diseños factoriales incompletos
Definición: Cuando crece m , el número de factores, aparecen tantas combinaciones en los ensayos factoriales (y más aún en los rotables), que es prudente reducir la labor experimental. En lugar de ejecutar el ensayo completo con un número muy alto de tentativas, se recurre a los diseños factoriales fraccionales o incompletos, donde, en lugar de analizar la totalidad de las posibilidades, se considera una fracción bien elegida. Con cinco factores a tres niveles se llegan a 243 combinaciones posibles y si la tarea se redujese a una fracción de un tercio, bastarían 81 ensayos. Si fuese 1/9, tendríamos 27. La ventaja de este enfoque es que reduciendo mucho el esfuerzo, no se pierde un panorama muy amplio y ambicioso de las relaciones entre causas y efectos en sistemas multivariables. El estudio de una fracción no le quita validez al análisis final.
El tópico principal es el de saber elegir bien a la fracción de ensayo con la cual queremos experimentar. La base teórica se apoya en la aritmética modular (ya considerado en el estudio de diseños compuestos de caras centradas) y en la teoría de los alias.
La secuencia 7,14,21,28,... pertenece a un conjunto denominado 0(mod 7) que se lee cero módulo siete. Obsérvese que cualquiera de sus elementos, al ser dividido por 7, deja 0 como resto. La secuencia 1,8,15,22,29,... pertenece al conjunto de soluciones de 1 (mod 7), ya que al ser divididos por siete, queda 1 en el resto. El énfasis de la aritmética modular está en el resto.La secuencia 0+0+0, 1+1+0, 0+2+0, 4+1+5, pertenece al conjunto 0 (mod 2), ya que todas las sumas resultan pares. Llamemos en forma abstracta a los tres dígitos x1,x2 y x3. Se nos pregunta cuáles son las combinaciones de la tabla izquierda que aparece al estudiar los ensayos factoriales que pertenecen al conjunto de x1 + x2 + x3 = 1(mod 3)
Respondemos que cumplen con esa restricción las siguientes nueve combinaciones: 001,010,022,100,112,121,202,211,220.
Observamos que ese conjunto ha quedado notablemente balanceado: hay tres casos con x1 valiendo cero, tres con x1 valiendo 1 y tres con x1 valiendo 2. Esto se repite para x2 y para x3. Aún más, el subconjunto de dos dígitos x1x2 está completo: 00.,01.,02.,10.,11.,12.,20.,21.,22.
- en diseño de experimentos el punto reemplaza a lo que no tiene importancia en un dado análisis. Así x3 no tiene por qué aparecer aquí. Pero lo mismo pasa con x1x3 y con x2x3. Al conjunto de nueve tentativas estudiado lo podemos llamar validamente factorial incompleto balanceado. El factorial completo tiene 27, tres veces más. Su única ventaja es que tiene todas las 27 combinaciones de x1x2x3.
TEORIA DE LOS ALIAS
Este asombroso diseño oculta una trampa. Hay que pagar un precio por reducir un ensayo de 27 combinaciones a 9. Es el siguiente:
Si queremos estudiar el efecto de x1 sobre la respuesta, lo mejor que podemos hacer es acumular toda la información referente a x1 = 0 (mod 3) y contrastarla con la acumulación de toda la información referente a x1 = 2 (mod 3)
Respondemos que cumplen con esa restricción las siguientes nueve combinaciones: 001,010,022,100,112,121,202,211,220.
Observamos que ese conjunto ha quedado notablemente balanceado: hay tres casos con x1 valiendo cero, tres con x1 valiendo 1 y tres con x1 valiendo 2. Esto se repite para x2 y para x3. Aún más, el subconjunto de dos dígitos x1x2 está completo: 00.,01.,02.,10.,11.,12.,20.,21.,22.
- en diseño de experimentos el punto reemplaza a lo que no tiene importancia en un dado análisis. Así x3 no tiene por qué aparecer aquí. Pero lo mismo pasa con x1x3 y con x2x3. Al conjunto de nueve tentativas estudiado lo podemos llamar validamente factorial incompleto balanceado. El factorial completo tiene 27, tres veces más. Su única ventaja es que tiene todas las 27 combinaciones de x1x2x3.
TEORIA DE LOS ALIAS
Este asombroso diseño oculta una trampa. Hay que pagar un precio por reducir un ensayo de 27 combinaciones a 9. Es el siguiente:
Si queremos estudiar el efecto de x1 sobre la respuesta, lo mejor que podemos hacer es acumular toda la información referente a x1 = 0 (mod 3) y contrastarla con la acumulación de toda la información referente a x1 = 2 (mod 3)
TEORIA DE LOS ALIAS
Este asombroso diseño oculta una trampa. Hay que pagar un precio por reducir un ensayo de 27 combinaciones a 9. Es el siguiente:
Si queremos estudiar el efecto de x1 sobre la respuesta, lo mejor que podemos hacer es acumular toda la información referente a x1 = 0 (mod 3) y contrastarla con la acumulación de toda la información referente a x1 = 2 (mod 3)
Si queremos estudiar el efecto de x1 sobre la respuesta, lo mejor que podemos hacer es acumular toda la información referente a x1 = 0 (mod 3) y contrastarla con la acumulación de toda la información referente a x1 = 2 (mod 3)
La diferencia entre ambas informaciones nos dirá si x1 es importante.
Otra manera más larga de hacer la misma tarea es la de acumular asimismo, toda la información relacionada con x1 = 1 (mod 3) pero el análisis quedará dominado por la diferencia antes mencionada, que, en el caso de aparecer, siempre será más significativa.[Si en vez de tres, los niveles fuesen dos, bastaría reducir el análisis del efecto principal x1 al contraste entre los dos subconjuntos
x1 = 0 (mod 2) y x1=1(mod 2)]
Si queremos estudiar el efecto principal de x2 sobre la respuesta, podemos acumular estas tres informaciones:x2 = 0 (mod 3) x2 = 1 (mod 3) x2 = 2 (mod 3) x2 = 0 (mod 3) x2 = 1 (mod 3) x2 = 2 (mod 3)
y contrastarlos de a pares. Ha de dominar el contraste entre el primer subconjunto y el último.
Si queremos estudiar el efecto de la interacción x1x2 sobre la respuesta, podemos estudiar estas tres informaciones:x1+x2 = 0 (mod 3) x1+x2 = 1 (mod 3) x1+x2 = 2 (mod 3)
En el caso particular al cual nos estamos refiriendo de los nueve ensayos factoriales fraccionales, quedan, respectivamente, estos tres subconjuntos:- primer subconjunto... 010,100,220
- segundo subconjunto ...001,121,211
- tercer subconjunto...022,112,202
Pero ellos resultan ser exactamente los mismos subconjuntos que si estudiasemos el efecto principal x3, ya que - el primer subconjunto coincide con x3 = 0 (mod 3)
- el segundo coincide con x3 = 1 (mod 3) y
- el tercero con x3 = 2 (mod 3).
Entonces se justifican los alias (los "otros nombres" o seudónimos) en los diseños factoriales incompletos balanceados. Llamamos alias a los dos nombres que tienen esos tres subconjuntos. P.ej., el subconjunto se llama por un lado x1+x2 = 1 (mod 3) y por otro x3 = 0 (mod 3). Si lo llamamos de la primera manera, su alias es la segunda manera de nombrarlo - y viceversa.
Interesa descubrir alguna manera de saber de antemano cuáles serán los alias en un diseño factorial fraccional. Para ello, multiplicar la relación con la cual se generó el ensayo fraccional (que denominamos de ahora en adelante relación definitoria) - omitiendo los signos más - por el primer nombre del cual se busca el alias. Descartar los términos cuadráticos. Lo que queda (devolviendo el signo más) es el alias.
Por ejemplo, reconocemos que en el ejemplo que venimos usando la relación definitoria es x1+x2+x3. Aplicando la receta queda x1.x2.x3. Sea el primer nombre x3. Aplicando la receta, queda x1.x2.x3.x3. El término cuadrático es (x3)2 y se lo descarta. Queda x1.x2 O sea el alias buscado es x1+x2 (la interacción x1.x2). Dicha interacción tiene asimismo un alias, que es el efecto principal x3.
En resumen, el precio que hay que pagar por no tener el ensayo completo es la confusión (en inglés "confounding" que emerge entre dos contribuciones que tendrían que medirse de una forma diferente, resultando que ya no es así. Si el primer subconjunto debiera dar un resultado de alta eficiencia y el efecto principal debiera dar un resultado de baja eficiencia y por efectos compensatorios nada de eso queda aparente durante el análisis, nos equivocamos e ignoramos la verdad.
Pero debe señalarse que aplicando la teoría de los alias a diseños con muchas más que las tres variables del ejemplo simple elegido, los alias pueden pasar a ser muy aceptables si se los elige adecuadamente. La habilidad del diseñador es la de aprovechar esa ventaja.P.ej., en general es aceptable un alias que resulta ser interacción de 3 o más factores. Esto se relaciona con este hecho experimental: es muy improbable, a priori,
que existan en la realidad nteracciones de orden superior. En general estudiamos sobre todo los efectos principales y las interacciones simples, o - en último caso - de un pool de varias interacciones simples.Inferencias que se pueden hacer con ensayos factoriales incompletos
A partir de un ensayo incompleto podemos llegar a conocer - los efectos principales que tengan alias de muy poca importancia, o
alias carezcan de importancia.
Reglas de prioridad para la importancia de los alias.
*Un alias que involucra un efecto principal xj es muy importante,
*uno que involucra una interacción xixj se considera menos grave,
*uno que involucra interacciones de orden superior xixjxk, se considera de escasa importancia práctica.
Analizado un ensayo, el resultado suele sugerir como etapa siguiente completar algunas o todas las combinaciones faltantes.
19.may.2000
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Glosario de Diseño de Experimentos - Carlos von der Becke.
y contrastarlos de a pares. Ha de dominar el contraste entre el primer subconjunto y el último.
Si queremos estudiar el efecto de la interacción x1x2 sobre la respuesta, podemos estudiar estas tres informaciones:x1+x2 = 0 (mod 3) x1+x2 = 1 (mod 3) x1+x2 = 2 (mod 3)
En el caso particular al cual nos estamos refiriendo de los nueve ensayos factoriales fraccionales, quedan, respectivamente, estos tres subconjuntos:- primer subconjunto... 010,100,220
- segundo subconjunto ...001,121,211
- tercer subconjunto...022,112,202
Pero ellos resultan ser exactamente los mismos subconjuntos que si estudiasemos el efecto principal x3, ya que - el primer subconjunto coincide con x3 = 0 (mod 3)
- el segundo coincide con x3 = 1 (mod 3) y
- el tercero con x3 = 2 (mod 3).
Entonces se justifican los alias (los "otros nombres" o seudónimos) en los diseños factoriales incompletos balanceados. Llamamos alias a los dos nombres que tienen esos tres subconjuntos. P.ej., el subconjunto se llama por un lado x1+x2 = 1 (mod 3) y por otro x3 = 0 (mod 3). Si lo llamamos de la primera manera, su alias es la segunda manera de nombrarlo - y viceversa.
Interesa descubrir alguna manera de saber de antemano cuáles serán los alias en un diseño factorial fraccional. Para ello, multiplicar la relación con la cual se generó el ensayo fraccional (que denominamos de ahora en adelante relación definitoria) - omitiendo los signos más - por el primer nombre del cual se busca el alias. Descartar los términos cuadráticos. Lo que queda (devolviendo el signo más) es el alias.
Por ejemplo, reconocemos que en el ejemplo que venimos usando la relación definitoria es x1+x2+x3. Aplicando la receta queda x1.x2.x3. Sea el primer nombre x3. Aplicando la receta, queda x1.x2.x3.x3. El término cuadrático es (x3)2 y se lo descarta. Queda x1.x2 O sea el alias buscado es x1+x2 (la interacción x1.x2). Dicha interacción tiene asimismo un alias, que es el efecto principal x3.
En resumen, el precio que hay que pagar por no tener el ensayo completo es la confusión (en inglés "confounding" que emerge entre dos contribuciones que tendrían que medirse de una forma diferente, resultando que ya no es así. Si el primer subconjunto debiera dar un resultado de alta eficiencia y el efecto principal debiera dar un resultado de baja eficiencia y por efectos compensatorios nada de eso queda aparente durante el análisis, nos equivocamos e ignoramos la verdad.
Pero debe señalarse que aplicando la teoría de los alias a diseños con muchas más que las tres variables del ejemplo simple elegido, los alias pueden pasar a ser muy aceptables si se los elige adecuadamente. La habilidad del diseñador es la de aprovechar esa ventaja.P.ej., en general es aceptable un alias que resulta ser interacción de 3 o más factores. Esto se relaciona con este hecho experimental: es muy improbable, a priori,
que existan en la realidad nteracciones de orden superior. En general estudiamos sobre todo los efectos principales y las interacciones simples, o - en último caso - de un pool de varias interacciones simples.Inferencias que se pueden hacer con ensayos factoriales incompletos
A partir de un ensayo incompleto podemos llegar a conocer - los efectos principales que tengan alias de muy poca importancia, o
alias carezcan de importancia.
Reglas de prioridad para la importancia de los alias.
*Un alias que involucra un efecto principal xj es muy importante,
*uno que involucra una interacción xixj se considera menos grave,
*uno que involucra interacciones de orden superior xixjxk, se considera de escasa importancia práctica.
Analizado un ensayo, el resultado suele sugerir como etapa siguiente completar algunas o todas las combinaciones faltantes.
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En el caso particular al cual nos estamos refiriendo de los nueve ensayos factoriales fraccionales, quedan, respectivamente, estos tres subconjuntos:- primer subconjunto... 010,100,220
- segundo subconjunto ...001,121,211
- tercer subconjunto...022,112,202
Pero ellos resultan ser exactamente los mismos subconjuntos que si estudiasemos el efecto principal x3, ya que - el primer subconjunto coincide con x3 = 0 (mod 3)
- el segundo coincide con x3 = 1 (mod 3) y
- el tercero con x3 = 2 (mod 3).
Entonces se justifican los alias (los "otros nombres" o seudónimos) en los diseños factoriales incompletos balanceados. Llamamos alias a los dos nombres que tienen esos tres subconjuntos. P.ej., el subconjunto se llama por un lado x1+x2 = 1 (mod 3) y por otro x3 = 0 (mod 3). Si lo llamamos de la primera manera, su alias es la segunda manera de nombrarlo - y viceversa.
Interesa descubrir alguna manera de saber de antemano cuáles serán los alias en un diseño factorial fraccional. Para ello, multiplicar la relación con la cual se generó el ensayo fraccional (que denominamos de ahora en adelante relación definitoria) - omitiendo los signos más - por el primer nombre del cual se busca el alias. Descartar los términos cuadráticos. Lo que queda (devolviendo el signo más) es el alias.
Por ejemplo, reconocemos que en el ejemplo que venimos usando la relación definitoria es x1+x2+x3. Aplicando la receta queda x1.x2.x3. Sea el primer nombre x3. Aplicando la receta, queda x1.x2.x3.x3. El término cuadrático es (x3)2 y se lo descarta. Queda x1.x2 O sea el alias buscado es x1+x2 (la interacción x1.x2). Dicha interacción tiene asimismo un alias, que es el efecto principal x3.
En resumen, el precio que hay que pagar por no tener el ensayo completo es la confusión (en inglés "confounding" que emerge entre dos contribuciones que tendrían que medirse de una forma diferente, resultando que ya no es así. Si el primer subconjunto debiera dar un resultado de alta eficiencia y el efecto principal debiera dar un resultado de baja eficiencia y por efectos compensatorios nada de eso queda aparente durante el análisis, nos equivocamos e ignoramos la verdad.
Pero debe señalarse que aplicando la teoría de los alias a diseños con muchas más que las tres variables del ejemplo simple elegido, los alias pueden pasar a ser muy aceptables si se los elige adecuadamente. La habilidad del diseñador es la de aprovechar esa ventaja.P.ej., en general es aceptable un alias que resulta ser interacción de 3 o más factores. Esto se relaciona con este hecho experimental: es muy improbable, a priori,
que existan en la realidad nteracciones de orden superior. En general estudiamos sobre todo los efectos principales y las interacciones simples, o - en último caso - de un pool de varias interacciones simples.Inferencias que se pueden hacer con ensayos factoriales incompletos
A partir de un ensayo incompleto podemos llegar a conocer - los efectos principales que tengan alias de muy poca importancia, o
alias carezcan de importancia.
Reglas de prioridad para la importancia de los alias.
*Un alias que involucra un efecto principal xj es muy importante,
*uno que involucra una interacción xixj se considera menos grave,
*uno que involucra interacciones de orden superior xixjxk, se considera de escasa importancia práctica.
Analizado un ensayo, el resultado suele sugerir como etapa siguiente completar algunas o todas las combinaciones faltantes.
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- el primer subconjunto coincide con x3 = 0 (mod 3)
- el segundo coincide con x3 = 1 (mod 3) y
- el tercero con x3 = 2 (mod 3).
Entonces se justifican los alias (los "otros nombres" o seudónimos) en los diseños factoriales incompletos balanceados. Llamamos alias a los dos nombres que tienen esos tres subconjuntos. P.ej., el subconjunto se llama por un lado x1+x2 = 1 (mod 3) y por otro x3 = 0 (mod 3). Si lo llamamos de la primera manera, su alias es la segunda manera de nombrarlo - y viceversa.
Interesa descubrir alguna manera de saber de antemano cuáles serán los alias en un diseño factorial fraccional. Para ello, multiplicar la relación con la cual se generó el ensayo fraccional (que denominamos de ahora en adelante relación definitoria) - omitiendo los signos más - por el primer nombre del cual se busca el alias. Descartar los términos cuadráticos. Lo que queda (devolviendo el signo más) es el alias.
Por ejemplo, reconocemos que en el ejemplo que venimos usando la relación definitoria es x1+x2+x3. Aplicando la receta queda x1.x2.x3. Sea el primer nombre x3. Aplicando la receta, queda x1.x2.x3.x3. El término cuadrático es (x3)2 y se lo descarta. Queda x1.x2 O sea el alias buscado es x1+x2 (la interacción x1.x2). Dicha interacción tiene asimismo un alias, que es el efecto principal x3.
En resumen, el precio que hay que pagar por no tener el ensayo completo es la confusión (en inglés "confounding" que emerge entre dos contribuciones que tendrían que medirse de una forma diferente, resultando que ya no es así. Si el primer subconjunto debiera dar un resultado de alta eficiencia y el efecto principal debiera dar un resultado de baja eficiencia y por efectos compensatorios nada de eso queda aparente durante el análisis, nos equivocamos e ignoramos la verdad.
Pero debe señalarse que aplicando la teoría de los alias a diseños con muchas más que las tres variables del ejemplo simple elegido, los alias pueden pasar a ser muy aceptables si se los elige adecuadamente. La habilidad del diseñador es la de aprovechar esa ventaja.
P.ej., en general es aceptable un alias que resulta ser interacción de 3 o más factores. Esto se relaciona con este hecho experimental: es muy improbable, a priori, que existan en la realidad nteracciones de orden superior. En general estudiamos sobre todo los efectos principales y las interacciones simples, o - en último caso - de un pool de varias interacciones simples.
Inferencias que se pueden hacer con ensayos factoriales incompletos A partir de un ensayo incompleto podemos llegar a conocer
- los efectos principales que tengan alias de muy poca importancia, o
alias carezcan de importancia.
*uno que involucra una interacción xixj se considera menos grave,
*uno que involucra interacciones de orden superior xixjxk, se considera de escasa importancia práctica.Analizado un ensayo, el resultado suele sugerir como etapa siguiente completar algunas o todas las combinaciones faltantes.
19.may.2000
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Glosario de Diseño de Experimentos - Carlos von der Becke.
- los efectos principales que tengan alias de muy poca importancia, o