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A medida que um tanque vai recebendo água, o nível de água sobe. Para descrever a velocidade com que o nível da água sobe, usamos a taxa de variação da profundidade. Denotando-se a profundidade por h e sendo o tempo t medido a partir de um momento conveniente, a derivada fornece a taxa de variação da profundidade. Além disso, o volume V de água no tanque também está mudando e é sua taxa de variação.

Analogamente, toda quantidade física ou geométrica que varia com o tempo é função do tempo, digamos que Q = Q( t ) e sua derivada é a taxa de variação da quantidade. Os problemas que vamos considerar agora são baseados em que, se duas quantidades variáveis estiverem relacionadas entre si, então suas taxas de variação também o estarão.

Exemplo - uma escada de 13 m esta apoiada em uma parede. A base da escada esta sendo empurrada no sentido contrário ao da parede, a uma taxa constante de 6 . Qual a velocidade com a qual o topo da escada se mova para baixo, encostado à parede, quando a base da escada está a 5 m da parede?

Usando a figura podemos clarear as idéias pois,

, Quanto valerá quando x = 5 ?

( O uso do sinal negativo aqui pode ser melhor entendido pensando em como a taxa com que y está crescendo, e como a taxa com que y esta decrescendo. O problema pede o segundo caso.) A grosso modo, conhecemos uma derivada em relação ao tempo e queremos achar a outra. Logo, procuramos uma equação ligando x e y da qual possamos obter uma segunda equação relacionando suas taxas de variação. É claro pela figura que nosso ponto de partida deve ser o fato de que

derivando em relação a t , obtemos

	ou			ou
		;

e portanto

,

visto que . Finalmente, a equação revela que y = 12 quando x = 5, logo nos leva a concluir que

= 2

quando x = 5.

Exemplo - Um jovem com 1,60 m de altura esta correndo à velocidade de 3,6 e passa embaixo de uma lâmpada num poste a 6 m acima do solo. Encontre a velocidade com que o topo de sua sombra se move quando ela esta

a ) a 6 m depois da lâmpada e

b ) a 15 m depois da lâmpada

a ) , Quanto valerá quando x = 6 ?

derivando em relação a t , obtemos

ou

e portanto

,

visto que . Finalmente, a equação revela que quando x = 6, logo nos leva a concluir que

b ) , Quanto valerá quando ?

,

visto que . Finalmente, a equação revela que quando x = 15, logo nos leva a concluir que

=

quando x = 15

Pagina feita e mantida por Jayme Alves de Oliveira Neto
A última atualização dessa pagina foi feita em 16 março, 2008.