廣義量詞系列：量詞的普遍性質與操作

1. 總論

1.1 引言

「廣義量詞理論」作為一門現代邏輯學與語言學的交叉學科，並不只滿足於描述量詞的語義，而是要探討量詞 的邏輯性質，從而找出量詞的某些共通點，並根據這些共通點解釋量詞的某些語義或邏輯問題。筆者以往其實 已曾零星地介紹部分量詞性質和操作，例如「單調性」、「對稱性」、「逆否性」、「不動點」、「限制」等 。從本章起，筆者將介紹「廣義量詞理論」重點研究的性質，本文首先介紹絕大多數自然語言量詞都具備的幾 種普遍性質和基本操作。

在開始介紹前，我們首先從更廣義的角度重新考察量詞的概念。對於量詞，我們可以採取「局部」(Local)或「 全局」(Global)的觀點。在「局部」觀點下，量詞的論域是固定的，在表達這些量詞時，一般無需標明論域(這 正是筆者過往的通常做法)。但在「全局」觀點下，量詞的語義所指卻依賴於論域，在表達這些量詞時，我們須 標明論域，例如Q_U。從數學的觀點看，這相當於把量詞看成以集合作為論元的「函子」(Functor) Q：給定集合U，我們便得到以該集合作為論域的量詞Q_U。為使討論有較大概括性，本文將以「全局 」量詞作為討論的基礎，不過有時我們也要考慮在給定某論域U下的「局部」量詞。此外，由於「限定詞」(即 「<1,1>型量詞」)是自然語言中最重要的量詞，以下的討論將以「限定詞」為主，但亦會提及其他類型的量詞 。

1.2 局部限定詞的總數

本小節介紹一種計算「局部限定詞」總數的方法。我們可以把「限定詞」的語義看成表達論域U中兩個子集A和B 之間的關係，這兩個子集把論域U分割成四個互不重疊的區域：A − B、A ∩ B、B − A和U − A − B，如下圖所示：

請注意對於論域U中任何元素而言，該元素必然屬於而且只屬於上述四個區域之一，因此給定一對子集A和B，我 們可以列出論域U中每個元素x₁ ... x_n所屬的區域，從而構成一個陣列。以下用一個 例子來說明。

例1：設U共有五個元素x₁ ... x₅，並且A = {x₂, x₄, x₅}，B = {x₃, x₄}，那麼我們有以下陣列：

在上表中，「+」號表示某行所代表的元素屬於某列所代表的區域。容易看到在上述陣列中，每行都必定有且只 有一個「+」號。反過來看，給定類似上述的陣列，我們可以確定該陣列所代表的「子集對」(A, B)。由此可見 ，上述陣列與「子集對」(A, B)存在一一對應關係。現在讓我們找出上述陣列的總數。設|U| = n，則上述陣列 共有n行。由於規定每行有且只有一個「+」號，而這個「+」號可以出現在4列中的任何一列，因此構造上述陣 列的可能方法共有4ⁿ種。根據上述一一對應關係，可知在一個包含n個元素的論域U中，可能存在的 「子集對」(A, B)的總數為4ⁿ (註1)。

接著讓我們推導「局部限定詞」總數的計算公式。由於我們可以把「局部限定詞」看成把「子集對」映射到真 值(即集合{0, 1})的函項；而根據集合論，把X映射到Y的函項的總數為|Y|^|X|，因此「局部限定詞 」的總數應為

上述公式告訴我們在邏輯上可能存在的「局部限定詞」總數相當龐大。舉例說，設|U| = 2，則根據(1)，在邏 輯上可能存在的「局部限定詞」的總數便是2¹⁶ = 65536個。請注意公式(1)是就最一般的「局部限 定詞」而言的，當我們規定「局部限定詞」具有某些性質時，就會縮小「局部限定詞」的外延，同時令這個總 數減小。由此我們可以透過計算具有不同性質的「局部限定詞」的總數來比較不同性質對「局部限定詞」外延 的影響。

2. 守恆性

2.1 右守恆性的定義

在量詞的眾多性質中，「守恆性」(Conservativity)應是最重要的一種。「守恆性」又可分為「 右守恆性」(Right Conservativity)和「左守恆性」(Left Conservativity)兩個次類(註2)， 而以「右守恆性」較為重要。我們說「限定詞」Q是「右守恆」的當且僅當對任何論域U及其子集A、B，均有

以下把由「右守恆限定詞」組成的集合記作CONS_r。我們可以根據上述定義以及「限定詞」的真值 條件來判斷「限定詞」的「右守恆性」，例如根據"every"和"most"的真值條件，由於

可知"every"和"most"是「右守恆」的。事實上，自然語言中絕大多數「限定詞」都具有「右守 恆性」，其證明方法類此，這裡不擬一一寫出。根據(2)，我們也可以得知「右守恆限定詞」滿足以下推理：

「右守恆性」除了(2)的定義外，還有以下這個等價的定義，即Q是「右守恆」的當且僅當對任何論域U及其子集 A、B、C而言，

以下讓我們證明上述(2)和(3)的條件是等價的。先證(2) ⇒ (3)，設(2)成立，並且A ∩ B = A ∩ C，則有

其次證(3) ⇒ (2)，設(3)成立，由於A ∩ B = A ∩ (A ∩ B)，我們有

2.2 右守恆性的重要性

在「廣義量詞理論」中，「右守恆性」具有非常重要的地位，因它被認為是自然語言「限定詞」所具有的幾個 普遍特性之一。Keenan和Stavi在A Semantic Characterization of Natural Language Determiners一 文中試圖以「右守恆限定詞」概括自然語言中所有「限定詞」。他們首先定義一個由「基本限定詞」組成的集 合Basic_Det，包括："every"、形如"(at least n)"的數量限定詞，以及形如 "(John's n or more)"的所有格限定詞；接著他們把自然語言中所有「限定詞」組成的集合 D_Det定義為由Basic_Det中的元素通過各種「布爾運算」而形成的最小封閉集合。然後 他們又提出並證明「守恆性定理」(Conservativity Theorem)，指出

即自然語言「限定詞」的集合等同於「右守恆限定詞」的集合。

「右守恆性」在語言學上的意義是確立了自然語言中主語與謂語之間的不對稱關係，賦予了主語特殊的角色， 因為(2)告訴我們，當我們判斷一個包含「右守恆限定詞」的語句的真值時，只需考察A以及A ∩ B。由於A 和A ∩ B都是A的子集，這實際上等於把這些語句的量化範圍限制在集合A (即主語的外延)內。

「右守恆性」限制了自然語言中可能存在的「局部限定詞」的總數，現在讓我們用1.2小節介紹的方法來推導這 個總數的計算公式。首先考察「右守恆性」對1.2小節所介紹的陣列有何影響。

例2：回顧例1，根據(2)，我們可以把例1中的A和B分別換為A' = A = {x₂, x₄, x₅}，B' = A ∩ B = {x₄}，而且Q_U(A)(B)與 Q_U(A')(B')具有相同的真值，我們有以下陣列：

比較一下例1與本例的陣列，容易看到本例的陣列的第三欄各行中沒有一個「+」號，這不是偶然的。由於B' ⊆ A'，B' − A'必然是空集。由此可知，當Q是「局部右守恆限定詞」時，上述陣列實際上只有三欄 。根據與例1相似的推理，可知在論域U中，當Q是「局部右守恆限定詞」時，可能存在的「子集對」(A', B')的 總數為3^|U|，因而「局部右守恆限定詞」的總數為

現在我們用一個具體的數字看看「右守恆性」對「局部限定詞」數目的影響。如前所述，在只有兩個元素的論 域中，可能存在的「局部限定詞」總數為65536；而根據上述公式，可能存在的「局部右守恆限定詞」總數則大 幅降為2⁹ = 512。由此可見，「右守恆性」大大限制了「局部限定詞」的數目。

2.3 "only"的特殊性

正如上一小節所述，很多學者把「右守恆性」視為自然語言「限定詞」的普遍性質。不過，此一論斷也並非毫 無爭議性，最常引起爭議的就是"only"。筆者以往一直把"only"視作「限定詞」，可是 "only"卻不是「右守恆」的，這一點可以從"only"的真值條件容易推得。舉例說，任意選兩個 集合A和B，其中B不是A的子集，那麼「only_U(A)(B)」不成立；但根據集合論，必有A ⊇ A ∩ B，即「only_U(A)(A ∩B)」成立。由此可見，"only"並不滿足 (2)的條件，這個「限定詞」似乎構成「守恆性定理」的一個反例。

不過，歷來很多學者亦指出，"only"是否應算作「限定詞」，這是有疑問的。事實上，"only"的句法分佈跟一 般「限定詞」有所不同。這個詞不僅可用來修飾名詞，也可用來修飾其他多種詞類，因此它似乎並非單純的「 限定詞」，Zuber便把"only"跟其他有相似句法分佈特性的詞(例如"even"、"also"等)統稱為「多類別修飾語」 (Categorially Polyvalent Modifier)。這樣如果我們把"only"摒於「限定詞」之外，那麼「守恆性定理」的 反例便不復存在了。

可是，de Mey在'Only' as a Determiner and as a Generalized Quantifier一文中卻提出不同的看法 。他採取一種廣義的觀點，把二元「命題聯結詞」(包括"if"、"only if"、"and"、"or"等)也看成某種「限定 詞」。普通「限定詞」與二元「命題聯結詞」的區別僅在於，前者表達兩個真值之間的關係，後者則表達兩個 集合之間的關係。在這種觀點下，我們可以把"if"處理成「真值限定詞」"if"，其真值條件為(在下式 中，p和q為真值變項)：

如果把上式跟普通「限定詞」"every"的真值條件

作出比較，我們將發現"if"與"every"其實表達同一種關係。不僅如此，我們還可以把上兩章介 紹的各種否定概念推廣至「真值限定詞」，只要作出適當調整便行了。舉例說，利用上一章介紹的「左論元否 定」的概念，我們可以把任意「真值限定詞」Q的「左論元否定」Q~_l定義為

現在我們利用上述定義來求"if"的「左論元否定」。由於"if"的真值表為

根據(5)，可知"if~_l"的真值表應為

容易看到上述真值表實際等於"or"的真值表，由此可知

利用上述方法，我們還可以求得"if"的其他否定形式。為方便比較，下表列出"if"和 "every"的各個否定形式：

容易證明上表中左半部的「限定詞」都具有「右守恆性」，而右半部的「限定詞」則沒有「右守恆性」。以下 以"and"和"or"為例作出說明。對於「真值限定詞」來說，「右守恆性」的條件(2)應修改為

以下兩個真值表顯示"and"滿足(6)，而"or"則不滿足(6)：

在命題邏輯中，"and"和"or"一向被視為最基本的二元「命題聯結詞」，而且兩者可以互相定義。可是，根據「 守恆性定理」，我們勢必要把"and"和"or"分別看成自然語言中可能存在和不可能存在的「限定 詞」，而這是難以讓人接受的結果。基於此一觀察，de Mey認為「右守恆性」並非自然語言「限定詞」必須具 備的性質，因此沒有理由不把"only"歸入自然語言「限定詞」之列。

2.4 左守恆性及其他相關性質

de Mey還指出，"only"儘管沒有「右守恆性」，但卻具有另一種「守恆性」－「左守恆性」，「左守恆 限定詞」就是滿足以下條件的「限定詞」：

以下把由「左守恆限定詞」組成的集合記作CONS_l。

容易證明在表1中只有第2、4、6、8列中的「限定詞」具有「左守恆性」。舉例說，"only"的「左守恆 性」便可以用以下等價關係予以證明：

「左守恆限定詞」還不只上述這些，事實上，筆者在《廣義量詞系列：對偶性 推理進階》的表1中列出的詞項都具有「左守恆性」，因為這些詞項其實都是某些「右守恆限定詞」的逆向 反義詞，即顛倒某些「右守恆限定詞」的左、右論元角色的結果，例如"only"是"every"的逆向 反義詞；"(constitute exactly q)"是"(exactly q)"的逆向反義詞；"(apart from John only)"是"(all except John)"的逆向反義詞等等。筆者在上述網頁曾指出，純粹從語法上說，這 些詞項都不是「限定詞」，但由於這些詞項具有跟"only"相同的某些性質，因此把它們提出來與 "only"一起作為研究的對象，可以解釋一些共通的語義現象或推理模式。

「右守恆性」和「左守恆性」還不足以概括第2.3小節表1中的所有「限定詞」，因為表1中第5和第7列中的「限 定詞」既非「右守恆」亦非「左守恆」。為此，de Mey又提出另一種性質：「進取性」 (Progressivity)。跟「守恆性」一樣，「進取性」又可分為「右進取性」(Right Progressivity)和 「左進取性」(Left Progressivity)兩個次類，其中「右進取限定詞」滿足以下條件：

「左進取限定詞」則滿足以下條件：

由以上這兩類「限定詞」組成的集合可分別用PROGR_r和PROGR_l表示。

容易證明在表1中只有第5、6、7、8列中的「限定詞」具有「右進取性」，並且只有第1、3、5、7列中的「限定 詞」具有「左進取性」。舉例說，"only"的「右進取性」便可以用以下等價關係予以證明：

而"(every non-)"的「左進取性」則可以用以下等價關係予以證明：

綜合以上討論，互為「逆向反義詞」的"every"和"only"所具有的性質是互相對稱的，前者具有 「右守恆性」和「左進取性」，而後者則具有「左守恆性」和「右進取性」。de Mey正是根據此一觀察，指出 「右守恆性」只是「限定詞」的眾多「布爾性質」之一(註5)，不應對之賦予獨特的地位。不過，筆者認為儘管 「右守恆性」不是所有自然語言「限定詞」的共有性質，但仍是絕大多數「限定詞」具有的性質，仍值得我們 重點研究，因此在以下的討論中，筆者把「右守恆限定詞」視作自然語言「限定詞」的典型。

2.5 駐留性

我們還可以把「守恆性」的概念推廣至其他類型的量詞，首先討論論元結構較簡單的「<−,1>型量詞」。 Barwise和Cooper在Generalized Quantifiers and Natural Language一文中提出了「駐留性」 (Live-on)的概念，一般認為「駐留性」相當於「<−,1>型量詞」的「守恆性」概念，其定義如下： 我們說「<−,1>型量詞」Q駐留於集合S (或者說S是Q的「駐留集」Live-on Set)當且僅當對任 何論域U及其子集A，均有

跟「限定詞」的情況相似，容易驗證自然語言中絕大多數「<−,1>型量詞」都具有「駐留性」。以 "John"為例，這個量詞便駐留於{j}、{j, m}等集合，這是因為

由此可見任意「<−,1>型量詞」不一定有唯一的「駐留集」。不過我們有以下定理：

以下證明「定理1」，先證(1)。設Q為「恆真量詞」1或「恆假量詞」0，根據「恆真量詞」和「恆假量詞」的定 義，我們知對於U中任何集合A，1_U(−)(A)與1_U(−)(Φ ∩ A)必同 時取真值，而0_U(−)(A)與0_U(−)(Φ ∩ A)則必同時取假值。根據 「駐留性」的定義，可知Φ為1和0的「駐留集」。

其次設Φ為Q的「駐留集」，根據「駐留性」的定義，我們知對於U中任何集合A，均有

這即是說給定Q和U，Q_U(−)(A)是一個常值，這個值恆等於Q_U(−)(Φ) 的值。由於Q_U(−)(Φ)或取真值或取假值，由此知Q必然是「恆真量詞」或「恆假量詞」 。

接著證明(2)。設S和S'均為Q的「駐留集」，我們有

由此可知S ∩ S'也是Q的「駐留集」。至此我們證明了任意兩個「駐留集」的并集也是「駐留集」，把此一 結果推廣至有限多個「駐留集」的并集，我們得到

也必然是Q的「駐留集」，而且是Q的最小「駐留集」。由於當U是有限集合時，上述集合必然是有限多個集合的 并集，(2)得證。從「定理1」我們得知，在有限論域下(註6)，任何「非平凡駐留<−,1>型量詞」均有唯 一的最小「駐留集」，例如"John"的最小「駐留集」就是{j}。

2.6 結構化量詞的守恆性

接著討論論元結構較複雜的量詞，這裡只集中討論「結構化量詞」。Keenan和Moss在Generalized Quantifiers and the Expressive Power of Natural Language一文中提出了「<1²,1>型結構 化量詞」的「守恆性」定義如下：「<1²,1>型結構化量詞」Q是「守恆」(註7)的當且僅當對任何論 域U及其子集A、B、C，均有

請注意上式是(2)的推廣。容易驗證絕大多數「<1²,1>型結構化量詞」是「守恆」的，例如根據 "(more ... than ...)"的真值條件，由於

可知"(more ... than ...)"是「守恆」的。

正如「右守恆限定詞」的定義(2)可以重新表述為(3)一樣，上面的定義(10)也可以重新表述如下：Q是「守恆」 的當且僅當對任何論域U及其子集A、B、C、C'而言，

接下來讓我們證明(10)與(11)是等價的，先證(10) ⇒ (11)。設(10)成立，並且A ∩ C = A ∩ C' ∧ B ∩ C = B ∩ C'，則有

其次證(11) ⇒ (10)，設(11)成立，由於A ∩ C = A ∩ ((A ∪ B) ∩ C)並且B ∩ C = B ∩ ((A ∪ B) ∩ C)，我們有

除了<1²,1>這種論元結構外，「結構化量詞」還有<1,1²>和 <1²,1²>這兩種論元結構。以下給出這兩種「結構化量詞」的「守恆性」定義。「 <1,1²>型結構化量詞」Q是「守恆」的當且僅當對任何論域U及其子集A、B、C，均有

「<1²,1²>型結構化量詞」Q是「守恆」的當且僅當對任何論域U及其子集A、B、C、D， 均有

同樣，(12)和(13)也可以分別重新表述為：「<1,1²>型結構化量詞」Q是「守恆」的當且僅當對任 何論域U及其子集A、B、C、B'、C'而言，

「<1²,1²>型結構化量詞」Q是「守恆」的當且僅當對任何論域U及其子集A、B、C、D、 C'、D'而言，

我們可以用類似上述的方法證明絕大多數<1,1²>和<1²,1²>型「結構化量 詞」具有「守恆性」，以及(12)和(13)分別與(14)和(15)等價，這裡不予詳述。

3. 擴展性

3.1 擴展性的定義

第二種要介紹的性質是「擴展性」(Extension)(註8)，其定義如下：「限定詞」Q是「擴展」的當且 僅當對任何論域U和U'以及集合A、B而言，

上述定義是說，當我們擴展或收縮論域的範圍時，只要這種擴展或收縮不影響集合A、B的元素，量化句的真值 保持不變。以下把「擴展限定詞」組成的集合記作EXT。

我們亦可以把上述定義修改為另一個等價的定義，即Q是「擴展」的當且僅當對任何論域U和U'以及集合A、B而 言，

請注意(17)與(16)的區別在於，(17)沒有規定U'必須是U的母集。(17)的意思是說，當我們變更論域時，只要不 影響集合A、B的元素，量化句的真值保持不變。換句話說，量化句的真值不依賴於論域，因此「擴展性」又可 稱為「論域獨立性」(Universe Independence)。對於具有「擴展性」的「限定詞」而言，在寫出包含這些「限 定詞」的語句時，常可略去代表論域的下標，而這正是筆者以往通常採取的寫法。

容易證明(16)與(17)是等價的，(17) ⇒ (16)是顯而易見的，以下只需證明(16) ⇒ (17)。設(16)成 立，並設A, B ⊆ U ∧ A, B ⊆ U'，那麼我們構造U'' = U ∪ U'。由於U ⊆ U''，根據 (16)，我們有Q_U(A)(B) ⇔ Q_U''(A)(B)。另外，由於U' ⊆ U''，再次根據 (16)，我們有Q_U'(A)(B) ⇔ Q_U''(A)(B)。綜合以上結果，我們有 Q_U(A)(B) ⇔ Q_U'(A)(B)，由此證得(17)成立。

學者一般認為，「擴展性」是自然語言「限定詞」的普遍性質，但也有某些例外。Westerstahl在 Quantifiers in Formal and Natural Languages一文中討論了"many"的三種真值條件(在下式 中k是一個隨語境變化的介乎0與1的實數)：

請注意"many¹"和"many³"的真值條件都涉及論域U，因此包含上述量詞 的語句的真值會隨著論域U而改變。"many"的反義詞"few"的真值條件也大同小異，由此可見， "many"和"few"在某些語義解釋下不是「擴展」的。

容易把「擴展性」概念推廣至其他類型的量詞，只需修改上述定義(16)和(17)中的論元結構便行了。在其他類 型的量詞中，也有一些並不具備「擴展性」，例如在現代數理邏輯中常用的「全稱量詞」∀以及筆者在 《廣義量詞系列：非迭代多式量詞》的表7介紹的以下兩個「<1>型量詞」：

由於上述量詞的真值條件都涉及論域U，容易看到這些量詞都不是「擴展」的。

3.2 論域限制性

我們還可以把「擴展性」與上一節介紹的「右守恆性」加起來，這兩種性質的結合可稱為「論域限制性」 (Universe Restriction)，其定義如下：「限定詞」Q是「論域限制」的當且僅當對任何論域U及其子集A 、B，均有

上述定義是說，具有「論域限制性」的「限定詞」把量化的範圍限定在集合A (= (A ∩ B) ∪ (A − B))之內。在判斷包含這些「限定詞」的語句的真值時，我們無需考慮B − A內的元素，亦無需 考慮U − A − B內的元素。以下把「論域限制限定詞」組成的集合記作UNIV，根據以上定義，我們 有

「論域限制性」還有以下等價定義：Q是「論域限制」的當且僅當對任何論域U、U'以及U的子集A、B和U'的子集 A'、B'而言，

接著讓我們證明(18)與(19)是等價的。先證(18) ⇒ (19)，設(18)成立並且A ∩ B = A' ∩ B' ∧ A − B = A' − B'，則

其次證(19) ⇒ (18)，設(19)成立。那麼由於A和A ∩ B都是A的子集，並且A ∩ B = A ∩ (A ∩ B) ∧ A − B = A − (A ∩ B)，根據(19)，我們有Q_U(A)(B) ⇔ Q_A(A)(A ∩ B)，(18)得證。

理論上，我們還可以把「論域限制性」的概念擴大至其他類型的量詞，但這將涉及頗複雜的問題，而學界對這 方面的研究很少，因此本文不擬討論這個問題。

4. 同構封閉性

4.1 同構封閉性與排列封閉性

在本節，我們討論另一種量詞性質－「同構封閉性」(Isomorphism Closure)，其定義如下：我們說 「限定詞」Q是「同構封閉」的，當且僅當對任何論域U及其子集A、B以及任何把U映射到另一論域U'的「雙射」 (Bijection，亦即「一一到上函數」One-one Onto Function) f而言，都有(在以下定義中，f(A) = {f(x): x ∈ A})：

上述定義是說，當我們把論域U中的子集A、B映射到U'中對應的子集f(A)和f(B)時，量化句的真值保持不變。換 句話說，任何元素對於判斷量化句的真值都沒有特殊地位，因此「同構封閉性」又可稱為「話題中立性」 (Topic Neutrality)。以下把「同構封閉限定詞」組成的集合記作ISOM。

在某些情況下，我們只須考慮從U映射到自身的「雙射」，這種「雙射」在數學上又可稱為「排列」 (Permutation)。在這種情況下，我們可以把(20)中的U'改為U，從而得到「排列封閉性」 (Permutation Closure，又稱「排列不變性」Permutation Invariance)的條件：

以下把「排列封閉限定詞」組成的集合記作PERM。由於「排列」是「雙射」的特例，任何「限定詞」若是「同 構封閉」的，必然也是「排列封閉」的，因此我們有

不過，如果我們假設有關「限定詞」具有上節介紹的「擴展性」，那麼「同構封閉性」與「排列封閉性」便沒 有實質區別。具體地說，我們有以下關係

以下讓我們證明上式。首先，由於有(22)，容易看到ISOM ∩ EXT ⊆ PERM ∩ EXT。其次證明PERM ∩ EXT ⊆ ISOM ∩ EXT。由於PERM ∩ EXT ⊆ EXT是必然的，我們只需證明PERM ∩ EXT ⊆ ISOM。為簡化討論，以下只考慮U和U'為有限集合的情況。讀者在理解以下證明時，可參閱下圖：

設Q ∈ PERM ∩ EXT，並任取論域U及其子集A、B以及把U映射到論域U'的「雙射」f。現在設U'' = U ∪ U'，那麼U與U'同為U''的子集。接著我們把f擴充為U''上的「排列」，由於f是從U到U'的「雙射」，而 U'' = U ∪ (U' − U) = U' ∪ (U − U')，並且U ∩ (U' − U) = U' ∩ (U − U') = Φ，如果我們構造一個從U' − U到U − U'的「雙射」g，並且定義h = f ∪ g，那麼h就是U''上的「排列」，並且h|U = f。現在我們證明上述「雙射」g是存在的，由於U = (U ∩ U') ∪ (U − U')並且U' = (U ∩ U') ∪ (U' − U)，而且|U| = |U'| (因f是「雙射」)， 必有|U' − U| = |U − U'|，因此必存在從U' − U到U − U'的「雙射」g。

利用上述定義的U''和h，我們可以證明如下：

由此證得Q ∈ ISOM，即PERM ∩ EXT ⊆ ISOM，(23)乃得證。

4.2 不具備同構封閉性的限定詞

跟前面介紹的性質不同，自然語言中有很多「限定詞」都不具備「同構封閉性」，例如"John's"、 "(some student's)"、"(all except John)"、"(no except John)"等，這些「限定詞」 的共通點是它們都涉及某些「非邏輯」詞項，例如如果我們把"John's"的真值條件定為(這裡暫不考慮 預設問題)：

那麼這個「限定詞」便涉及OWN和j這兩個「非邏輯」詞項，這兩個詞項都涉及一些具體的「世界知識」，其所 指會隨著「語義模型」而變化。如果把上述真值條件跟"some"的真值條件加以比較：

我們便會發現"some"的真值條件並不包含任何「非邏輯」詞項，因此"some"是「同構封閉」的 。筆者用以下「語義模型」來說明"John's"和"some"這兩個「限定詞」在「同構封閉性」上的 差異：

根據上述模型，我們有OWN_j = {x: OWN(j, x)} = {a, b}，OWN_j ∩ A = {a}。由 於{a} ⊆ {a, b} = B，因此語句「John's_U(A)(B)」是真的。此外，由於A ∩ B = {a} ≠ Φ，語句「some_U(A)(B)」也是真的。

接著考慮把U映射到U的「同構」(這實質上是一個「排列」) f: a → d, b → c, c → b, d → e, e → a, j → j。在f作用下，f(A) = {b, d, e}，f(B) = {c, d}，OWN_j ∩ f(A) = {b}。由於{b} ~⊆ {c, d} = f(B)，因此語句「John's_U(f(A))(f(B))」 是假的。另一方面，由於f(A) ∩ f(B) = {d} ≠ Φ，語句「some_U(f(A))(f(B)) 」卻是真的。

儘管上述「限定詞」不具備「同構封閉性」，但這些「限定詞」仍可被看成由某些「同構封閉量詞」經過某種 操作派生而來的。仍以前述的"John's"為例，試考慮以下與"John's"相關的量詞POSS：

POSS是一個「<0,2,1,1>型量詞」(其中0代表「個體項」)，這個量詞是把"John's"的真值條件中的j和 OWN這兩個「非邏輯」詞項分別抽象為「個體變項」x和「二元謂詞變項」R的結果。由於剝離了上述「非邏輯」 詞項，POSS是「同構封閉」的。反過來看，我們亦可以把"John's"看成把POSS的首兩個論元x和R分別設 定為「個體常項」j和「二元謂詞常項」OWN的結果(這種設定稱為「凍結」，將於下文6.2小節介紹)。因此儘管 "John's"不是「同構封閉」的，但它卻可被看成從某些「同構封閉量詞」派生而來的，其他不具備「同 構封閉性」的「限定詞」也可作相同處理，由此可見「同構封閉性」仍具有普遍意義。

4.3 數量性

如前所述，「同構封閉限定詞」的真值條件並不依賴於任何個別元素，而只依賴於語句中有關集合的元素個數 。某些學者把這種性質稱為「數量性」(Quantitativity)，其正式定義如下：我們說「限定詞」Q是 「數量」的，當且僅當對任何論域U及其子集A、B以及論域U'及其子集A'、B'，都有

以下把由「數量限定詞」組成的集合記作QUANT。請注意在上述定義中，A ∩ B、A − B、B − A和U − A − B這4個集合正好是A和B把U分割成的4個互不重疊的區域，換句話說，它們構成U的一 個劃分。根據上述討論，我們有

利用上述定義，我們可以推導「局部同構封閉限定詞」總數的計算公式。如前所述，「局部限定詞」的總數等 於2^x，其中x為可能存在的「子集對」(A, B)的總數。對於「局部同構封閉限定詞」(亦即「局部數 量限定詞」)而言，(A, B)的總數等於|A ∩ B|、|A − B|、|B − A|和|U − A − B|這4個非負整數的各種不同組合的總數，而在給定論域U的情況下，這4個數相加等於|U|。因此求(A, B)的總 數等於求把|U|分割成4個有序非負整數的方案總數，即「點算組合學」上的「整數有序分割」問題。根據 《點算的奧秘：分配問題》，這類問題等同於從4類物件中可重覆地抽取 |U|個出來的「組合」問題。根據《點算的奧秘：無限重覆的排列組合問題》 ，這個問題的解為C(4 + |U| − 1, |U|)，因此「局部同構封閉限定詞」的總數為

現在讓我們把具體的數字代入上述公式，看看「同構封閉性」對「局部限定詞」總數的影響。在只有兩個元素 的論域中，可能存在的「局部同構封閉限定詞」總數為2¹⁰ = 1024。請注意儘管這個數相比於可能 存在的「局部右守恆限定詞」總數(512)為多，但當|U|增加時，「局部右守恆限定詞」的總數便會大大多於「 局部同構封閉限定詞」的總數，由此可見「同構封閉性」對「局部限定詞」總數的限制較「右守恆性」為高。

容易把「同構封閉性」和「排列封閉性」概念推廣至其他類型的量詞，只需修改上述定義(20)和(21)中的論元 結構便行了。至於「數量性」的定義，則略為複雜，這是因為不同論元結構所產生的對U的劃分可能各有不同。 為簡化討論，以下只討論「單式量詞」(即論元結構為<1,...,1>的量詞)的情況。一般來說，一個「k位單式量 詞」含有k個論元，這k個論元可把U劃分為2^k個互不重疊的區域，我們可以把這些區域記作 P₁, ... P_2^k。例如論元A、B、C便把U分割成以下8個區域： P₁ = A ∩ B ∩ C，P₂ = A ∩ B − C，P₃ = A − B ∩ C，P₄ = A − B − C，P₅ = B − A ∩ C， P₆ = B − A − C，P₇ = C − A − B，P₈ = U − A − B − C。

這樣我們便可以作出如下定義：我們說「k位單式量詞」Q是「數量」的，當且僅當對任何論域U及其子集 A₁ ... A_k以及論域U'及其子集A₁' ... A_k'以及由 A₁ ... A_k產生的對U的劃分{P₁, ... P_2^k}和由 A₁' ... A_k'產生的對U'的劃分{P₁', ... P_2^k'} ，都有

5. 邏輯性

5.1 邏輯性的定義

接下來我們可以把上文介紹的三種主要性質－「右守恆性」、「擴展性」和「同構封閉性」加起來，筆者把這 種性質稱為「邏輯性」(Logicality)(註11)。如果我們用LOG代表由「邏輯限定詞」組成的集合，那 麼根據上述定義，我們有

「邏輯性」還有以下等價定義：Q是「邏輯」的當且僅當對任何論域U及其子集A、B以及論域U'及其子集A'、B' 而言，

以下讓我們證明(25)與(26)是等價的，先證(25) ⇒ (26)。設(25)成立以及|A ∩ B| = |A' ∩ B'| ∧ |A − B| = |A' − B'|，那麼由於A ∩ (A ∩ B) = A ∩ B，A − (A ∩ B) = A − B，(A ∩ B) − A = Φ以及U − A − (A ∩ B) = U − (A ∩ B) − (A − B)，必有|A ∩ (A ∩ B)| = |A' ∩ (A' ∩ B')| ∧ |A − (A ∩ B)| = |A' − (A' ∩ B')| ∧ |(A ∩ B) − A| = |(A' ∩ B') − A'| ∧ |U − A − (A ∩ B)| = |U' − A' − (A' ∩ B')|。因此根據QUANT的定義(24)(因ISOM = QUANT)，我們有Q_U(A)(A ∩ B) ⇔ Q_U'(A')(A' ∩ B')。再根據CONS_r的定義(2)，我們有Q_U(A)(B) ⇔ Q_U'(A')(B')。

其次證(26) ⇒ (25)。請注意(26)的條件是(19)的條件的特例，即若A ∩ B = A' ∩ B' ∧ A − B = A' − B'，則必有|A ∩ B| = |A' ∩ B'| ∧ |A − B| = |A' − B'|，因此根據(26)，有Q_U(A)(B) ⇔ Q_U'(A')(B')，從而證得(26) ⇒ (19) ，但(19)正是UNIV的定義，而UNIV = CONS_r ∩ EXT。同理，(26)的條件也是(24)的條件的特例 ，從而易證(26) ⇒ (24)，但(24)正是QUANT (亦即ISOM)的定義。至此證得(26) ⇒ (25)。

利用上述定義，我們可以推導「局部邏輯限定詞」總數的計算公式。在4.3小節推導「局部同構封閉限定詞」總 數的計算公式時，筆者指出這類「局部限定詞」的總數為2^x，其中x等於|A ∩ B|、|A − B|、|B − A|和|U − A − B|這4個非負整數的各種不同組合的總數。但根據2.2小節的例2， 對於「右守恆限定詞」而言，給定「子集對」(A, B)，我們總可以把它變換為(A', B')使得 Q_U(A)(B) ⇔ Q_U(A')(B')而且|B' − A'|恆等於0。換句話說，當引入「右 守恆性」後，我們無需再考慮|B − A|的值。因此「局部邏輯限定詞」的總數應為2^y，其中y 等於|A ∩ B|、|A − B|和|U − A − B|這3個非負整數的各種不同組合的總數。根據與 4.3小節類似的推理，我們求得「局部邏輯限定詞」總數的計算公式為

根據上式，在只有兩個元素的論域中，可能存在的「局部邏輯限定詞」總數為2⁶ = 64，這個數大 大小於「局部數量限定詞」和「局部右守恆限定詞」的總數。

至此筆者已介紹了幾種最重要的「限定詞」普遍性質，下圖顯示這些性質之間的關係(在下圖中，DET代表由所 有可能存在的「限定詞」組成的論域)：

5.2 數字函數

從定義(26)可見，「邏輯限定詞」的真值條件只依賴於|A ∩ B|和|A − B|這兩個非負整數，因此我 們可以把這類「限定詞」重新理解成表達兩個非負整數之間關係的函數Q[x, y]。簡言之，對於「邏輯限定詞」 ，我們既可以把它們表述為「集合函數」形式Q(A)(B)，又可以把它們表述為「數字函數」形式Q[x, y]。以下 給出這兩種形式之間的轉換關係：

根據上述定義，我們可以求得各個「邏輯限定詞」的「數字函數」形式，例如

筆者在《廣義量詞系列：對偶性推理基礎》中介紹了三個否定概念，現在 我們把這些概念轉化為「數字函數」形式。「外部否定」的「數字函數」形式沒有甚麼特別之處：

舉例說，把上述定義應用於「some[x, y]」，並且考慮到x和y為非負整數，我們便得到 ~some[x, y] ⇔ y = 0，即~some[x, y] ⇔ no[x, y]。

「內部否定」的情況則較為有趣。根據Q~的定義以及(28)，我們有

把上面最後一行跟(28)的右端比較，我們有

把上述定義應用於「every[x, y]」，我們便得到every~[x, y] ⇔ every[y, x] ⇔ y = 0，即every~[x, y] ⇔ no[x, y]。

最後，由於「對偶」是上述兩種否定的結合，我們有

把上述定義應用於「every[x, y]」，我們便得到every^d[x, y] ⇔ ~(every[y, x]) ⇔ y > 0，即every^d[x, y] ⇔ some[x, y]。

5.3 數字三角形

當我們把「限定詞」限制於有限論域中(以下用FIN代表「有限論域限定詞」組成的集合)時，我們還可以借助以 下的「數字三角形」(Number Triangle)來表達「邏輯限定詞」的意義：

上圖中每一個有序對[x, y]代表集合A和B的某一種情況，有序對內的第一個數字代表|A − B|，第二個數 字則代表|A ∩ B|，例如[1, 2]便代表|A − B| = 1，|A ∩ B| = 2的情況。每一行代表具有相同 的|A|的各種可能情況(因|A − B| + |A ∩ B| = |A|)，例如[3, 0]、[2, 1]、[1, 2]、[0, 3]就是 令|A| = 3的4種可能情況。

我們可以用上圖表達各個「有限論域邏輯限定詞」的「數字函數」形式，方法是在圖中各個有序對的相應位置 寫上「+」或「−」號，分別代表該組數字符合或不符合該「數字函數」。舉例說，由於every[x, y] ⇔ x = 0，只有那些形如[0, y]的有序對才滿足這個函數，因此在「every[x, y]」的「數字三 角形」中，[0, 0]、[0, 1]、[0, 2]、[0, 3] ...等位置應寫上「+」號，其餘的位置應為「−」號，如 下所示：

以下給出其餘幾個「有限論域邏輯限定詞」的「數字三角形」，讀者可自行驗證這些圖形的正確性：

容易用「數字三角形」來表達前述的三種否定概念。Q的「外部否定」~Q的「數字三角形」就是把Q的「數字三 角形」中的「+」和「−」號對調(試比較「some[x, y]」與「no[x, y]」的「數字三角形 」)；「內部否定」Q~的「數字三角形」就是Q的「數字三角形」關於中垂線的反射鏡象(試比較「 every[x, y]」與「no[x, y]」的「數字三角形」)；而「對偶」Q^d的「數字三角形 」則是上述兩種變換的結合(試比較「every[x, y]」與「some[x, y]」的「數字三角形」)。

6. 量詞的基本操作

6.1 限制

以下筆者將介紹量詞的三種基本操作，我們可以把這些操作看成把量詞映射為另一量詞的函項，下述三種函項 的定義域和值域各有不同。第一種操作稱為「限制」(Restriction)，根據Peters和Westerstahl的 Quantifiers in Language and Logic一書，這種操作把「<−,1>型量詞」映射為另一「 <−,1>型量詞」，其定義如下：設Q為「<−,1>型量詞」，S為任何集合，A為論域U的子集，則

從上述定義可見，「限制」的作用就是把量詞原來的論域U改為S，由於原來的論元A未必是新論域S的子集，為 免產生無定義的問題，所以必須把A與S相交，以確保新的論元S ∩ A必為S的子集。

利用上述操作，我們便可以用「<−,1>型量詞」來表達某些「限定詞」的語義。舉例說，常用的「限定詞 」"every"和"some"便可以用現代數理邏輯中的兩個常用的「<−,1>型量詞」∀和 ∃表達，這是因為

我們還可以把上述定義推廣至一般的「k位量詞」：設Q為「< n₁,...,n_k >型量詞」， S為任何集合，A_i ⊆ Uⁿⁱ (1 ≤ i ≤ k)，則

上述操作可用來表達某些焦點結構，試看以下語句：

根據Krifka在Association with Focus Phrases一文中的分析，上句的意思等同於

這實質上是把論域限制在"men that introduced someone to Sue"所指的集合內。如果我們用S代表這個集合 ，那麼語句(30)可以表達為以下「三分結構式」：

6.2 凍結

第二種操作稱為「凍結」(Freezing)，這種操作把「限定詞」映射為「<−,1>型量詞」，其定 義如下：設Q為「限定詞」，S為任何集合，B為論域U的子集，則

從上述定義可見，「凍結」的作用就是把Q的第一論元A設定為S，由於S未必是原有論域U的子集，為免產生無定 義的問題，所以必須把論域擴大為S ∪ U，以確保S必為這個新論域的子集。另外，由於此一操作把Q的第一 論元設定為常項，實質上取消了該論元，因此原來的「限定詞」(即「<1,1>型量詞」)變為「<−,1>型量 詞」。

利用上述定義，我們可以把某些「<−,1>型量詞」看成對「限定詞」進行「凍結」的結果。舉例說，我們 可以把專有名詞以及專有名詞的合取或析取分析成「限定詞」"every"或"some"的「凍結」，這 是因為

我們還可以把上述定義推廣至一般的「k位量詞」，而被「凍結」的論元可以是k個論元中的任何n個(n ≤ k) 。為簡化表達式，以下只介紹把「k位量詞」中的首n個論元「凍結」的情況：設Q為「< n₁,...,n_k >型量詞」，S_i為「n_i元集合」(1 ≤ i ≤ n)(其中「零元集合」代表「個體項」)，A_i ⊆ Uⁿⁱ (n + 1 ≤ i ≤ k)，則

請注意由於S₁, ... S_n並不限於普通的「一元集合」，而是一般的「n_i元 集合」，在上述定義中，被擴大的論域不能簡單地表達為S₁ ∪ ... S_n ∪ U， 而要視乎情況作出適當調整，這裡為免涉及過多細節，僅把擴大後的論域記作U*。

回顧4.2小節介紹的「限定詞」"John's"與「<0,2,1,1>型量詞」POSS之間的關係，現在我們可以把 "John's"分析成把POSS的首兩個論元「凍結」的結果：

6.3 關係化

第三種操作稱為「關係化」(Relativization)，這種操作把「<−,1>型量詞」映射為「限定詞」 ，其定義如下：設Q為「<−,1>型量詞」，A和B為論域U的子集，則

利用上述定義，我們可以把某些「<−,1>型量詞」與「限定詞」聯繫起來。舉例說，∀和∃ 便分別與"every"和"some"存在以下聯繫：

請注意如果我們把(32)中的A定為U，便得

上述結果反映了以下事實，在保持論域U不變的情況下，含有「<−,1>型量詞」的三分結構相等於含有相 關「限定詞」並以U作為其第一論元的三分結構。以下是一些實例(在以下例子中，我們假設以HUMAN作為論域， 在此一假設下，<−,1>型量詞「∀」和「∃」分別等同於"everybody"和 "somebody")：

從本節的例子亦可見，以上三種操作互有聯繫。事實上，我們有以下定理：

定理2：設Q為「<−,1>型量詞」，B為論域U的子集，S為任何集合，則

容易用以上定義證明上述定理：

我們還可以把上述定義推廣至一般的「k位量詞」：設Q為「< n₁,...,n_k >型量詞」， A ⊆ U，A_i ⊆ Uⁿⁱ (1 ≤ i ≤ k)，則

筆者在《廣義量詞系列：非迭代多式量詞》的表7曾經介紹以下「<1,1>型量 詞」：

現在我們可以利用上述定義把「<1²,1>型結構化量詞」"(more ... than ...)"表達為對上 述量詞進行「關係化」的結果：

6.4 Q與Q^rel的關係

如前所述，我們可以透過「關係化」把「<−,1>型量詞」轉化為「限定詞」。事實上，這兩類量詞還有更 深刻的聯繫，請看以下定理。

定理3：設Q為「限定詞」，Q ∈ CONS_r ∩ EXT當且僅當存在一個「<−,1> 型量詞」Q'使得Q = (Q')^rel。

為證明上述定理，首先設Q = (Q')^rel，那麼根據(32)，我們有

由此證得(Q')^rel (= Q) ∈ CONS_r。此外，如在(32)中把U換成其母集U'，「 ⇔」右面的式不變，由此可得

即(Q')^rel (= Q) ∈ EXT。

其次設Q ∈ CONS_r ∩ EXT，我們定義以下「<−,1>型量詞」：

我們有

由此證得Q = (Q')^rel。綜合以上結果，「定理3」得證。

如果「定理3」中的Q為「有限論域邏輯限定詞」，我們便可以用「數字函數」和「數字三角形」來代表Q。在這 種情況下，與Q相關的「<−,1>型量詞」Q'也可以用「數字函數」和「數字三角形」來代表，只需把上文 的(27)、(28)改為

而Q'的「數字三角形」與5.3小節介紹的「數字三角形」具有相同的形式，只需把該「數字三角形」上的|A − B|、|A ∩ B|和|A|分別改為|U − A|、|A|和|U|即可。最後，我們還有以下定理：

定理4：設Q為「有限論域邏輯限定詞」使得Q = (Q')^rel，則對任何非負整數x、y，均有 Q[x, y] ⇔ Q'[x, y]。

上述定理可證明如下：

根據「定理4」，我們可以使用同一個「數字三角形」來代表Q與Q'，由此顯示了「<−,1>型量詞」與「限 定詞」的微妙關係。

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