能世界論域」，因此「條件句」"If p, then probably q."與「並列句」"Probably p and q."
在邏輯上是等價的。不過這兩句在語言使用上卻存在某些差異，為了使以下方陣中的「矛盾關係」更符合語感
，筆者在以下將把形式為(3)的語句表達為「並列句」。
利用上述「充分條件句」與量化句的對應關係，我們便可以構造以下這個「充分條件對當方陣」：
讀者可自行驗證上述方陣中各個關係的有效性。舉例說，A和E兩句顯然不可同真，但可同假。令這兩句同假的
情況就是，在那些令p真的可能世界中，既存在一些令q真的可能世界，也存在一些令q假的可能世界。請注意上
述情況亦可用來作為I和O兩句可同真的例證。
在上面我們看到「充分條件句」與量詞"all"存在對應關係，一個自然的推論是，「必要條件句」應與
量詞"only"存在對應關係。事實上，我們可以基於上面含「只有」的「對當方陣」構造以下這個「必要
條件對當方陣」(註5)：
正如上面含「所有」和「只有」的「對當方陣」須滿足某些「存在預設」一樣，上述兩個「對當方陣」也須滿 足某些「存在預設」，才能使方陣上的推理關係成立。根據上述「充分條件句」的「三分結構式」(2)，使「前 件」p真的「可能世界集合」(即World(p))相當於「全稱量化句」中的主語，因此「充分條件對當方陣」中的語 句應滿足「前件存在預設」，即這種條件句中的「前件」p應是可能實現的。上述預設是合理的，因為如果我們 說出一個其「前件」不可能實現的「充分條件句」，我們便無法根據「差等關係」推出相應的「並列句」。舉 例說，由於「充分條件句」
中的前件「我們能夠製造永動機」是不可能實現的，所以從上句推不出
基於相同原理，我們知道「必要條件對當方陣」中的語句應滿足「後件存在預設」，即這種條件句中的「後件」
q應是可能實現的。
利用上述兩個「對當方陣」，我們可以推導某些推理模式，以下僅舉一例。根據O與A句的「矛盾關係」，我們
有
請注意上述結果其實等同於「命題邏輯」中「蘊涵」的定義：
由此可見，「命題邏輯」中的某些結果可以被歸結為「廣義量詞理論」與某些古典推理結合後的結果。
筆者在上述網頁還指出，命題之間的「合取」／「析取」分別與「全稱量詞」／「存在量詞」存在對應關係。 由此我們可以把「p真和q真」和「p真或q真」分別表達為all({p, q})(TRUE)和some({p, q})(TRUE)，這相當於「對當方陣」中的A句和I句。另外，根據二值邏輯「非真即假」的特性，我們有~TRUE = FALSE，這樣，「對當方陣」中的E句和O句便分別對應於「p假和q假」和「p假或q假」。綜合以上討論，我們 可以構造以下的「命題對當方陣」：
從以上方陣我們可以得到「命題邏輯」中的某些定理。例如根據方陣中的兩種「矛盾關係」，可以得到以下等 價關係：
此即「命題邏輯」中的「德.摩根律」(De Morgan's Law)。筆者3.2.2小節中曾指出，我們可以把「充分條件
對當方陣」中的「矛盾關係」理解成「蘊涵」的定義，這裡我們又看到，我們可以把「和／或對當方陣」中的
「矛盾關係」理解成「德.摩根律」。「蘊涵」與「德.摩根律」在「命題邏輯」中本來是在形式和內容上各不
相干的兩個概念，但在本文的框架下，我們發現了兩者之間的聯繫。由此可見，當我們把「對當方陣」的概念
擴大應用於其他論域時，我們將發現不同邏輯概念之間的微妙聯繫。
「命題論域」中除了TRUE (及其補集FALSE)外，還有其他「生成世界的謂詞」，因此我們還可以構造出其他「
命題對當方陣」。舉例說，如果我們以BILL-BELIEVE取代前面的TRUE，那麼我們便有另一個「命題對當方陣」
，這個對當方陣的A、E、I和O句分別為"Bill believes both that p and that q."、"Bill believes
neither that p nor that q."、"Bill believes either that p or that q."和"Bill does not believe
either that p or that q."，從這個方陣我們可以推導出以下推理關係：
筆者在《廣義量詞系列：空間量化結構》中討論了「量化修飾語」 "everywhere"、"somewhere"、"nowhere"等詞與量詞的對應關係，因此我們也可以對含有這些詞的語句進行「 對當關係推理」，這種推理有時甚至可以擴展到物理空間以外的抽象空間，例如在以下推理中
「到處」(相當於英語的"everywhere")和「沒有一處」(相當於英語的"nowhere")中的「處」實際是指「處境／
場合」，即某種抽象空間。
除了上述「量化修飾語」外，筆者在上述網頁中還曾指出"inside"、"outside"和"overlapping"這三個詞分別
與量詞"all"、"no"和"some"存在微妙的對應關係，據此我們也可利用這些詞項構造以
下的「空間對當方陣」：
讀者可自行驗證上述方陣中各個關係的有效性。舉例說，A和E兩句顯然不可同真，但可同假。令這兩句同假的 情況就是，A有一部分在B之內，一部分在B之外。請注意上述情況亦可用來作為I和O兩句可同真的例證。
筆者在《廣義量詞系列：相關詞與度量結構》中討論了多種「相關詞論域」 ，包括「謂詞論域」、「數量論域」、「方式論域」和「原因／因素論域」。由於這些論域各有相應的「全稱 量詞」和「存在量詞」，原則上我們也可以構造相應的「對當方陣」。但是由於這些「對當方陣」跟前述的大 同小異，而且這些論域中的「全稱量詞」在自然語言中的重要性不高，在大多數語言中根本並不表現為單詞(世 界語除外)，所以本文不擬提供這些論域的「對當方陣」。不過，原則上我們仍然可以對這些量化結構進行「對 當關係推理」。以下兩個推理分別為「性質論域」和「方式論域」上的例子，這兩個例子都反映了A與O句的「 矛盾關係」：
筆者在《廣義量詞系列：相關詞與度量結構》中還討論了「度量」以及各 種相關概念。在這些相關概念中，「程度」、「比較結構」、「不可數名詞」以及「部分-整體關係」都存在「 對當關係推理」，以下逐一介紹。
筆者在上述網頁中介紹了某些「比例修飾語」(「程度修飾語」的一種)：COMPLETELY (相當於漢語的「完全」) 、NOT-AT-ALL (相當於漢語的「完全不」或「一點也不」)、TO-A-CERTAIN-EXTENT (相當於漢語的「在某程度 上」)和TO-A-CERTAIN-EXTENT-NOT (相當於漢語的「在某程度上不」)。根據上述網頁的表2，我們可以把含有 上述四個「比例修飾語」的語句「John完全可靠」、「John完全不可靠」、「John在某程度上可靠」和「John 在某程度上不可靠」分別表達為以下四式：
從某一角度看，上述四個「比例修飾語」正好分別與「古典對當方陣」中的A、E、I、O句存在著某種對應關係
。事實上，在漢語中「完全」這類詞既表「全稱量化」，亦表程度高。由此可見，量詞與「比例修飾語」確有
一定聯繫。可是我們應如何建立這兩者的聯繫？這裡的問題是，我們難以把「性質」拆解成個體，從而把「比
例修飾語」解釋成這些個體的量詞。雖然某些表示性質的謂詞似乎可以拆解成個體，例如「John完全可靠」似
乎可以解釋成「John在各方面都可靠」，即把這裡的「完全」解釋成對「方面」(Respect)的「全稱量詞」，但
這只是個別例子，並非所有謂詞都可以作這樣的分析，而且上述的「方面」也缺乏明確定義，上述解釋也略嫌
粗疏。
要解決上述問題，我們可以把「古典對當方陣」中的A、E、I、O句也表達為類似上面(4)－(7)的形式。筆者在
上述網頁中曾指出，對於「可數名詞」，我們可以使用函項
來表達集合A的基數相對於集合B的基數的比率，上述函項正可用來表達A、E、I、O句的語義。由於「所有S是P」 可以用百分比表述為「S中百分之一百的元素同時也是P的元素」，而這個比率用算式寫出來就是
套用上面的函項，我們便可以把A句「所有S是P」表達為
請注意前述的「主語存在預設」在這裡同樣發揮作用，因為假如S是不存在的，那麼|S ∩ P| = |S| = 0，
上式變成0/0，這是沒有定義的。
類似地，我們亦可以把E、I、O句分別表達為以下三式：
比較(8)－(11)與前面的(4)－(7)，我們發現兩者具有相同的形式，兩者都是在區間[0, 1]內取值(由於S ∩ P ⊆ S，所以|Dim[PROPORTIONS](S ∩ P)| ≤ 1)，而且都可以 抽象為
的形式。至此我們確立了量詞與「比例修飾語」在形式上的聯繫。接著我們把上面四條算式構成以下「對當方 陣」：
容易驗證上述方陣中的推理關係是成立的。舉例說，A和E兩句顯然不可同真，但可同假。令這兩句同假的情況 就是0 < x < 1。請注意上述情況亦可用來作為I和O兩句可同真的例證。請注意如果我們把上述方陣中的x改為 |Dim[PROPORTIONS](S ∩ P)|，我們便得到「古典對當方陣」的另一形式；如果我們把 x改為|Dim[P](s)|，我們便得到如下的「程度對當方陣」：
利用上述方陣，我們們可以發掘和解釋一些推理關係，例如根據E與I句的「矛盾關係」，有
筆者在上述網頁指出，形容詞的「最高級」和「比較級」分別與「全稱量詞」和「存在量詞」存在某種對應關 係。由此可以推斷，「最高級」和「比較級」之間也必存在某種「對當關係推理」，以下僅舉一例以作說明。 設我們在談論John與其班中同學比較高度的結果，並假設班中沒有兩個人的高度相同，這樣便可以得到「x不比 y高」等同於「y比x矮」。根據A與O句的「矛盾關係」，我們有
筆者在上述網頁亦指出，「全稱量詞」和「存在量詞」亦可應用於「不可數名詞」與「部分-整體關係」。儘管 在此情況下，我們不能把這些量詞理解成表達集合之間的關係，而要理解成表達「相對量」的函項，即上文的 |Dim[PROPORTIONS](S ∩ P)|，但由於應用於不同領域的「全稱量詞」和「存在量詞」 都有共同的核心語義，因此都應滿足「對當關係推理」。以下是「不可數名詞」與「部分-整體關係」的「對當 關係推理」的實例：
在古典形式邏輯中，「三段論」(Syllogism)是最重要的「間接推理」。「三段論」是指由三個命題
組成的推理，這三個命題分別是「大前提」(Major Premise)、「小前提」(Minor Premise)和「結論」
(Conclusion)。如果三個命題都是「直言命題」(Categorical Proposition)(即表達性質判斷的命題)，那麼所
得「三段論」就是古典形式邏輯研究得最多的「直言三段論」(Categorical Syllogism)。用「三分
結構」的形式表達，「三段論」中的三個命題都具有「量詞(主詞)(謂詞)」的形式，其中出現於「結論」中的
「主詞」和「謂詞」分別稱為「小項」(Minor Term)和「大項」(Major Term)(以下分別用S和P表示)。除了出
現在「結論」中外，S和P還分別在「小前提」和「大前提」中各出現一次(不一定要分別出現於該兩個前提的「
主詞」和「謂詞」位置)。此外，還有一個「中項」(Middle Term)(以下用M表示)，它出現在「小前提」和「大
前提」中餘下的「主詞」或「謂詞」位置。
古典形式邏輯按照「中項」在兩個前提中可能出現的位置把「直言三段論」分為四種「格」(Figure)，可分別
表達為以下「三分結構式」：
| 第一格 | 第二格 | 第三格 | 第四格 | |
|---|---|---|---|---|
| 大前提 |
|
|||
| 小前提 |
|
|||
| 結論 |
|
在每種「格」下，邏輯學家又按照每個命題是屬於「對當方陣」中的哪種句式(A、E、I、O)而分為各種「式」 (Form)。舉例說，以下就是「直言三段論」中第一格的「AAA式」(可簡記為「AAA-1式」)：
| 大前提： | all(M)(P) | (A句) |
| 小前提： | all(S)(M) | (A句) |
| 結論： | all(S)(P) | (A句) |
而以下則是第四格的「OIE式」(可簡記為「OIE-4式」)：
| 大前提： | some(P)(~M) | (O句) |
| 小前提： | some(M)(S) | (I句) |
| 結論： | all(S)(~P) | (E句) |
把各格式中的S、P和M解釋成適當的詞項後，便可得到該格式的具體實例。舉例說，如果我們把「AAA-1式」中 的S、P和M分別解釋成「希臘人」、「會死的事物」和「人」這三個「個體集合」，便可得到以下推理(為方便 理解，下文用日常語言寫出「三段論」中的三個命題)：
| 大前提： | 所有人都會死。 | |
| 小前提： | 所有希臘人都是人。 | (12) |
| 結論： | 所有希臘人都會死。 |
由於「直言三段論」中三個命題都可表現為A、E、I、O句中的任何一個，所以每個「格」共有43 =
64種「式」，四個「格」便共有64 × 4 = 256種「式」。當然，在這256種「式」中，並非每一種「式」
都代表有效的推理模式。這裡「有效推理模式」的意思是指，無論我們把「式」中的S、P和M解釋成甚麼詞項，
所得結果都是一個「有效推理實例」，即只要兩個前提是真的，結論便是真的。傳統邏輯學家對「直言三段論」
作出了深入研究，總結出24種代表有效推理的「式」，例如前述的「AAA-1式」便是有效的。
中古時代的邏輯學家為了方便記憶，特地為這24種「式」各起一個特別的名稱，例如「AAA-1式」便記作「
Barbara」，請注意名稱中的元音正好為代表該式的三個字母。下表列出這24種有效「
式」的名稱：
| 第一格 | Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Barbari, Celaront |
|---|---|
| 第二格 | Cesare, Camestres, Festino, Baroco, Camestrop, Cesaro |
| 第三格 | Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bocardo, Ferison |
| 第四格 | Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison, Camenop |
請注意上表中某些「式」要應用前述的「存在預設」才是有效的，例如「AAI-3式」(即 Darapti)便是這樣的「式」，這是因為該「式」以兩個「全稱命題」作為前提，推出一 個「存在命題」作為結論，其情況就像「對當關係推理」中由A句推出I句一樣。以下是該「式」的一個實例：
| 大前提： | 所有水果都是有營養的。 |
| 小前提： | 所有水果都是美味的。 |
| 結論： | 有些美味的東西是有營養的。 |
請注意上述推理須對兩個前提應用「主語存在預設」，即把「水果存在」作為該兩個命題的「預設」，才能保
證整個推理是有效的，因為若果作為「中項」的「水果」是不存在的，那麼上述推理便缺少了一個把「美味的
東西」和「有營養的東西」聯繫在一起的實存概念，從而使結論不能成立。
上表以外的「式」都代表無效的推理模式。對於這些無效「式」，有時當我們把適當的詞項代入S、P和M後，仍
可得到有效的推理實例，但這只是偶然而非必然的。邏輯學的研究對象是「必然真」的推理模式，即不論把S、
P和M解釋成甚麼詞項，所得結果總是有效的推理實例。舉例說，「AEE-1式」便是無效的推理模式，以下是該「
式」的一個反例：
| 大前提： | 所有狗都是哺乳動物。 |
| 小前提： | 所有貓都不是狗。 |
| 結論： | 所有貓都不是哺乳動物。 |
在上述「推理」中，儘管兩個前提都是真的，但結論卻是假的。
傳統邏輯學家除了找出所有有效的推理模式外，還嘗試從中總結出一些「三段論推理規則」，以圖純粹根據這
些規則以及各「格式」的形式結構，便能推出哪些「格式」是有效或無效的。經過多年來的研究，傳統邏輯學
家總結出若干條規則。在當代，某些學者(例如van Eijck和Westerstahl)運用「廣義量詞理論」重新研究「三
段論」推理，提出了一些具有高度概括性的定理，證明傳統「三段論推理規則」的合理性。由於這些定理涉及
頗複雜的概念，本文不擬詳細介紹。
古典形式邏輯雖以「直言三段論」為其研究重點，但亦有研究其他類型的「三段論」推理模式，包括「準三段
論」、「選言三段論」、「假言三段論」、「模態三段論」、「多段論」等。由於「選言三段論」並不涉及量
詞，而「假言三段論」和「模態三段論」將在下文介紹，本小節將只討論「準三段論」和「多段論」。
「準三段論」(Quasi-Syllogism)是指在三個命題中至少有一個「單稱命題」的「三段論」。「單稱
命題」是指以「專有名詞」或「有定摹狀詞」為主詞的命題，有別於一般「直言三段論」中的「全稱命題」和
「存在命題」。舉例說，「蘇格拉底是希臘人」便是一個以專有名詞「蘇格拉底」為主詞的「單稱命題」。其
實，正如筆者以往指出的，我們可以把「單稱命題」看成以「單元集」作為主詞的「全稱命題」，例如把「蘇
格拉底是希臘人」表達為以下「三分結構式」(以下用s代表「蘇格拉底」)：
這樣，「準三段論」便跟一般的「直言三段論」沒有分別了。舉例說，以下就是「準三段論」的實例：
| 大前提： | 所有希臘人都會死。 | |
| 小前提： | 蘇格拉底是希臘人。 | (13) |
| 結論： | 蘇格拉底會死。 |
「多段論」(Polysyllogism)是指由多個「直言三段論」以連環相扣的方式組成的推理。在這種推理 中，位於較前的「三段論」的結論作為較後的「三段論」的前提。舉例說，我們可以把前面兩個「三段論」 (12)和(13)結合而成以下「多段論」：
| 大前提1： | 所有人都會死。 |
| 小前提1： | 所有希臘人都是人。 |
| 結論1 = 大前提2： | 所有希臘人都會死。 |
| 小前提2： | 蘇格拉底是希臘人。 |
| 結論2： | 蘇格拉底會死。 |
請注意在上述推理中，第一個「三段論」的結論同時是第二個「三段論」的大前提。利用這種連環相扣的方法 ，我們可以得到包含多個子推理的「多段論推理」。
跟「對當關係推理」一樣，我們也可以把「三段論推理」推廣應用於其他論域。不過，由於「直言三段論」的 內部結構較「對當關係推理」複雜，這種推理並非能推廣至每種論域。此外，由於有效的「三段論」推理模式 有24個之多，把「三段論推理」推廣至其他論域有廣闊的可能性。可是，學界對這方面的研究很少，因此以下 僅能簡介筆者對這個課題的一些粗淺體會。
由於「時間論域」在結構上與「個體論域」非常相似，「直言三段論」各有效格式在「時間論域」上都應有相 應的形式。以前述的「AAI-3式」為例，如果我們把S、P和M分別解釋為「John感到害怕」、「John全身顫抖」 和「John看牙醫」的「事件集合」，那麼我們便得到以下「事件三段論」推理：
| 大前提： | John每次看牙醫都感到害怕。 |
| 小前提： | John每次看牙醫都全身顫抖。 |
| 結論： | John感到害怕時有時會全身顫抖。 |
跟前面的討論類似，這裡我們同樣須預設「John看牙醫」此一事件是存在的，否則上述推理便不成立。
筆者在《廣義量詞系列：時間量化結構》中亦曾指出，某些表達時間的語句
表面上不含任何「量化狀語」，但卻可以分析為隱含著「全稱量詞」的時間量化句，例如語句
便可分析為以下「三分結構式」：
現在如果我們把上式中的「時段集合」Time(GO-TO-OPERA(j))和last-night(X')分別看成P和M，並再加上一個 「時段集合」Time(GO-TO-OPERA(m))作為S，那麼這些詞項便可構成以下的「AEE-2式」推理：
| 大前提： | all(Time(GO-TO-OPERA(j)))(last-night(X')) |
| 小前提： | all(Time(GO-TO-OPERA(m)))(~last-night(X')) |
| 結論： | all(Time(GO-TO-OPERA(m)))(~Time(GO-TO-OPERA(j))) |
上述推理可以用日常語言表達為以下的「時段三段論」推理：
| 大前提： | John在昨晚看歌劇。 | |
| 小前提： | Mary在昨晚以外的時間看歌劇。 | (14) |
| 結論： | Mary與John在不同時間看歌劇。 |
以上推理是顯而易見的，但不容易看到它也可以表述為「三段論」的形式。
接著討論「可能世界論域」，首先考慮「相對模態」的情況。如前所述，「充分條件句」"If p, then q."和 「並列句」"Probably p and q."分別對應於「全稱量化句」和「存在量化句」，因此我們可以把「三段論」的 某些有效格式推廣至這些「模態句」。舉例說，如果把「AAA-1式」中的S、P和M分別解釋為使命題「我們能超 越熱力學第二定律」、「我們能一勞永逸地解決能源問題」和「我們能製造永動機」為真的「可能世界集合」 ，便可得到以下推理：
| 大前提： | 如果我們能製造永動機，我們就能一勞永逸地解決能源問題。 |
| 小前提： | 如果我們能超越熱力學第二定律，我們就能製造永動機。 |
| 結論： | 如果我們能超越熱力學第二定律，我們就能一勞永逸地解決能源問題。 |
請注意以上推理模式在「命題邏輯」中稱為「假言三段論」(Hypothetical Syllogism)。由此可見，
透過把「充分條件句」解釋成「全稱量化句」，我們把「假言三段論」歸結為「直言三段論」的特例。另請注
意，由於上述推理的三個命題都相當於「全稱量化句」，上述推理無需任何「存在預設」，因此儘管「製造永
動機」和「超越熱力學第二定律」是不可能實現的，上述推理仍然成立。
其次考慮「絕對模態」的情況。古典模態邏輯亦有研究「模態三段論」(Modal Syllogism)，即含有
至少一個模態命題的「三段論」推理。由於「模態三段論」有多種形式，既可純粹包含模態命題，亦可混合包
含模態命題和直言命題，因此這類推理中只有一部分能表達為表3列出的24種有效格式之一。試看以下推理：
| 大前提： | 如果John遲到，他必然被陳老師責罵。 |
| 小前提： | John可能遲到。 |
| 結論： | John可能被陳老師責罵。 |
上述推理的「大前提」是「充分條件句」，可以表達成「全稱量化句」；「小前提」和「結論」則是「絕對模 態句」，可以表達成「泛化量化結構」Q(W)(P)的形式，其中W為「可能世界論域」。把上述推理化為「三分結 構式」後，便可看到上述推理可被看成「AII-1式」的一個實例：
| 大前提： | all(World(LATE(j)))(World(SCOLD(c, j))) |
| 小前提： | some(W)(World(LATE(j))) |
| 結論： | some(W)(World(SCOLD(c, j))) |
以上有關「真勢模態」的討論還可推廣至「模態邏輯」的其他分支，這裡不再深入介紹。
跟「時間論域」相似，某些表達空間的語句表面上不含任何量詞，但可以分析為隱含著「全稱量詞」的空間量 化句。舉例說，如果我們把上面(14)中的「昨晚」和「時間」分別改為「文化中心」和「地點」，便可得到一 個「空間三段論」。除了以上情況外，筆者亦曾指出某些介詞／動詞與量詞存在對應關係，因此我們可以利用 此一對應關係發掘和解釋某些「空間三段論」。舉例說，若我們把「EIO-1式」中的S、P和M解釋成繪在平面上 的方格，便可得到以下推理：
| 大前提： | 方格M在方格P之外。 |
| 小前提： | 方格S與方格M重疊。 |
| 結論： | 方格S不在方格P之內。 |
為讓讀者容易理解上述推理的有效性，現把上述推理繪成下圖：
儘管上圖只顯示符合上述推理的一種情況，但容易看到，無論我們怎樣配置上述三個方格，只要這些方格的位
置符合兩個前提，結論必然成立。事實上，基於「溫氏圖」與幾何圖形的對應關係，上圖實際上等同於用「溫
氏圖」驗證(但非證明)「EIO-1式」的有效性。
其他「相關詞論域」也有相似的情況，因為這些論域上的某些量化句可表達為「全稱量化句」，因而前述的「
AEE-2式」推理也可推廣至這些論域，例如以下的「原因三段論」：
| 大前提： | John因已屆退休年齡而離職。 |
| 小前提： | Mary因長期患病而離職。 |
| 結論： | Mary與John因不同原因而離職。 |
如前所述，由於「最高級」和「比較級」分別與「全稱量詞」和「存在量詞」存在對應關係，我們可以把「直 言三段論」的某些有效格式應用於「比較結構」。舉例說，設論域U為某校全體學生，集合CLASS為John那一班 的學生。如果我們把「IAI-4式」推理中的S、P和M分別解釋為「較John矮的學生」、「較John瘦的學生」和 CLASS − {j}這三個集合，便可得到以下「比較三段論」：
| 大前提： | John比班中至少一個同學肥。 |
| 小前提： | John在全班同學中最高。 |
| 結論： | 至少有一個學生既比John矮，又比John瘦。 |
最後，由於「不可數名詞」與「部分-整體關係」可被看成「可數名詞」的推廣，適用於「可數名詞」的某些「 直言三段論」有效格式也可應用於這兩種結構。以下就是混合了這兩種結構的「AAA-1式」推理：
| 大前提： | 所有水都是濕的。 |
| 小前提： | John全身都是水。 |
| 結論： | John全身都是濕的。 |
「結構變換推理」(又稱「變形推理」)是古典形式邏輯中「直接推理」的一種(註6)，這種推理研究 「量化句」在進行三種「結構變換」後，原句是否蘊涵變換後的語句。第一種「結構變換」是「換質法」 (Obversion)，這種變換把「量化句」的系詞換成相反的系詞，即把「是」換成「不是」，或把「不是」 換成「是」，並同時把謂詞「P」換成其否定「非P」(請注意由於「非」一般只能作用於名詞，在進行這種變換 前，可能須先把「P」轉化為名詞)。如用「三分結構」來表達，由於「不是」和「非」這兩個否定成分都用「~ 」來表示，我們須採用雙層括號的形式以作區分，其中代表「不是」的「~」位於外層，代表「非」的「~」位 於內層，即使只出現一個否定成分，仍須採用雙層括號，並把該否定成分置於適當位置的括號內。根據上述約 定，「換質法」就等於把Q(S)(P)變成Q(S)(~(~P))，或把Q(S)(~(P))變成Q(S)((~P))。由於「換質法」在實質 上只是邏輯學上「雙重否定律」(Double Negation)的應用，所以這種變換可以應用於四種「量化句」，而換質 前後的語句是互相等價的。舉例說，利用「換質法」，可以推得以下等價關係：
第二種「結構變換」是「換位法」(Conversion)，這種變換把「量化句」的主詞S和謂詞P對調位置。 用「三分結構」表達，這就等於把Q(S)(P)變成Q(P)(S)。但如果「三分結構」中的第二論元包含雙層括號，則 只有內層括號內的成分參加換位，例如把Q(S)(~(P))變成Q(P)(~(S))。「換位法」只能自由應用於E和I句，這 裡所謂「自由應用」，是指變換前後的兩句在邏輯上等價，例如
至於A和O句，則不能自由變換，例如A句在進行換位的同時還須把「所有」換成「有」(即把「所有S是P」變成 「有P是S」)，而且換位前後的兩句只存在蘊涵關係而非等價關係，例如
而O句則乾脆不能進行換位。以下筆者將只討論可自由變換的「換位法」。
最後一種「結構變換」是「換質位法」(Contraposition)，就是綜合運用前述兩種方法的「結構變換
」。「換質位法」又可細分為兩種，第一種是「先換質，後換位」變換。用「三分結構」表達，這就
等於把Q(S)(P)先變成Q(S)(~(~P))，然後再變成Q(~P)(~S)；或把Q(S)(~(P))先變成Q(S)((~P))，然後再變成
Q(~P)(S)。A和O句可以自由進行這種變換，例如
第二種「換質位法」是「先換位，後換質」變換。用「三分結構」表達，這就等於把Q(S)(P)先變成 Q(P)(S)，然後再變成Q(P)(~(~S))；或把Q(S)(~(P))先變成Q(P)(~(S))，然後再變成Q(P)((~S))。I和E句可以 自由進行這種變換，例如
如同上述兩種古典推理模式一樣，「結構變換推理」也可推廣應用於其他論域。由於「換質位法」包含了「換 質法」和「換位法」的內容，以下將只討論「換質位法」的情況。首先考慮「時間論域」。筆者在 《廣義量詞系列：時間量化結構》中曾指出，語句
可以分析成以下包含「全稱量詞」的「三分結構式」：
由於上式代表「對當方陣」中的A句，根據上一小節，我們可以對上式進行「先換質，後換位」變換，從而得到 以下等價關係：
其次考慮「可能世界論域」。筆者在前面已多次指出，我們可以把充分條件句「如果p，則q」處理成「對當方 陣」中的A句。因此我們可以對這種條件句進行「先換質，後換位」變換，從而得到以下等價關係：
請注意以上等價關係其實就是「命題邏輯」中的「假言易位律」(Law of Transposition)，由此我們再一次看
到，「命題邏輯」的某些結果可以被歸結為把量詞概念推廣到「可能世界論域」後的結果。
再次考慮「空間論域」。如前所述，包含介詞"inside"、"outside"和動詞"overlapping"的語句分別與「對當
方陣」上的A、E和I句對應，因此根據上一小節，我們可以對含"inside"的語句進行「先換質，後換位」，並對
含"outside"和動詞"overlapping"的語句進行「先換位，後換質」變換，例句如下：
下圖顯示上述三個等值式的圖解：
最後考慮「比較結構」。如前所述，表達「最高級」的語句相當於「對當方陣」中的A句，因此我們可以對這類 語句進行「先換質，後換位」變換。設U和CLASS為前面5.4小節中的論域和集合，SHORTER為「較John矮的學生」 組成的集合，並假設論域中任何兩個元素的高度都不同。那麼利用上述變換，可以推得以下等價關係：
用日常語言表達，上式的意思是：
其他「相關詞論域」以及「不可數名詞」和「部分-整體關係」的「結構變換推理」跟以上所述的大同小異，這 裡不擬作詳細討論。
註1：邏輯「悖論」往往跟「推理」有關，例如「晨星昏星悖論」就是指以下的無效推理：
