筆者在前面兩章介紹了「單調性推理」，這種推理可以說是當代廣義量詞理論所研究的眾多推理中最引人注目 的一種，因為這種推理有高度規律性，而且在日常語言中有廣泛應用。Peters和Westerstahl在其合著的 Quantifiers in Language and Logic一書中便設有專章專門討論「單調性」的問題。除了「單調性推 理」外，筆者認為「對偶性推理」是另一種廣受注目的推理模式。「對偶性推理」是一種與否定有關的推理， Barwise和Cooper在其合著的Generalized Quantifiers and Natural Language (廣義量詞理論的奠基 性文章)中便已提出了「對偶」的概念，並簡單討論了一些與這個概念有關的推理模式。後來Keenan在 Excursions in Natural Logic一文以及Peters和Westerstahl在Quantifiers in Language and Logic一書中進一步發展了有關這種推理的理論，本文將簡介這些理論的基礎知識，並把這種推理模式統稱 為「對偶性推理」。
如前所述，「對偶性推理」是一種與否定有關的推理，因此我們首先引入三個與否定有關的概念。以下我們將
集中討論「<1>型量詞」的否定，這裡的「<1>型量詞」包括：「<−,1>型量詞」(例如
「John(−)(SING)」中的「John(−)」)、「<1,1>型量詞 + 個體集合」(例如
「every(BOY)(SING)」中的「every(BOY)」)、「<12,1>型量詞 + 個體集合的有序
對」(例如「(more ... than ...)(BOY, GIRL)(SING)」中的「(more ... than ...)(BOY,
GIRL)」)等。以下把含有這種量詞的語句記作Q(#)(P)的形式，其中P為「謂詞性論元」，「#」則可體現為「
−」、「個體集合」或「個體集合的有序對」，詳見《廣義量詞系列：量
詞的迭代運算》中的介紹。上述各種結構在語法上的共同點是，它們都相當於一個名詞短語。
設Q(#)(P)為含有「<1>型量詞」的語句，那麼我們可以對「Q(#)(P)」進行兩種否定。第一種否定就是把「
Q(#)(P)」變成「~(Q(#)(P))」，這種否定相當於對量詞(亦即整句)進行全盤否定，當代的學者稱為「外部
否定」(Outer Negation)或「前補」(Complement)(註1)。請注意這兩個名稱中的「外部」或「
前」反映了「否定」(亦即「補」)運算符號「~」相對於量詞Q或整個語句「Q(#)(P)」的位置，這就是「~」位
於「Q(#)(P)」的外部，亦即Q之前。
一般而言，我們可以在某一「<1>型量詞」前加"not"或"It is not the case that" (相當於漢語的「並非」)
以得到該量詞的「外部否定」形式，例如從"everybody(−)"得到"(not
everybody)(−)"，以下把這種純粹加"not"的形式稱為「平凡」(Trivial)的「外部否定」形式。不
過，除此以外，自然語言中某些量詞還有另一個「非平凡」的「外部否定」形式。下表列出某些常用「<1>型量
詞」的「非平凡外部否定」形式(在下表中，A和B代表「名詞性論元」，l、m、n為自然數，且0 < l < m < n，
p、q為分數，且0 < p < q < 1)(註2)：
| 量詞 | 「外部否定」形式 |
|---|---|
第二種否定就是把「Q(#)(P)」變成「Q(#)(~P)」，這種否定相當於對謂詞進行局部否定，當代的學者稱為
「內部否定」(Inner Negation)或「後補」(Post-Complement)。請注意在這種否定中，「~」
位於「Q(#)(P)」的內部，亦即Q之後。
一般而言，我們可以在某一「<1>型量詞」後加"not" (相當於漢語的「不」)以得到該量詞的「平凡內部否定」
形式(惟請注意，在英語中當我們以"not"作用於句子的謂語時，一般須使用適當的「助動詞」，例如從
"Everybody sings."得到"Everybody does not sing.")。不過，自然語言中某些量詞還有另一個「非平凡內部
否定」形式。下表列出某些常用「<1>型量詞」的「非平凡內部否定」形式：
| 量詞 | 「內部否定」形式 |
|---|---|
比較一下表1和表2，我們看到自然語言在表達「外部否定」和「內部否定」的詞匯上有不同的表現。例如，由
「結構化量詞」構成的「<1>型量詞」"(more ... than ...)(A, B)"、"(fewer ... than
...)(A, B)"和"(exactly as many ... as ...)(A, B)"有「非平凡外部否定」形式而無「非平凡
內部否定」形式，由「例外量詞」構成的「<1>型量詞」"(all except John)(A)"則有「非平凡內部否
定」形式而無「非平凡外部否定」形式。
至於涉及具體數值的量詞，其「外部否定」和「內部否定」在形式上也有很大差別。這類量詞可分為三大類：
「絕對數量詞」(例如"(more than n)(A)")、「部分格結構」(例如"(more than m of the
n)(A)")和「相對數量詞」(例如"(more than q)(A)")，請注意「部分格結構」其實也是表達某種
「相對數量」，因為"m of the n"相當於分數m / n。上述量詞的「外部否定」形式的共同點是保留原有量詞上
的數值不變(例如"(more than q)(A)"的「外部否定」形式為"(at most q)(A)"，其中數值q保
持不變)。由於這些量詞的「外部否定」形式很簡單，所以上述三類量詞都有「非平凡外部否定」形式。
至於上述量詞的「內部否定」形式，情況就不同了。根據表2，大致上只有「部分格結構」和「相對數量詞」有
「非平凡內部否定」形式，而且這些「內部否定」形式並不保留原有量詞上的數值不變，其中「部分格結構」
的「內部否定」形式須把原有量詞上的數值m變換為n − m，而「相對數量詞」的「內部否定」形式則須
把原有量詞上的數值q變換為1 − q。如前所述，「部分格結構」其實也是表達某種「相對數量」，所以
上述兩種變換其實是同一個「減」運算，這個運算反映了如下推理：如果我們知道不具備某屬性的個體佔全部
個體的比率為q，那麼便可據此推導出具備該屬性的個體佔全部個體的比率為1 − q，反之亦然。可是此
一推理一般並不適用於「絕對數量詞」，因為即使我們知道有多少個體不具備某屬性，也不能據此推導出有多
少個體具備該屬性(除非我們知道總共有多少個體，但此一情況相當於「部分格結構」)，因此表2一般不包含「
絕對數量詞」。
不過，除了上述「減」運算外，我們還可以從「例外結構」的角度來求量詞的「內部否定」形式。舉例說，如
果在n個個體中，有m個不具備某屬性，那麼從「例外結構」的角度看，這等同於說在那n個個體中，除了m個外
，其餘都具備該屬性。請注意上述推理並不存在把m變換為另一個數值的問題，所以上述推理同時適合用於上述
三類量詞，因此「絕對數量詞」"(exactly n)(A)"有一個表現為「例外量詞」的「內部否定」形式－
"(all except n)(A)" (註3)。
我們還可以同時對「Q(#)(P)」進行上述兩種否定，即把「Q(#)(P)」變成「~(Q(#)(~P))」，當代的學者把這種 變換稱為「對偶」(Dual)。邏輯學界其實早已注意到「對偶關係」的存在，並且利用這種關係使「全 稱量詞」∀與「存在量詞」∃得以互相定義：
當代的學者則發掘出更多「對偶」關係，下表列出某些常用「<1>型量詞」的「非平凡對偶」：
| 量詞 | 對偶 |
|---|---|
由於「對偶」是「外部否定」和「內部否定」的複合，只有那些同時具備這兩種否定的「非平凡」形式的量詞
才會有「非平凡對偶」形式，而且這種「非平凡對偶」形式可以根據表1和表2推導出來。舉例說，由於
"(exactly q)(A)"既是"(more or less than q)(A)"的「外部否定」，又是"(exactly (1
− q))(A)"的「內部否定」，所以"(more or less than q)(A)"與"(exactly (1 −
q))(A)"互為「對偶」。
根據上述討論，我們可以推斷出，具有「非平凡對偶」形式的量詞絕大多數都是表達「相對數量」的量詞。事
實上，表3上的量詞除了"(all except n)(A)"一行上的量詞外，其餘全都可看成表達「相對數量」的量
詞，其中"every(A)"、"some(A)"、"(both John and Mary)(−)"和"(either
John or Mary)(−)"可分別看成等同於"100%(A)"、"(more than 0%)(A)"、
"(100% of {John, Mary})(−)"和"(more than 0% of {John, Mary})(−)"。
為進一步簡化寫法，當代的學者把量詞Q(#)的「外部否定」、「內部否定」和「對偶」分別記作~Q(#)、Q(#)~
和Q(#)d，即
| ~Q(#)(P) ≡ ~(Q(#)(P)) | (1) |
| Q(#)~(P) ≡ Q(#)(~P) | |
| Q(#)d(P) ≡ ~(Q(#)(~P)) |
利用上一節介紹的概念，我們可以推導某些有效的推理模式。在本小節，我們直接應用這些概念的定義來推導 僅包含一層「<1>型量詞」的語句的推理模式。首先，根據「外部否定」的定義，我們有以下推理模式：
| Q(#)(P) ⇔ It is not the case that ~Q(#)(P) | (2) |
| It is not the case that Q(#)(P) ⇔ ~Q(#)(P) |
以下是上述推理模式的一些實例：
其次，根據「內部否定」的定義，我們有以下推理模式：
| Q(#)(P) ⇔ Q(#)~(not P) | (3) |
| Q(#)(not P) ⇔ Q(#)~(P) |
以下是上述推理模式的一些實例：
最後，根據「對偶」的定義，我們有以下推理模式：
| Q(#)(P) ⇔ It is not the case that Q(#)d(not P) | (4) |
| It is not the case that Q(#)(P) ⇔ Q(#)d(not P) | |
| Q(#)(not P) ⇔ It is not the case that Q(#)d(P) | |
| It is not the case that Q(#)(not P) ⇔ Q(#)d(P) |
以下是上述推理模式的一些實例：
從某一角度看，上面的推理模式(2)－(4)其實只是「多重否定律」的運用。以(4)中的第一式為例，如果我們把 "It is not the case that"和"not"都寫作「~」，並且運用(1)中Qd的定義，那麼該式的右端便是
由此可見，該式的左右兩端相等，因此該式代表有效的推理模式。其實在上述證明中，我們完全可以略去論元# 和P以及一切括號，從而得到以下更簡潔的證明：
上式更清楚顯示「多重否定律」的作用。
上一小節所述的語句較簡單，其中某些推理結果其實也可以用筆者以往介紹過的「對當關係推理」和「結構變 換推理」得到，在本小節我們考察結構較複雜的語句，即包含兩層「<1>型量詞」(「迭代<1>型量詞」)的語句 ，我們可以把含有這類量詞的語句寫成以下形式：
根據《廣義量詞系列：量詞的迭代運算》，上式可以改寫為
上述量詞滿足以下推理模式
現在讓我們證明上式的正確性。利用(1)中Q~的定義，上式右端等同於
由此可見，(5)的左右兩端相等，因此該式代表有效的推理模式。正如筆者在上一小節指出的，在上述證明中我 們可以把#、P和一切括號略去，從而得到以下更簡潔的證明(以下把兩個量詞Q和Q'並排在一起以表示「迭代」 運算)：
以下筆者將主要採用上述這種較簡潔的方法來推導「迭代量詞」的推理模式。
式(5)的意思是說，給定語句「Q(#)(Q'(#')(P))」，只要我們把Q和Q'分別換成其「內部否定」和「外部否定」
形式，所得結果等同於原句。以下是(5)的一些推理實例：
利用前述的方法，我們還可以推導出更多有效推理模式。舉例說，由於
我們有以下推理模式：
以下是(6)的一個推理實例：
請注意在上例中，我們分別以"some"和"(both John and Bill)"作為Q和Q'。當然我們還可以構 造其他推理實例以至其他有效推理模式，這裡不擬一一詳述。
接著讓我們考慮包含三層「<1>型量詞」的語句的推理模式，我們可以把包含這類量詞的語句寫成以下形式：
或者
上述量詞滿足以下推理模式
上述推理模式的有效性可用以下等值式來證明：
接著讓我們看(7)的一些推理實例。由於包含三個量詞的語句帶有兩個賓語(「間接賓語」和「直接賓語」)，這 兩個賓語的「轄域」的相對大小有兩種可能情況：「間接賓語」的轄域大於／小於「直接賓語」的轄域，這兩 種情況會產生完全不同的語義，因此在應用(7)前須先確定語句中「間接賓語」和「直接賓語」轄域的相對大小 ，試看以下例句(註5)：
在上面第一組例句中，「間接賓語」("old clothes")的轄域大於「直接賓語」("organisation")的轄域；在第
二組例句中，「間接賓語」的轄域卻小於「直接賓語」的轄域。由於轄域的相對大小各不相同，這兩組例句在
語義上有很大差異：第一組例句表示對某一家庭來說，他們把至少40%的舊衣送給了該兩個組織之一，其餘最多
60%的舊衣則送給該兩個組織以外的其他機構；第二組例句則表示對某一家庭來說，他們向該兩個組織都各送了
至少40%的舊衣，即合共送了至少80%的舊衣給該兩個組織，只有最多20%的舊衣送給其他機構。請讀者基於上述
詮釋，自行驗證上述兩組推理的正確性。
在前面我們推導有效的「對偶性推理」模式時，實質上是應用「多重否定律」以消去並排的「~」。在這裡筆者
介紹另一種推導有效推理模式的方法，這種方法實質上是「重組括號」，把本屬某一量詞的「~」轉移給相鄰的
量詞。舉例說，由於
我們有以下推理模式：
以下是(8)的一個推理實例：
在本節我們把「對偶性推理」推廣至「<1>型模糊量詞」，首先我們需要為這些量詞建立前述的各種否定概念。 「外部否定」是最容易的，事實上，筆者在《廣義量詞系列：直接推理的革新》 中已提出了這種否定的定義，即若Q(#)為「<1>型模糊量詞」，x為「參項」，則Q(#)的「外部否定」~Q(#) 的「隸屬度函數」可透過Q(#)的「隸屬度函數」定義為：
接著我們需要定義「<1>型模糊量詞」的「內部否定」。根據前面有關「內部否定」的定義，我們知道給定「 <1>型模糊量詞」Q(#)的「隸屬度函數」μ[Q(#)](x)，那麼其「內部否定」Q(#)~的「隸屬度函數」便應為
其中x'代表把原來「隸屬度函數」的「參項」x中的謂詞P改為~P的結果。舉例說，設"(proportionally more ... than ...)(A, B)"的「隸屬度函數」為μ[Q(#)](x)，其中
那麼"(proportionally more ... than ...)(A, B)~"的「隸屬度函數」便應為μ[Q(#)](x')，其中
| x' | = |A ∩ ~P| / |A| − |B ∩ ~P| / |B| |
| = |A − P| / |A| − |B − P| / |B| |
一般而言，Q(#)與Q(#)~的「隸屬度函數」之間沒有簡單的對應關係，但對於那些其「參項」表現為|P| / |U| (例如"(almost everybody)(−)")或|S ∩ P| / |S| (例如"(a large proportion of)(A)")的「模糊量詞」Q(#)而言，Q(#)與Q(#)~的「隸屬度函數」之間卻有簡單的對應關係。這是因為若 x = |P| / |U|或x = |S ∩ P| / |S|，則1 − x = |~P| / |U|或1 − x = |S ∩ ~P| / |S|。由此我們有以下定義：若Q(#)為「<1>型模糊量詞」並且其「參項」表現為|P| / |U|或|S ∩ P| / |S|，則Q(#)的「內部否定」Q(#)~的「隸屬度函數」為：
上述定義就是Zadeh在A Computational Approach to Fuzzy Quantifiers in Natural Languages一文
中就某些「模糊量詞」提出的「內部否定」的定義(但Zadeh在其文章中並不採用「內部否定」一名，而是把這
種否定稱為「反義詞」Antonym，並把Q(#)的「反義詞」記作ant Q(#))。
有了上述兩種否定的定義，我們便可以定義「<1>型模糊量詞」的「對偶」概念，這是因為「對偶」事實上是這
兩種否定的結合。特別地，若Q(#)為「<1>型模糊量詞」並且其「參項」表現為|P| / |U|或|S ∩ P| / |S|
，則Q(#)的「對偶」Q(#)d的「隸屬度函數」為：
下圖顯示具有上述特殊性質的「模糊量詞」Q(#)以及~Q(#)、Q(#)~和Q(#)d的「隸屬度函數」：
從上圖可以看到，對於具有上述特殊性質的「模糊量詞」Q(#)而言，~Q(#)的「隸屬度函數」是Q(#)的「隸屬度
函數」關於水平線y = 0.5的反射鏡象；Q(#)~的「隸屬度函數」是Q(#)的「隸屬度函數」關於垂直線x = 0.5的
反射鏡象；而Q(#)d的「隸屬度函數」則是Q(#)的「隸屬度函數」以(0.5, 0.5)(即y = 0.5和x =
0.5的交點)為中心點旋轉180°所得的影象。
在上一節，筆者指出某些常用的「普通<1>型量詞」在自然語言中有獨特的詞匯形式以表現各種否定概念，「
<1>型模糊量詞」是否也有類似的情況？事實上，某些常用的「<1>型模糊量詞」確有「非平凡內部否定」形式
，如下表所示：
| 量詞 | 「內部否定」形式 |
|---|---|
至於「外部否定」，「<1>型模糊量詞」一般都沒有獨特的詞匯形式以表達這種否定，這是這類量詞的「模糊」
性質使然的。由於「外部否定關係」相當於傳統邏輯上的「矛盾關係」，即非此即彼的關係，而這種關係正與
「模糊」概念格格不入，因為「模糊」概念正是為克服傳統邏輯非此即彼的簡單二分概念而提出來的。不過，
儘管大多數「<1>型模糊量詞」沒有「非平凡外部否定」形式，但小部分可透過在其前加"not"的方式構成其「
外部否定」形式，例如"many(A)"的「外部否定」形式便是"(not many)(A)"。
同樣，由於「對偶」是上述兩種否定的複合，我們亦可知大多數「<1>型模糊量詞」Q(#)都沒有「非平凡對偶」
形式，但小部分卻可以透過在Q的「內部否定」形式Q(#)~前加"not"的方法構成其「對偶」形式，例如根據表4
，我們知道"(a very large proportion of)(A)"的「對偶」是"(not a very small proportion
of)(A)"。
有了以上基本定義，我們便可以推導「<1>型模糊量詞」的「對偶性推理」模式，其方法跟第3節介紹的完全相
仿。不過，由於「<1>型模糊量詞」沒有「非平凡外部否定」和「非平凡對偶」形式，這類推理不及普通「<1>
型量詞」那樣多，以下僅提供一些實例。
首先，我們可以根據上面(2)－(4)推導一些涉及一層「<1>型模糊量詞」的語句的推理模式。例如，根據(3)和
表4，我們有以下推理實例：
根據(4)以及上一小節介紹的構造「對偶」的方法，我們也可以得到以下推理實例：
至於(2)，由於正如上一小節所述，我們一般是在「<1>型模糊量詞」的前面加"not"以構成「外部否定」，所以 利用(2)，我們只能得到以下這種「平凡」推理：
其次，利用3.2小節中的方法，我們可以推導一些涉及兩層「<1>型模糊量詞」的語句的推理模式。例如，根據 (5)，我們有以下推理實例：
在理論上我們還可以推導一些涉及三層「<1>型模糊量詞」的語句的推理模式，但基於與前面相同的原因，這類 推理模式難以有自然和「非平凡」的推理實例，所以這裡不擬深入討論。
在本節我們把「對偶性推理」推廣至「<1>型疑問量詞」，首先我們也需要定義與「<1>型疑問量詞」相關的各 種否定概念。由於「外部否定關係」在實質上等同於「矛盾關係」，這裡可以沿用筆者在 《廣義量詞系列：直接推理的革新》介紹的「疑問量詞」的「矛盾關係」 定義，即若Q(#)(P)為包含「<1>型疑問量詞」的語句，則其「外部否定」~Q(#)(P)須滿足(在下式中，a代表「 解答」、W代表「可能世界論域」、World(p)代表使命題p為真的「可能世界」組成的集合)：
在自然語言中，只有極少數「疑問量詞」有「非平凡外部否定」形式，如下表所示：
| 量詞 | 「外部否定」形式 |
|---|---|
除此以外，絕大多數「疑問量詞」都沒有「非平凡外部否定」形式，而且在「疑問量詞」前加"not"也不是構成
「外部否定」形式的適當方法，因為自然語言中根本沒有類似"not how many"這樣的疑問詞。
「疑問量詞」的「內部否定」的定義則可以沿用「陳述量詞」的「內部否定」的相應定義，即若Q(#)(P)為包含
「<1>型疑問量詞」的語句，則其「內部否定」的形式為Q~(#)(P) ≡ Q(#)(~P)。在自然語言中，我們一
般可以透過把疑問句的謂語轉換成其否定形式的方法來得到「疑問量詞」的「平凡內部否定」形式，但除了下
表所示的「疑問量詞」外，絕大多數「<1>型疑問量詞」都沒有「非平凡內部否定」形式：
| 量詞 | 「內部否定」形式 |
|---|---|
以下讓我們證明上表所示的「疑問量詞」的確互為「內部否定」形式。由於「(proportionally how many more ... than ...)(A, B)(~P)(C)」(C為「解答論元」)的真值條件為：
| C | = |A − P| / |A| − |B − P| / |B| |
| = 1 − |B − P| / |B| − 1 + |A − P| / |A| | |
| = (1 − |B − P| / |B|) − (1 − |A − P| / |A|) | |
| = |B ∩ P| / |B| − |A ∩ P| / |A| |
上面最後一行正是「(proportionally how many more ... than ...)(B, A)(P)(C)」的真值條件，由 此我們證明了
至於「<1>型疑問量詞」的「對偶」形式，由於表5和表6沒有共同的「<1>型疑問量詞」，可以推知自然語言中 的「疑問量詞」都沒有「非平凡對偶」形式。
由於「<1>型疑問量詞」只有很少「外部否定」和「內部否定」形式，它們只有十分有限的「對偶性推理」模式 。由於我們不能在疑問句前加上"It is not the case that"，我們不能應用前面的(2)和(4)，但卻可應用(3) 來推導某些涉及一層「<1>型疑問量詞」的語句的推理模式。例如，根據(3)和表6，我們有以下推理實 例(以下我們把兩個疑問句的等值關係定義為這兩個疑問句具有完全相同的「解答集」)：
接著讓我們考慮應用上面的(5)來推導一些涉及兩層「<1>型疑問量詞」的語句的推理模式。由於表5和表6的「
疑問量詞」本身已是複合量詞，如果再用這些量詞來構造含有兩層「疑問量詞」的「多重疑問句」，這將會令
所得疑問句的結構非常複雜和不自然，所以我們不考慮「多重疑問句」的「對偶性推理」，但卻可以考慮「混
合陳述-疑問量化句」的「對偶性推理」模式，這種推理模式有兩種可能性。
首先我們考慮「疑問量詞」取寬域、「陳述量詞」取窄域的情況。在這種情況下，我們要利用「疑問量詞」的
「內部否定」形式和「陳述量詞」的「外部否定」形式，所得疑問句具有「個體解」。以下是應用(5)和表6所
示「疑問量詞」的一個推理實例：
其次考慮「陳述量詞」取寬域、「疑問量詞」取窄域的情況。在這種情況下，我們要利用「陳述量詞」的「內 部否定」形式和「疑問量詞」的「外部否定」形式。筆者在《廣義量詞系列：迭 代量詞》中曾指出，這樣的「混合陳述-疑問量化句」一般會產生「偶串列解」或「選答解」。試考慮以 下疑問句
上句有一個「個體解」，這裡不予考慮。如果我們把上句的論元結構分析為
所得解讀就是「偶串列解」。在這種解讀下，(9)的一個可能解答是
由於這種疑問句的解答不是單純的句子，我們難以推導這種疑問句的「對偶性推理」模式。不過，上句還有第 三種解讀，這種解讀相當於以下疑問句：
以下把這種解讀稱為「共同數值解」(Common Number Reading)。在這種解讀下，(9)的一個可能解答是
根據(10)，我們可以把(9)的「共同數值解」表達為
根據上式，在「共同數值解」下，(9)表現為「疑問量詞」取寬域、「陳述量詞」取窄域的形式。我們可以對 (11)進行「對偶性推理」。儘管(11)包含三重量詞，但我們可以只考慮後兩個量詞。根據(5)，我們有以下推理 ：
用日常語言來表達(12)，我們有：
請注意上述推理只有在「共同數值解」下才是成立的。
筆者至此已介紹了各類「<1>型量詞」的「對偶性推理」。請注意在本文中「<1>型量詞」具有高度概括性，可 涵蓋「<−,1>型量詞」、「<1,1>型量詞」和「<12,1>型結構化量詞」，這些量詞的共同點是 它們的「謂詞性論元」都是「個體集合」。可是「<1>型量詞」仍未概括所有可能的量詞，根據筆者以往的介紹 ，我們還有其他類型的「結構化量詞」和各種「複雜結構化量詞組合」。以下筆者將分別討論包含「數量比較 詞」和「同異比較詞」的複雜結構的「對偶性推理」。
根據《廣義量詞系列：基本單式量詞》，「數量比較詞」除可構成「
<12,1>型結構化量詞」外，還可構成「<1,12>型結構化量詞」和「
<12,12>型結構化量詞」，以下筆者將集中討論後者，包含這種量詞的語句有兩個主語
和兩個謂語，例句如"Proportionally more boys sang than girls danced."。
由於「<12,12>型結構化量詞」包含兩個「謂詞性論元」，在構造這種量詞的「內部否
定」和「對偶」形式時，須把兩個「謂詞性論元」同時否定，即若「Q(S, S')(P, P')」為包含「
<12,12>型結構化量詞」的語句，其中S和S'為主語，P和P'為謂語，則其「內部否定」
和「對偶」形式分別為「Q(S, S')(~P, ~P')」和「~(Q(S, S')(~P, ~P'))」。至於「外部否定」形式，則與前
述「<1>型量詞」的相應概念大致相同。
正如筆者以往指出的，某些「結構化量詞」儘管論元結構不同，但有共同的意義內核，所以某些「
<12,12>型結構化量詞」也有類似上面表1－表3所列的各種否定形式。舉例說，根據表
2，"(proportionally more ... than ...)(A, B)"的「內部否定」為"(proportionally fewer ...
than ...)(A, B)"。由此我們可以推斷，「(proportionally more ... than ...)(BOY,
GIRL)(SING, DANCE)」的「內部否定」為「(proportionally fewer ... than ...)(BOY, GIRL)(SING,
DANCE)」。利用上述結果，我們有以下推理實例：
正如「<1>型量詞」那樣，我們也可以把上述推理推廣至包含兩層量詞的語句，這種語句的兩個謂語各有其賓語 ，而且每個賓語各帶有自己的量詞。我們可以把這類語句的論元結構記作
其中O和O'為賓語。仿照前面的(5)，我們有以下有效推理模式：
請注意上式其實反映了以下等值關係：
現在如果我們以"(proportionally more ... than ...)(BOY, GIRL)(BORROW, BUY)"代入 Q1(S, S')(P, P')，以"some(BOOK)"代入Q2(O)，並以"(at least 3)(CD)"代入Q3(O')，便可得到以下推理實例：
容易驗證上述推理是有效的。設在某一論域中，借了至少一本書的男孩佔全部男孩的60%，而買了至少三隻光碟
的女孩佔全部女孩的30%，那麼上述推理左端的句子是真的。根據上述假設，一本書也沒有借的男孩佔全部男孩
的40%，而買了少於三隻光碟的女孩佔全部女孩的70%，因此上述推理右端的句子也是真的。
筆者在《廣義量詞系列：非迭代多式量詞》中介紹了多種包含「數量比較詞
」的「複雜結構化量詞組合」，現在我們研究這些組合的「對偶性推理」。根據該網頁，語句
可被表達成以下「迭代」形式：
這是一個包含三層量詞的語句，因此我們可以根據(7)得到以下推理實例：
請注意在(14)中，儘管"some teacher"是該句的第三個名詞短語，但在(14)的「迭代」形式中， some(TEACHER)卻位於第二位置，因此在進行上述推理時，我們應使用"some"的「對偶」形式 "every"而非其「內部否定」形式。
筆者在上面一直沒有討論「同異比較詞」，這是因為根據《廣義量詞系列：基本 單式量詞》，「同異比較詞」只能構成「<1,12>型結構化量詞」，不屬「<1>型量詞」的範疇 ，而且在該網頁介紹的四個「同異比較詞」中，只有兩個具有「非平凡外部否定」形式，如下表所示：
| 量詞 | 「外部否定」形式 |
|---|---|
根據上表和(2)，我們有以下推理實例：
接著考察由「同異比較詞」構成的「複雜結構化量詞組合」的「對偶性推理」。根據 《廣義量詞系列：非迭代多式量詞》，語句
可被表達為以下「迭代」形式：
這是一個包含兩層量詞的語句，因此我們可以根據(5)得到以下推理實例：
除了上述這種「二重量詞組合」外，「同異比較詞」還可以出現於「三重量詞組合」中。根據上述網頁，語句
可被表達為以下「迭代」形式：
這是一個包含三層量詞的語句，因此我們可以根據(7)得到以下推理實例：
我們還可以把「對偶性推理」應用於其他論域。事實上，邏輯學家早已注意到，模態邏輯和時態邏輯中的算子 可以像量詞那樣互相定義，例如(在下式中，□、◇、H和P分別代表「必然」、「可能」、「過去一直」和「過 去曾經」)：
這種互相定義關係實際就是「對偶關係」的反映，而且上述等值關係可以被理解成把前述"every boy"
與"some boy"的「對偶關係」分別應用於「可能世界論域」和「時間論域」的結果。由於筆者以往曾指
出，量化是自然語言中的普遍現象，我們可以推斷，「單調性推理」廣泛存在於各種量化結構中。現在我們首
先討論包含一層算子語句的「對偶性推理」模式，由於這類推理的某些結果跟以往筆者介紹過的「對當關係推
理」和「結構變換推理」的結果大同小異，這裡只擬介紹兩個較特殊的推理實例。
筆者在《廣義量詞系列：時間量化結構》中曾指出，語句
可被分析成含有「結構化量詞」"(more ... than ...)"的量化結構，因此根據表1，我們有以下推理實 例：
筆者在《廣義量詞系列：相關詞與度量結構》中曾指出，可以把「序數詞 」"first"和"last"分別與量詞"every"和"no"對應起來，例如語句
便可以分析成
現在如果我們對上式進行「內部否定」，即否定第二論元，所得結果~{x: (in front of)(Loc(j), Loc(x))}代表那些排在John前面的個體組成的集合(這裡假設沒有人排在同一位置)。因此，根據(5)以及 "every"與"no"的「內部否定關係」，我們有以下推理實例：
接著讓我們把「對偶性推理」推廣至包含兩層算子的語句，先看一個「時間量化結構」的例子。語句
可被分析成以下「三分結構」：
由於"every"的「內部否定」與"some"的「外部否定」均為"no"，根據(5)，我們有以下 推理：
其次看一個「空間量化結構」的例子。根據筆者在《廣義量詞系列：空間量化結 構》中的分析，語句
可被分析成以下「三分結構」：
由於(16)基本上跟(15)具有相同的形式，我們有以下推理：
以上的「對偶性推理」都是筆者以往介紹過的「廣義量化結構」的「對偶性推理」。但由於「對偶性推理」其
實是「多重否定律」的運用，如果我們採取廣義的觀點，將能發現在很多語言結構中也存在這種推理。只要某
種語言結構可以定義不同層次上的「外部否定」和「內部否定」，我們便可對這種語言結構進行「對偶性推理」
。
Lobner在其論文Phase Quantification: A Uniform Treatment of Some Quantifiers from Different
Categories以及Quantifications as a Major Module of Natural Language Semantics中提出了
「階段量」(Phase Quantification)的概念，他把某些「體貌副詞」(Aspectual Adverb)
的語義解釋成某種量化現象，以下筆者介紹這些副詞的對偶性以及相關的推理。
Lobner研究的「體貌副詞」包括「仍然」("still")、「尚未」("not yet")、「已經」("already")和「不再」
("no longer"或"not anymore")。從直觀上說，容易看到這四個副詞之間存在某種否定關係，例如由於「仍然
不p」相當於「尚未p」，可見「仍然」與「尚未」具有「內部否定」關係。類似地，由於「尚未p」相當於「並
非已經p」，可見「已經」與「尚未」具有「外部否定」關係。由此亦可推斷，「仍然」與「已經」具有「對偶
」關係。我們可以把這四個副詞之間的關係總結成下表：
| 關係 | 體貌副詞 |
|---|---|
請注意在上述副詞中，互為「內部否定」的副詞不僅在「斷言」上不同，它們在「預設」上也有別。以「仍然
」和「尚未」為例，當我們說「仍然p」時，我們預設著從過去某一時間到當前時間p一直是真的；但當我們說
「尚未p」時，我們卻預設著從過去某一時間到當前時間~p一直是真的。由此可見，這裡所說的「內部否定」
(以及「對偶」)關係跟前文介紹的同一概念略有不同。
為了突出這四個副詞的量化特點，Lobner把這四個副詞表達為以下函項："still"、"(not
yet)"、"already"和"(no longer)"。這四個函項都有兩個論元p和t，分別代表命題和時間
，「already(p, t)」的意思就是命題p在時間t已經是真的，其餘類推。Lobner使用時間軸表達上述函
項的意義，例如「already(p, t)」便可以表達為下圖：
在上圖中，時間軸被分割為交替的p和~p區域(因為一個行為／事件可以發生不只一次，即在不同的時段中先後 為真)，每個區域都有一個「下確界」(Infimum)，代表該區域的起點。對於p (或~p)而言，我們可以有多個p (或~p)區域的「下確界」。但在給定時間t後，我們便可以在這眾多「下確界」中，確定唯一一個早於且最接近 t的「下確界」，稱為「最大較小下確界」(Greatest Smaller Infimum)，記作GSI(p, t) (或GSI(~p, t))。利 用上圖，我們便可以把"already"的真值條件表達為下式(Lobner原本使用謂詞邏輯的符號「∃」 ，為與筆者以往使用的表達法一致，這裡採用「三分結構」的形式)：
由此可見，"already"相當於一個「存在量詞」，其餘三個「體貌副詞」的真值條件如下：
請注意根據上述真值條件，我們可以把上述四個副詞分為兩組，其中"already"與"(not yet)"
屬同一組，它們的真值條件都包含GSI(~p, t)，而"still"與"(no longer)"則屬於另一組，它
們的真值條件都包含GSI(p, t)，這反映了這兩組副詞具有不同的預設。
根據表8，我們可以進行某些「對偶性推理」。設我們把含有「體貌副詞」的句子抽象為以下一般模式：
其中S、Q和V分別代表主語、「體貌副詞」和謂語動詞，那麼根據3.2小節介紹的原理，我們知道以下推理模式 是有效的：
現在我們不妨把「醒著／醒來」和「睡著／入睡」看作互為「外部否定」的動詞，那麼根據上述模式，我們有 以下推理實例：
Lobner還討論了四個「體貌動詞」(Aspectual Verb)：「繼續」("continue")、「不開始」("not begin")、「開始」("begin")和「停止」("stop")。從直觀上說，這四個動詞之間也存在各種否定關係，例如 由於「停止不V」相當於「開始V」，可見「開始」與「停止」之間存在「內部否定」的關係。現把這四個動詞 之間的關係總結成下表：
| 關係 | 體貌動詞 |
|---|---|
Lobner也嘗試把上述「體貌動詞」表達成量詞，不過他的表達方式其實隱含著多個預設，而且與前述有關「體
貌副詞」的表達方式有很多不一致之處，所以這裡不擬列出(註6)。
利用上表以及上面的(17)和(18)，我們可以得到某些涉及「體貌動詞」的「對偶性推理」，只需把(17)和(18)
中的Q重新理解為「體貌動詞」便行了。舉例說，我們可以把「發聲」與「沉默」看作互為「外部否定」的動詞
，那麼我們有以下推理實例：
除了「體貌副詞」和「體貌動詞」外，Lobner還討論了副詞"enough"、"too"以及一般「度量形容詞」的語義問 題，並嘗試把這些詞項也分析成「階段量」。不過，Lobner的分析是基於他所提出的一套抽象概念，難以轉化 為自然語言的推理實例，本文不擬介紹。
某些條件句也可進行「對偶性推理」，試看以下例句：
以下首先使用筆者在《廣義量詞系列：模態量化結構》中介紹的方法，把上 句分析成「三分結構」。我們首先把這句改寫為
上句是"If John is absent, it is not the case that if Bill sings then Mary will sing too."和"Only if John is absent, it is not the case that if Bill sings then Mary will sing too."的合取，而以上 兩句又可分別改寫為
綜合以上分析，我們可以把上述「多重條件句」分析成以下兩個「三分結構」的合取：
請注意我們無法把這兩個「三分結構」的合取表達為單一的「迭代三分結構」，因此似乎難以對(19)進行「對 偶性推理」。可是，如果我們不宥於嚴格的形式語義學分析，純粹根據(19)的表面形式把該句分析為以下結構 ：
在上式中，連詞"(except when ... otherwise)"和"if"被當作量詞處理，p、q和r分別代表命
題"John is absent"、"Bill sings"和"Mary sings"。請注意上式反映了(19)中三個命題的層次關係(即p處於
較高層次，q和r則處於較低層次)，因此不失為(19)的一種(非標準)表達式(註7)。
根據筆者在上述網頁的分析，
因此可以把"if and only if"視為"(except when ... otherwise)"的「內部否定」。此外，根 據筆者在《廣義量詞系列：古典推理模式》中提出的「充分條件對當方陣」 ，
綜合以上討論，我們可以作出以下推理：
| (except when ... otherwise)(p)(if(q)(r)) | ⇔ | (if and only if)(p)(~if(q)(r)) | ⇔ | (if and only if)(p)((probably … and)(q)(~r)) |
用自然語言表達就是(為更符合語感，以下例句用"but"代替"and")：
最後還要討論「原因句」與「讓步句」的關係。Konig在Concessive Relations as the Dual of Causal Relations一文中指出，某些「原因句」與「讓步句」之間似乎存在「對偶」關係，他所使用的例句如下：
根據Konig的分析，以上第一句中的否定是對整個「原因句」的否定，而第二句中的否定則只是對主要分句的否 定。換句話說，以上兩句可分別抽象為
由於Konig認為以上兩個句式表達相同的意思，所以"because"與"although"存在「對偶」關係
。Konig甚至認為由"if"引導的「條件句」與由"even if"引導的「讓步條件句」之間也存在類似的「對偶」關
係(儘管他沒有進一步闡釋這一點)。
Iten在Because and Although: a case of duality?一文中反對Konig的論點，她認為形如「
because(p)(q)」的「原因句」的真值條件應為三個命題的合取：
因此「原因句」的「外部否定」(即(21))應有以下四種可能：
| (1) p真 ∧ q假 (2) p假 ∧ q真 (3) p假 ∧ q假 (4) p真 ∧ q真 ∧ p不是q的原因 |
而「讓步句」(22)只相當於上列的第(1)種可能。換句話說，(22)只相當於在給定「原因句」「 because(p)(q)」中的從句p真的情況下對其主句q的否定，因此只能算作一種「局部否定」而非整個「 原因句」的否定。此外，Iten亦指出「讓步句」除了真值條件義外，還有某種語用意義。基於上述分析，我們 可以總結出，「原因句」與「讓步句」並不存在「對偶」關係。
註1：「外部否定」(以及下一小節將要介紹的「內部否定」)是Peters和Westerstahl在前述著作中採用的名稱 ，「前補」(以及下一小節將要介紹的「後補」)則是Keenan在前述文章中採用的名稱。以下筆者將主要採用 Peters和Westerstahl著作中的名稱。
