Introduzione | Cap.1 | Cap.2 | Cap.3 | Cap.4 | Cap.5 | Appendice | Bibliografia
Gli algoritmi che tracciano curve di livello si differenziano innanzitutto per la distribuzione dei punti su cui essi operano. Alcuni algoritmi necessitano di punti distribuiti regolarmente nel piano (Farb, Gcontr) ad esempio ai nodi di una reticolazione del dominio, altri operano su punti distribuiti irregolarmente (Tricp), quindi su una triangolazione del dominio. Questa prima differenza condiziona fortemente la scelta di quale tipo di algoritmo utilizzare in pratica. Infatti, mentre quelli del primo tipo sono relativamente semplici da implementare e poco costosi dal punto di vista computazionale, per contro sono scarsamente utilizzati in pratica dal momento che, raramente, nel trattare problemi reali si puo' contare su dati distribuiti regolarmente; gli algoritmi del secondo tipo, sebbene piu' generali, adatti cioe' a trattare una piu' vasta gamma di problemi, hanno un costo computazionale piu' elevato dovuto al fatto che prima di determinare le curve di livello e' necessario costruire una triangolazione "efficiente" del dominio. Piu' avanti viene chiarito il concetto di triangolazione efficiente e viene descritto un algoritmo per ottenerla.
Per determinare la funzione interpolante sono possibili due tipi di approccio: determinare un' unica funzione globale che interpola tutti i punti dati; oppure un insieme di funzioni locali che approssimano il comportamento della superficie su ogni cella della triangolazione.
Le procedure che utilizzano un approccio del primo tipo sono spesso troppo complicate e difficili da gestire non appena il numero di punti da interpolare cresce. Inoltre, la superficie risultante spesso mostra un comportamento eccessivamente ondulatorio. Per queste ragioni nel presente studio verra' preso in considerazione soltanto il secondo tipo di approccio.Vediamo quali proposte sono state avanzate per calcolare queste funzioni locali.
Shepard ha suggerito un metodo che si basa sulla media pesata dei valori di z dati. La funzione di pesatura e' il quadrato del reciproco della distanza tra la proiezione di ciascun punto dato e quella del punto su cui deve essere compiuta l' interpolazione.
Questo metodo ha una proprieta' importante. Esso tiene conto del fatto che punti vicini al punto su cui calcolare l' interpolazione influenzano il valore interpolato in maggior misura rispetto ai punti piu' lontani. Comunque questo metodo ha un serio inconveniente. Esso non restituisce un piano se tutti i punti dati giacciono su un piano.
Altri autori hanno proposto di sostituire, per ogni triangolo della triangolazione, alla superficie, il piano passante per i tre vertici del triangolo. La superficie ottenuta pero' non e' smooth, sebbene continua.
I metodi riportati appartengono alla categoria dell' interpolazione lineare. Essi si utilizzano in genere nei casi in cui non e' richiesta una eccessiva precisione e accuratezza delle linee plottate oppure quando la reticolazione del domino e' sufficientemente densa da non giustificare l' uso di tecniche piu' complesse.
Nell' ambito dell' interpolazione non lineare la collezione di funzioni locali e' costituita da funzioni che soddisfano precise condizioni di raccordo con le funzioni definite sui triangoli confinanti. Vengono utilizzate come condizioni di raccordo i valori delle derivate parziali miste ( cioe' zx, zy, zxx ,zxy ,zyy ). Si impone quindi che due funzioni locali confinanti abbiano sul lato in comune gli stessi valori per le derivate. In questo modo la funzione determinata e' smooth cioe' continua insieme alle sue derivate parziali miste del primo ordine. Le funzioni utilizzate sono in genere polinomi di due variabili di 5° o 6° grado i cui coefficienti sono determinati in modo da soddisfare le condizioni di raccordo. Le derivate parziali vengono stimate dagli stessi algoritmi.
Costruita la funzione interpolante le linee di livello possono essere determinate seguendo le curve che partono da alcuni punti iniziali fino a quando esse non descrivono una linea chiusa o intersecano i confini, oppure esaminando a turno ogni cella della reticolazione e disegnando tutte le curve trovate all' interno della stessa.
Entrambi i metodi hanno vantaggi e svantaggi. I metodi che seguono
i contorni soffrono di una maggiore occupazione di memoria, dal
momento che la matrice dei dati deve essere presente interamente
in memoria. Per contro la loro implementazione e' relativamente
semplice. Per quanto riguarda i metodi "a cella" la
loro filosofia di base permette di processare completamente una
cella prima di passare alla successiva, quindi almeno in teoria
e' possibile implementare l' algoritmo in parallelo. Inoltre e'
richiesta una minore quantita' di memoria così che e' possibile
una generazione di contorni su una matrice piu' grande, dal momento
che essa non deve essere presente completamente in memoria. Vediamo
adesso come le idee riportate vengono implementate.
La procedura che si occupa della triangolazione del piano XY, determina l' insieme delle coppie di punti (i nodi della triangolazione) in modo che il segmento che unisce questi punti non interseca nessun altro segmento. Il metodo seguito e' quello di unire dapprima la coppia di punti piu' vicini. Quindi di aggiungere, un nodo alla volta, in ordine crescente della distanza dal punto medio del segmento che unisce la coppia di punti piu' vicini. Questo ordinamento nell' aggiungere i punti assicura che un nuovo punto giace sempre fuori del poligono costruito con i punti precedenti. Il nuovo punto giace fuori del cerchio con centro nel punto medio del segmento che unisce la coppia di punti piu' vicini e che passa per il punto aggiunto piu' di recente. Ogni volta che viene aggiunto un nodo vengono costruiti i triangoli collegando il nuovo punto con i precedenti visibili da esso.
Il criterio utilizzato per la costruzione di una triangolazione
efficiente e' quello proposto da Lawson (Fig.1.1). Questo criterio
stabilisce che, quando un insieme di quattro punti sono vertici
di un quadrilatero, con ciascun angolo interno minore di p
,conviene scegliere, dei due possibili modi di dividere
il quadrilatero in una coppia di triangoli, la partizione che
massimizza il piu' piccolo angolo interno dei due triangoli prodotti
(min{a1,...,a3,b1,...,b3}). Cio' limita
la comparsa di triangoli molto sottili che renderebbero la procedura
di interpolazione instabile.
FIG.1.1 - IL CRITERIO DI LAWSON PER LA COSTRUZIONE DI UNA TRIANGOLAZIONE
"EFFICIENTE" DEL DOMINIO
La triangolazione e' una procedura costosa in termini di tempo
di calcolo e memoria. Essa richiede un tempo di calcolo che e'
proporzionale al cubo del numero di punti dati e un area di memoria
pari al quadrato del numero di punti. Le parti particolarmente
costose sono la scelta di alcuni punti vicini ad uno specificato
e la determinazione del triangolo al quale appartiene un vertice
specificato.
La stima delle derivate parziali viene eseguita in due passi. In un primo passo vengono calcolate le derivate prime e quindi le derivate seconde. Per stimare le derivate prime sul punto Po si utilizzano alcuni punti aggiuntivi Pi (i =1,....,nc) scelti tra quelli le cui proiezioni sono piu' vicine alla proiezione di Po. Da questi nc punti se ne scelgono due Pi e Pj e si costruisce il prodotto vettoriale di PoPi e PoPj, cioe' il vettore che e' perpendicolare ad entrambi secondo la regola della mano destra e con modulo uguale all' area del parallelogramma formato da PoPi e PoPj.
Pi e Pj si scelgono in modo che la componente lungo l' asse z del prodotto vettoriale risulti sempre positiva. Si costruisce il prodotto vettoriale per tutte le possibili combinazioni di PoPi e PoPj ( i¹j ) e si calcola il vettore somma di tutti i prodotti così costruiti. Quindi assumiamo che le derivate parziali prime zx e zy su Po sono quelle del piano normale al vettore somma risultante. E' da notare che quando nc =2, i valori di zx e zy sono uguali alle derivate parziali del piano che passa per Po Pi e Pj.
Nel secondo passo si applica la procedura descritta ai valori di zx sui punti Pi (i=0,....,nc) e otteniamo le stime di zxx=(zx)x e zxy=(zx)y su Po. Ripetiamo con i valori di zy per ottenere zxy=(zx)y e zyy=(zy)y. Come stima per zxy si utilizza la media dei due zxy ottenuti.
Per quanto riguarda la scelta di nc osserviamo che essa non e' unica. Ovviamente, nc non puo' essere minore di due né maggiore del numero totale di punti dati. Sembra non ci sia una teoria che stabilisca un criterio generale per ottenere una scelta ottimale per nc. Quello che si puo' dire e' che, per punti distribuiti irregolarmente nel piano, i valori convenienti vanno da tre a cinque estremi inclusi. Quando le proiezioni del punto Po e di tutti gli nc punti stanno su una stessa retta la procedura descritta non puo' funzionare. Quando questo accade si rimpiazza ciascuno degli nc punti con un punto vicino a Po che non giace sulla stessa retta di Po e degli altri scelti.
Per studiare il caso di punti distribuiti ai nodi di una griglia rettangolare e' stato realizzato un programma che implementa l' algoritmo sopra esposto ( Deriv.bas Appendice al Cap.1 ).
La conclusione che si puo' trarre da un analisi dei dati forniti
dalle varie prove, e' che, per punti distribuiti regolarmente,
la scelta nc=4 rappresenta sempre il miglior compromesso tra precisione
e velocita' di calcolo. Le pagine che seguono riportano i risultati
ottenuti. La tavola 1 mostra la matrice utilizzata per le prove
insieme alla sua rappresentazione grafica. La tavola 2 la matrice
delle derivate esatte, mentre le pagine dalla 8 alla 14 riportano,
per valori crescenti di nc, l' output generato dal programma insieme
ad una stima dell' errore massimo e minimo compiuto ed il tempo1
impiegato per la costruzione delle matrici.
1I calcoli sono stati effettuati utilizzando
un PC MSDOS 386sx 33 Mhz 4 Mb Ram dotato di coprocessore matematico.
nc=2
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 0.00 -0.10 -0.10 -0.30 -0.48 -0.64 -0.78 -0.89 -0.96 -1.00 -0.99 -0.94 0.20 0.10 0.10 -0.10 -0.28 -0.45 -0.59 -0.69 -0.77 -0.80 -0.80 -0.76 0.40 0.30 0.30 0.10 -0.09 -0.26 -0.41 -0.53 -0.61 -0.67 -0.68 -0.65 0.60 0.50 0.50 0.29 0.09 -0.10 -0.27 -0.42 -0.54 -0.62 -0.68 -0.69 0.80 0.70 0.70 0.48 0.26 0.03 -0.18 -0.38 -0.56 -0.71 -0.82 -0.90 1.00 0.89 0.89 0.66 0.40 0.12 -0.16 -0.44 -0.69 -0.93 -1.12 -1.27 1.20 1.09 1.09 0.83 0.51 0.16 -0.22 -0.59 -0.95 -1.27 -1.53 -1.72 1.40 1.28 1.28 0.98 0.59 0.13 -0.36 -0.85 -1.31 -1.70 -2.00 -2.18 1.60 1.47 1.47 1.12 0.63 0.05 -0.57 -1.19 -1.74 -2.17 -2.44 -2.53 1.80 1.66 1.66 1.24 0.63 -0.10 -0.87 -1.60 -2.21 -2.61 -2.77 -2.67 2.00 1.85 1.85 1.34 0.59 -0.31 -1.23 -2.06 -2.66 -2.96 -2.91 -2.52 2.20 2.03 2.03 1.43 0.51 -0.58 -1.65 -2.53 -3.06 -3.15 -2.79 -2.05 2.40 2.21 2.21 1.49 0.38 -0.90 -2.10 -2.97 -3.34 -3.13 -2.40 -1.31 2.60 2.38 2.38 1.53 0.21 -1.28 -2.57 -3.36 -3.46 -2.86 -1.73 -0.36 2.80 2.56 2.56 1.55 -0.01 -1.69 -3.03 -3.65 -3.39 -2.35 -0.86 0.63 3.00 2.72 2.72 1.54 -0.27 -2.14 -3.45 -3.81 -3.11 -1.62 0.13 1.52 3.20 2.89 2.89 1.51 -0.57 -2.59 -3.82 -3.81 -2.61 -0.72 1.10 2.14 3.40 3.04 3.04 1.45 -0.91 -3.06 -4.11 -3.65 -1.92 0.26 1.93 2.34 3.60 3.20 3.20 1.37 -1.28 -3.51 -4.29 -3.30 -1.08 1.24 2.49 2.05 3.80 3.34 3.34 1.25 -1.68 -3.93 -4.35 -2.77 -0.12 2.10 2.66 1.25 4.00 3.49 3.49 1.12 -2.10 -4.31 -4.27 -2.09 0.86 2.74 2.40 0.03
Tempo impiegato per la costruzione della matrice: 0 ' 2 '' 81 Errore max: 1.450391 Errore min: 4.947484E-03 Norma matrice delle derivate: 22.2146 Norma della matrice delle derivate esatte: 21.80368
nc=3 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 0.00 -0.10 -0.10 -0.30 -0.48 -0.64 -0.78 -0.89 -0.96 -1.00 -0.99 -0.94 0.20 0.10 0.10 -0.10 -0.28 -0.46 -0.61 -0.73 -0.82 -0.88 -0.91 -0.91 0.40 0.30 0.30 0.10 -0.10 -0.28 -0.45 -0.59 -0.72 -0.82 -0.89 -0.94 0.60 0.50 0.50 0.29 0.08 -0.13 -0.32 -0.51 -0.68 -0.83 -0.96 -1.06 0.80 0.70 0.70 0.48 0.24 -0.00 -0.25 -0.50 -0.73 -0.95 -1.14 -1.30 1.00 0.89 0.89 0.65 0.38 0.07 -0.25 -0.57 -0.89 -1.18 -1.43 -1.63 1.20 1.09 1.09 0.82 0.49 0.10 -0.31 -0.73 -1.14 -1.51 -1.80 -1.99 1.40 1.28 1.28 0.97 0.56 0.08 -0.45 -0.99 -1.49 -1.90 -2.19 -2.31 1.60 1.47 1.47 1.11 0.60 -0.01 -0.67 -1.32 -1.89 -2.31 -2.53 -2.51 1.80 1.66 1.66 1.23 0.60 -0.16 -0.97 -1.72 -2.32 -2.68 -2.74 -2.49 2.00 1.85 1.85 1.33 0.56 -0.37 -1.32 -2.16 -2.73 -2.95 -2.77 -2.22 2.20 2.03 2.03 1.42 0.48 -0.64 -1.73 -2.60 -3.07 -3.06 -2.56 -1.68 2.40 2.21 2.21 1.48 0.35 -0.96 -2.17 -3.01 -3.30 -2.96 -2.10 -0.91 2.60 2.38 2.38 1.52 0.17 -1.33 -2.62 -3.36 -3.37 -2.65 -1.41 -0.02 2.80 2.56 2.55 1.54 -0.04 -1.74 -3.06 -3.62 -3.25 -2.10 -0.56 0.88 3.00 2.72 2.72 1.53 -0.30 -2.18 -3.47 -3.74 -2.94 -1.37 0.37 1.63 3.20 2.89 2.88 1.49 -0.60 -2.63 -3.81 -3.72 -2.42 -0.49 1.26 2.09 3.40 3.04 3.04 1.43 -0.94 -3.08 -4.08 -3.53 -1.73 0.45 1.98 2.14 3.60 3.20 3.19 1.35 -1.31 -3.52 -4.24 -3.16 -0.89 1.37 2.42 1.73 3.80 3.34 3.34 1.24 -1.71 -3.94 -4.29 -2.63 0.03 2.15 2.49 0.87 4.00 3.49 3.49 1.12 -2.10 -4.31 -4.27 -2.09 0.86 2.74 2.40 0.03
Tempo impiegato per la costruzione della matrice: 0 ' 5 '' 38 Errore max: 1.43442 Errore min: 7.713437E-04 Norma matrice delle derivate: 21.81877 Norma della matrice delle derivate esatte: 21.80368
nc=4 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 0.00 -0.10 -0.20 -0.39 -0.56 -0.71 -0.84 -0.93 -0.98 -0.99 -0.97 -0.94 0.20 0.10 0.00 -0.19 -0.36 -0.52 -0.65 -0.75 -0.81 -0.84 -0.84 -0.84 0.40 0.30 0.20 0.01 -0.18 -0.34 -0.49 -0.60 -0.69 -0.75 -0.77 -0.80 0.60 0.50 0.40 0.19 -0.01 -0.20 -0.37 -0.52 -0.65 -0.75 -0.83 -0.88 0.80 0.70 0.59 0.37 0.14 -0.09 -0.32 -0.53 -0.72 -0.89 -1.02 -1.10 1.00 0.89 0.78 0.52 0.25 -0.04 -0.34 -0.63 -0.91 -1.15 -1.35 -1.45 1.20 1.09 0.96 0.66 0.32 -0.06 -0.45 -0.84 -1.21 -1.52 -1.76 -1.86 1.40 1.28 1.13 0.78 0.35 -0.14 -0.65 -1.15 -1.59 -1.95 -2.18 -2.25 1.60 1.47 1.30 0.87 0.33 -0.29 -0.93 -1.53 -2.03 -2.38 -2.53 -2.52 1.80 1.66 1.45 0.93 0.25 -0.51 -1.28 -1.96 -2.47 -2.73 -2.70 -2.58 2.00 1.85 1.60 0.96 0.13 -0.80 -1.69 -2.41 -2.85 -2.93 -2.64 -2.37 2.20 2.03 1.73 0.96 -0.05 -1.14 -2.13 -2.83 -3.11 -2.93 -2.31 -1.86 2.40 2.21 1.85 0.93 -0.28 -1.53 -2.57 -3.17 -3.21 -2.68 -1.70 -1.11 2.60 2.38 1.96 0.86 -0.55 -1.95 -2.99 -3.41 -3.11 -2.19 -0.89 -0.19 2.80 2.56 2.05 0.76 -0.87 -2.39 -3.36 -3.50 -2.80 -1.48 0.04 0.76 3.00 2.72 2.13 0.63 -1.22 -2.82 -3.64 -3.43 -2.28 -0.62 0.95 1.58 3.20 2.89 2.20 0.46 -1.60 -3.23 -3.81 -3.17 -1.57 0.31 1.70 2.11 3.40 3.04 2.25 0.26 -2.00 -3.59 -3.86 -2.73 -0.73 1.19 2.16 2.24 3.60 3.20 2.28 0.04 -2.41 -3.91 -3.77 -2.12 0.17 1.93 2.23 1.89 3.80 3.34 2.30 -0.22 -2.82 -4.14 -3.53 -1.38 1.07 2.41 1.87 1.06 4.00 3.49 2.30 -0.49 -3.21 -4.29 -3.18 -0.61 1.80 2.57 1.21 0.03
Tempo impiegato per la costruzione della matrice: 0 ' 9 '' 6 Errore max: .3799217 Errore min: 3.462434E-04 Norma matrice delle derivate: 19.73249 Norma della matrice delle derivate esatte: 21.80368
nc=5 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 0.00 -0.05 -0.12 -0.31 -0.49 -0.65 -0.77 -0.87 -0.93 -0.95 -0.93 -0.90 0.20 0.05 -0.02 -0.21 -0.39 -0.55 -0.68 -0.77 -0.83 -0.85 -0.83 -0.81 0.40 0.25 0.18 -0.02 -0.20 -0.36 -0.50 -0.60 -0.67 -0.71 -0.70 -0.68 0.60 0.45 0.37 0.17 -0.02 -0.20 -0.36 -0.49 -0.59 -0.65 -0.68 -0.68 0.80 0.65 0.57 0.35 0.13 -0.08 -0.28 -0.46 -0.61 -0.73 -0.82 -0.85 1.00 0.84 0.76 0.52 0.26 -0.01 -0.27 -0.52 -0.75 -0.94 -1.10 -1.18 1.20 1.04 0.94 0.67 0.35 0.01 -0.34 -0.69 -1.01 -1.28 -1.50 -1.61 1.40 1.23 1.12 0.79 0.40 -0.04 -0.51 -0.96 -1.36 -1.70 -1.95 -2.07 1.60 1.43 1.29 0.90 0.40 -0.16 -0.75 -1.31 -1.79 -2.16 -2.37 -2.44 1.80 1.61 1.46 0.98 0.36 -0.35 -1.07 -1.73 -2.24 -2.56 -2.65 -2.63 2.00 1.80 1.61 1.04 0.27 -0.60 -1.45 -2.17 -2.66 -2.86 -2.73 -2.55 2.20 1.98 1.76 1.06 0.12 -0.91 -1.88 -2.61 -2.99 -2.97 -2.54 -2.17 2.40 2.16 1.90 1.06 -0.07 -1.27 -2.32 -3.00 -3.19 -2.86 -2.09 -1.49 2.60 2.34 2.02 1.03 -0.30 -1.67 -2.75 -3.30 -3.21 -2.50 -1.38 -0.60 2.80 2.51 2.14 0.96 -0.59 -2.09 -3.15 -3.48 -3.02 -1.92 -0.52 0.38 3.00 2.68 2.24 0.86 -0.90 -2.52 -3.48 -3.51 -2.62 -1.15 0.40 1.30 3.20 2.85 2.33 0.74 -1.25 -2.94 -3.73 -3.36 -2.03 -0.26 1.25 1.98 3.40 3.00 2.41 0.58 -1.63 -3.33 -3.86 -3.04 -1.28 0.64 1.88 2.29 3.60 3.16 2.47 0.39 -2.02 -3.69 -3.87 -2.55 -0.42 1.46 2.18 2.12 3.80 3.31 2.52 0.18 -2.42 -3.98 -3.74 -1.91 0.47 2.10 2.09 1.45 4.00 3.45 2.56 -0.06 -2.82 -4.20 -3.47 -1.15 1.32 2.45 1.58 0.34
Tempo impiegato per la costruzione della matrice: 0 ' 14 '' 5 Errore max: .7122618 Errore min: 1.787484E-03 Norma matrice delle derivate: 19.42004 Norma della matrice delle derivate esatte: 21.80368
nc=6 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 0.00 -0.03 -0.11 -0.30 -0.48 -0.63 -0.75 -0.84 -0.90 -0.91 -0.89 -0.88 0.20 0.10 0.02 -0.17 -0.35 -0.50 -0.63 -0.73 -0.79 -0.81 -0.80 -0.73 0.40 0.30 0.22 0.02 -0.17 -0.33 -0.48 -0.59 -0.68 -0.73 -0.76 -0.60 0.60 0.50 0.41 0.20 -0.00 -0.20 -0.38 -0.53 -0.66 -0.76 -0.83 -0.63 0.80 0.70 0.60 0.37 0.13 -0.11 -0.34 -0.56 -0.76 -0.92 -1.05 -0.82 1.00 0.89 0.78 0.52 0.23 -0.08 -0.39 -0.69 -0.97 -1.21 -1.40 -1.18 1.20 1.09 0.96 0.64 0.28 -0.12 -0.53 -0.92 -1.29 -1.59 -1.81 -1.65 1.40 1.28 1.12 0.75 0.29 -0.22 -0.75 -1.25 -1.68 -2.02 -2.22 -2.12 1.60 1.47 1.28 0.82 0.24 -0.40 -1.05 -1.64 -2.12 -2.42 -2.52 -2.49 1.80 1.66 1.43 0.86 0.15 -0.65 -1.42 -2.07 -2.53 -2.73 -2.64 -2.65 2.00 1.85 1.56 0.87 -0.01 -0.95 -1.83 -2.50 -2.87 -2.87 -2.51 -2.53 2.20 2.03 1.68 0.85 -0.21 -1.31 -2.27 -2.89 -3.08 -2.80 -2.11 -2.10 2.40 2.21 1.79 0.79 -0.46 -1.71 -2.69 -3.19 -3.11 -2.48 -1.46 -1.38 2.60 2.38 1.88 0.70 -0.76 -2.13 -3.08 -3.37 -2.94 -1.93 -0.63 -0.45 2.80 2.56 1.95 0.57 -1.10 -2.56 -3.40 -3.39 -2.56 -1.19 0.26 0.54 3.00 2.72 2.01 0.41 -1.46 -2.97 -3.63 -3.24 -1.98 -0.33 1.09 1.43 3.20 2.89 2.05 0.21 -1.85 -3.35 -3.74 -2.91 -1.24 0.55 1.73 2.06 3.40 3.04 2.08 -0.02 -2.26 -3.68 -3.72 -2.40 -0.40 1.36 2.04 2.29 3.60 3.20 2.09 -0.28 -2.66 -3.95 -3.55 -1.75 0.48 1.97 1.96 2.03 3.80 3.34 2.08 -0.56 -3.06 -4.12 -3.23 -0.98 1.31 2.31 1.46 1.27 4.00 3.44 2.30 -0.37 -3.03 -4.23 -3.34 -0.97 1.45 2.49 1.53 0.44 Tempo impiegato per la costruzione della matrice: 0 ' 20 '' 9 Errore max: .7883998 Errore min: 2.190471E-04 Norma matrice delle derivate: 19.10896 Norma della matrice delle derivate esatte: 21.80368
nc=7 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 0.00 -0.02 -0.09 -0.28 -0.45 -0.61 -0.73 -0.83 -0.88 -0.90 -0.88 -0.88 0.20 0.12 0.07 -0.12 -0.30 -0.46 -0.59 -0.68 -0.75 -0.77 -0.76 -0.70 0.40 0.32 0.27 0.07 -0.11 -0.28 -0.43 -0.55 -0.63 -0.68 -0.69 -0.57 0.60 0.52 0.46 0.26 0.05 -0.15 -0.32 -0.48 -0.60 -0.70 -0.76 -0.60 0.80 0.72 0.65 0.43 0.19 -0.05 -0.29 -0.50 -0.69 -0.85 -0.98 -0.81 1.00 0.91 0.84 0.58 0.29 -0.02 -0.33 -0.63 -0.90 -1.14 -1.33 -1.19 1.20 1.11 1.02 0.71 0.35 -0.05 -0.46 -0.86 -1.22 -1.53 -1.76 -1.66 1.40 1.30 1.19 0.82 0.37 -0.14 -0.68 -1.18 -1.63 -1.97 -2.19 -2.14 1.60 1.49 1.36 0.91 0.34 -0.31 -0.97 -1.58 -2.07 -2.40 -2.53 -2.51 1.80 1.68 1.51 0.97 0.26 -0.54 -1.33 -2.02 -2.50 -2.74 -2.69 -2.66 2.00 1.87 1.66 1.00 0.12 -0.84 -1.75 -2.46 -2.87 -2.92 -2.60 -2.53 2.20 2.05 1.79 0.99 -0.06 -1.19 -2.18 -2.86 -3.11 -2.89 -2.24 -2.07 2.40 2.23 1.91 0.96 -0.29 -1.58 -2.62 -3.19 -3.19 -2.61 -1.62 -1.33 2.60 2.40 2.02 0.89 -0.57 -2.00 -3.03 -3.41 -3.06 -2.10 -0.81 -0.39 2.80 2.57 2.12 0.79 -0.89 -2.43 -3.38 -3.48 -2.73 -1.39 0.10 0.60 3.00 2.74 2.20 0.66 -1.24 -2.85 -3.64 -3.38 -2.19 -0.53 0.97 1.48 3.20 2.90 2.27 0.50 -1.61 -3.25 -3.80 -3.10 -1.48 0.37 1.68 2.09 3.40 3.06 2.32 0.30 -2.01 -3.61 -3.84 -2.65 -0.64 1.22 2.08 2.29 3.60 3.21 2.36 0.08 -2.41 -3.91 -3.73 -2.04 0.24 1.91 2.11 1.99 3.80 3.36 2.39 -0.17 -2.81 -4.14 -3.48 -1.30 1.11 2.34 1.71 1.20 4.00 3.43 2.41 -0.21 -2.89 -4.20 -3.45 -1.16 1.28 2.45 1.66 0.49 Tempo impiegato per la costruzione della matrice: 0 ' 27 '' 40 Errore max: .5392264 Errore min: 5.910397E-04 Norma matrice delle derivate: 19.44858 Norma della matrice delle derivate esatte: 21.80368
nc=8 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 0.00 -0.02 -0.08 -0.27 -0.45 -0.60 -0.72 -0.81 -0.87 -0.88 -0.86 -0.87 0.20 0.10 0.03 -0.16 -0.34 -0.49 -0.62 -0.72 -0.78 -0.80 -0.79 -0.71 0.40 0.30 0.23 0.03 -0.15 -0.32 -0.46 -0.58 -0.66 -0.70 -0.71 -0.55 0.60 0.50 0.42 0.22 0.01 -0.18 -0.35 -0.50 -0.62 -0.71 -0.77 -0.56 0.80 0.70 0.61 0.39 0.15 -0.08 -0.31 -0.51 -0.70 -0.85 -0.97 -0.75 1.00 0.89 0.80 0.54 0.26 -0.04 -0.34 -0.63 -0.89 -1.12 -1.30 -1.11 1.20 1.09 0.98 0.68 0.33 -0.06 -0.46 -0.85 -1.20 -1.50 -1.72 -1.59 1.40 1.28 1.15 0.79 0.35 -0.15 -0.67 -1.16 -1.59 -1.93 -2.15 -2.08 1.60 1.47 1.32 0.88 0.32 -0.31 -0.96 -1.55 -2.03 -2.36 -2.49 -2.48 1.80 1.66 1.47 0.93 0.24 -0.54 -1.31 -1.98 -2.46 -2.70 -2.67 -2.67 2.00 1.85 1.61 0.96 0.11 -0.84 -1.72 -2.42 -2.84 -2.90 -2.60 -2.58 2.20 2.03 1.74 0.96 -0.08 -1.18 -2.16 -2.84 -3.09 -2.88 -2.26 -2.16 2.40 2.21 1.86 0.92 -0.31 -1.57 -2.60 -3.17 -3.18 -2.63 -1.67 -1.45 2.60 2.38 1.97 0.85 -0.59 -1.99 -3.01 -3.39 -3.07 -2.13 -0.86 -0.52 2.80 2.56 2.06 0.74 -0.91 -2.43 -3.37 -3.47 -2.74 -1.43 0.04 0.48 3.00 2.72 2.14 0.60 -1.27 -2.85 -3.64 -3.38 -2.21 -0.58 0.93 1.39 3.20 2.88 2.20 0.43 -1.65 -3.26 -3.80 -3.11 -1.50 0.33 1.64 2.04 3.40 3.04 2.25 0.23 -2.05 -3.62 -3.83 -2.65 -0.67 1.19 2.07 2.29 3.60 3.20 2.28 -0.00 -2.45 -3.92 -3.72 -2.04 0.22 1.89 2.12 2.06 3.80 3.34 2.30 -0.26 -2.86 -4.14 -3.47 -1.30 1.10 2.34 1.75 1.32 4.00 3.43 2.30 -0.33 -2.98 -4.21 -3.40 -1.09 1.34 2.46 1.64 0.52 Tempo impiegato per la costruzione della matrice: 0 ' 35 '' 75 Errore max: .5062032 Errore min: 9.0307E-04 Norma matrice delle derivate: 19.50965 Norma della matrice delle derivate esatte: 21.80368
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