Eulerova konstanta gama

EULEROVA KONSTANTA GAMA

Eulerova konstanta gama je definována vzorcem:
gama=H.N-LN(N)
pro N jdoucímu k nekonečnu; H.N je tzv. N-té harmonické číslo:
H.N=1+(1/2)+(1/3)+...+(1/N)

ALGORITMUS

Použijeme vzorec

LN(N)+gamma+chyba=
X/FACT(1)-X**2/(2*FACT(2))+X**3/(3*FACT(3))...

kde FACT je funkce pro výpočet faktoriálu a, jak dokázal sám L. Euler,

chyba=O(EXP(-X)/X).

IMPLEMENTACE

Jednotka: program

Vazba: LN funkce

Výsledek: program zobrazí prvních 60 platných desítkových číslic konstanty gama

X = 130; W=500; P = 130
numeric digits P
N = X; F = 1; D = 1; S = X
do K = 2 to W
N = - N * X; F = F * K; D = F * K
S = S + N / D
end
say S - LN(X, P)

Výpočet trvá asi jednu minutu. Hodnotu konstanty gama stačí vypočítat jen jednou s dostatečnou přesností. Uložíme-li ji do souboru na disku, pak lze vytvořit funkci, která "vypočte" hodnotu konstanty gama s požadovanou přesností mnohem rychleji než výše uvedený program. Příkladem je následující funkce GAMMA_CONST, kterou lze "vypočítat" prvních P platných číslic konstanty gama, pro P=1,...,60.

GAMMA_CONST: return,
"0.5772156649015328606065120900" ||,
"824024310421593359399235988058"

SOUVISLOSTI

Eulerovo číslo e
Faktoriál
Přirozený logaritmus
Exponenciální funkce
Technika: Předem vypočtené konstanty

Literatura

Brent R. P. Ramanujan and Euler's Constant

Computer Sciences Laboratory, Australian National University, August 1993