廣義量詞系列：三段論推理的革新

1. 引言

筆者在《廣義量詞系列：古典推理模式》中介紹了「三段論推理」。可以 說，「三段論推理」在古典形式邏輯中佔有核心地位。在中古時期，「三段論推理」甚至幾乎成為「邏輯學」 的同義詞。可是，隨著現代數理邏輯的興起，「三段論推理」在邏輯學中的地位已大不如前。儘管在今天有關 「三段論推理」的知識仍會在形式邏輯的課程或教科書中被傳授，但它在今天只是作為一種「古典」知識被保 存著，而不再成為數學或科學推理的指導原則。

不過，近年來「三段論推理」又重新引起某些學者的研究興趣，並且獲得新的發展。Peterson在 Intermediate Quantifiers – Logic, linguistics, and Aristotelian semantics一書中便以大量篇幅 討論把傳統的「三段論推理」推廣至「中間量詞」的問題，並提出一些新的推理格式和推理規則。模糊數學的 創立人Zadeh在A Computational Approach to Fuzzy Quantifiers in Natural Languages一文中則用 模糊數學的方法把「三段論推理」推廣至「模糊量詞」。受上述學者思想的啟發，筆者認為我們還可以把「三 段論推理」推廣至更廣闊的層面，例如「疑問量詞」和表達空間關係的詞項。本文將介紹上述學者的理論成果 ，並加上筆者個人對這個課題的一些粗淺體會和嘗試。筆者希望透過本文的討論向讀者展示，儘管「三段論推 理」是一門古老的學科，但只要我們把它與適當的現代數學／邏輯學／語義學理論加以結合，便可以為它注入 新的內容和活力。

2. Peterson對三段論推理的擴充

如前所述，Peterson把「三段論推理」推廣至「中間量詞」(即「全稱量詞」"all"和「存在量詞」 "some"以外的量詞)。在其著作中，Peterson分三個階段進行這種擴充。首先，他把「三段論推理」推 廣至三個常用的「中間量詞」："(almost all)" (等同於"(few ... not)")、"most"和 "many"。接著，他把「三段論推理」推廣至「分數量詞」(例如"(more than 2/3)")以至「複雜 分數量詞」(例如"(much more than 2/3)")。最後，他把「三段論推理」推廣至「關係命題」，即主語 和賓語均帶有量詞(亦即「廣義量詞理論」所稱的「迭代量詞」)的命題。以下筆者將集中介紹包含上述三個「 中間量詞」以及「分數量詞」的「三段論推理」。

2.1 有效推理格式的擴充

Peterson大大擴充了「三段論推理」有效推理格式的數目。傳統「三段論推理」共有24種有效格式(詳見 《廣義量詞系列：古典推理模式》)，經上述第一階段擴充後，有效推理格 式便增至93個。舉例說，「ABB-2式」便是其中一個新的有效推理格式(註1)，以下是這個格式的一個實例：

經第二階段擴充後，有效推理格式的數目便更多。但由於「分數」(即數學上的「有理數」)的數目無限，我們 無法一一為各個含有「分數量詞」的語句命名，因而也無法列舉全部有效格式。因此，Peterson只能舉出一些 含有「分數量詞」的有效推理格式的例子，例如：

以下是上述格式的一個實例：

2.2 有效推理格式的證明

Peterson不僅提出新的「三段論推理」格式，還嘗試證明這些格式的有效性。Peterson使用至少兩種方法來證 明新的推理格式，第一種方法主要針對"(almost all)"等三個「中間量詞」，這種方法要用到「對當關 係推理」以及「命題邏輯」中的某些定理和證明技巧。舉例說，設我們要證明前述有效的「ABB-2式」，即以下 推理形式：

我們首先利用「命題邏輯」中的下述定理(註2)：

即我們把上述推理形式作如下變換：以原「結論」的否定來作為新「小前提」(「大前提」保持不變)，並嘗試 推出原「小前提」的否定作為新「結論」。由於根據《廣義量詞系列：直接推 理的革新》中的「五層對當方陣」，句B的否定是句K，所以我們最終把上述推理形式變換為：

請注意上述推理形式已從原來的「ABB-2式」變為「AKK-1式」。接下來的任務就是證明「AKK-1式」是有效的， 這不難證明，因為如果所有P是M，並且很多S是P，那麼這些是P的S自然也是M，所以我們最終可得出結論：很多 S是M。

Peterson使用的第二種證明方法主要針對「分數量詞」，這種方法要用到簡單的代數運算和「反證法」。設我 們要證明上面(1)的有效性，為方便證明，我們參照以下「溫氏圖」以字母標示S、P、M及其否定的各種交集的 基數(請注意在下圖中，由於a ... h等代表集合基數，我們有a ≥ 0 ... h ≥ 0)：

以下我們用「反證法」證明(1)。為此，我們須先使用「廣義量詞理論」對量詞的定義(詳見 《廣義量詞系列：基本單式量詞》的表3)並參照上圖中的區域把(1)中的兩 個前提和結論的否定轉化為代數式。舉例說，由於(1)的大前提「(more than 1/8)(M)(~P)」的集合論 定義為|M ∩ ~P| / |M| > 1/8，而|M ∩ ~P|和|M|分別相當於上圖中的d + g和d + e + f + g，該語句 應轉化為(d + g) / (d + e + f + g) > 1/8 (註3)。以下 是(1)的證明：

上面第(xii)行就是我們要推出的矛盾，此一矛盾間接證明了(1)的有效性。

2.3 推理規則

Peterson還嘗試把傳統的「三段論」推理規則推廣到更一般的情況。古典形式邏輯除了嘗試找出所有有效的「 三段論」推理格式外，還嘗試總結出一些推理規則，以便讓進行推理的人根據這些規則，便能直接推出某一推 理格式是否有效，而無須查考有效推理格式的清單。古典形式邏輯總結出六條推理規則和七種「謬誤」，這七 種「謬誤」都有專門的名稱，其中三種涉及到「周延性」的概念：「中詞不周延的謬誤」、「大詞不當周延的 謬誤」和「小詞不當周延的謬誤」，由此可見「周延性」概念對傳統「三段論推理」的重要性。

古典形式邏輯對「周延性」作如下界定：全稱命題中的主語以及否定命題中的謂語都是「周延」的，其他情況 下的主語和謂語都是「不周延」的。可是，古典形式邏輯並沒有論證「周延性」與推理規則的關係。換句話說 ，「周延性」與推理規則的關係僅是傳統邏輯學家的一種經驗總結，傳統邏輯學家沒有為這種關係提供理據。 事實上，由於「周延性」概念缺乏理據，且難以與現代數理邏輯上的其他概念整合，現代數理邏輯完全拋棄了 此一概念。

Peterson沿用古典形式邏輯的「周延性」概念，並把它推廣為「周延度」(註4)。在古典形式邏輯中，「周延性 」是二值概念，只有「周延」和「不周延」這兩個值。Peterson則把它推廣為多值概念，他把「全稱肯定命題」 的主語以及所有否定命題的謂語的「周延度」定為1，並把「存在肯定命題」的主語以及所有肯定命題的謂語的 「周延度」定為0。換句話說，他以數字1和0代替傳統邏輯中的「周延」和「不周延」這兩個值。至於各種「中 間量詞」的「周延度」，則按其接近"all"的程度而被定為0與1之間的某個分數。舉例說， "(almost all)"、"most"和"many"的「周延度」便分別被定為3/4、2/4和1/4；各種「 分數量詞」的「周延度」則被定為相應的分數，例如"(at least 1/8)"的「周延度」就是1/8。 Peterson在推廣「周延性」概念後，亦對傳統的「三段論」推理規則作出修改，使之適用於各種「中間量詞」 。

Peterson的工作無疑大大豐富了傳統「三段論推理」的內容，亦為此一歷史悠久的邏輯分支注入了新內容。不 過，Peterson的研究在幾方面仍有不足之處。首先，他對「三段論推理」的革新主要是在傳統的框架下進行的 ，例如他仍以「周延度」作為推理規則的一個重要因素。如前所述，由於「周延度」概念缺乏理據，他所提出 的推理規則仍只具有經驗總結的性質(註5)。

其次，儘管Peterson引入了一些代數方法用來表達和證明某些涉及「分數量詞」的有效推理格式，但他沒有全 面採用「廣義量詞理論」的集合論定義，因此他所引入的新量詞只局限於"(almost all)"、 "most"、"many"、「分數量詞」和「複雜分數量詞」等，而未能包羅更多量詞。

最後，Peterson所提出的「中間量詞」其實混雜著「模糊量詞」與「非模糊量詞」，例如"(almost all)"、"many"以及「複雜分數量詞」都是「模糊量詞」。可是，Peterson並沒有區別對待兩者， 他只是憑語感和初等代數而非模糊數學的方法處理這些量詞。舉例說，他只是憑語感把「many(S)(~P) 」當作「(almost all)(S)(P)」的矛盾命題，並以此構造他的「五層對當方陣」，然後進而以此作為證 明他所提出的新有效格式的依據。可是他對"many"的上述處理方法卻是有爭議的，因為"many" 這個詞帶有歧義，有時表達絕對數量，有時則表達相對數量，有時更兼有上述兩重意思，Peterson沒有作出清 楚說明，因此他所提出的涉及"many"的「三段論」推理格式便具有爭議性。在處理「複雜分數量詞」時 ，Peterson採用代數學上的符號「>>」以表示"much more than"。但由於「>>」是模糊概念，難以應用於代數 運算，所以有時他又不得不利用以下關係作為「>>」的近似定義：

由於上述兩種處理「模糊量詞」的方法都有可爭議之處，這就使得Peterson提出的某些有效推理格式理據不足 。鑑於Peterson的方法有上述的不足之處，以下筆者將介紹循其他途徑推廣「三段論推理」的方法。

3. 數值三段論與例外結構三段論

筆者認為，推廣「三段論推理」的其中一種有效方法是根據「廣義量詞理論」對四個傳統「量化句」的集合論 定義透徹分析「三段論」各有效格式的背後原理，然後把這些格式中的「全稱量詞」／「存在量詞」代之以其 他適當的量詞，從而得到新的有效格式。筆者認為這種方法最適合用於表示數值比較的量詞以及某些「例外結 構」，以下我們討論幾個例子。

我們首先以「IAI-4式」為例說明上述方法，以下是「IAI-4式」的形式：

現在讓我們來探討這個有效格式背後的原理。根據「廣義量詞理論」的集合論定義，我們可以把上面的大前提 表達為P ∩ M ≠ Φ。但為方便以下討論，我們把此式改寫為|P ∩ M| > 0。同樣，我們把上面的 小前提表達為M ⊆ S。接著我們應用以下集合論定理(註6)：

利用定理1(1)和「∩」運算的交換性，便容易得到|S ∩ P| > 0，而這正是上面的結論所要表達的意思 。請注意在上述討論中，實數0沒有任何特殊性，它可以為任何實數n取代，這等同於把上述有效格式中的量詞 "some"改為"(more than n)"，這樣我們便得到一個有效的「數值三段論」格式：

以下推理就是應用這個有效格式的實例：

如能選擇恰當的格式和作出恰當的變換，我們也可以推導出包含量詞"(at most n)"的有效格式。舉例 說，我們可以選用「EAE-2式」，即：

請注意上面的大前提「all(P)(~M)」等價於「no(P)(M)」。本來後一式一般可用集合論語言表 達為|P ∩ M| = 0，但為方便以下推導，我們把此式改寫為|P ∩ M| ≤ 0 (集合個數不可能為負數) 。同樣，我們把上面的小前提表達為S ⊆ M。接著，利用定理1(2)，容易推得|S ∩ P| ≤ 0，這正 是上面的結論所要表達的意思。由於在上述討論中，0沒有任何特殊性，它可以為任何實數n取代，這實際等同 於把上述有效格式中的"no"改為"(at most n)"，這樣我們便得到以下這個有效的「數值三段論 」格式：

以下推理就是應用這個有效格式的實例：

接著我們再看一個涉及「例外結構」的例子，這次我們使用「AAA-1式」：

為方便以下的推導，我們首先把上面的大前提和小前提分別表達為|M − P| = 0和S ⊆ M。由於x = 0 ⇒ x ≤ 0並且M − P = M ∩ ~P，我們推得

接著應用定理1(2)，容易推得|S ∩ ~P| ≤ 0，這正是上面的結論所要表達的意思。總上所述，我們可以 從|M − P| = 0和S ⊆ M推得|S ∩ ~P| ≤ 0。由於在上述討論中，0沒有任何特殊性，它可以 為任何實數n取代，這實際等同於把上述有效格式中的大前提和結論改為「例外結構」，這樣我們便得到以下這 個有效的「例外結構三段論」格式(註7)：

以下推理就是應用這個有效格式的實例：

我們還可以對「直言三段論」的其他有效格式進行類似的分析，但由於「三段論」的有效格式共有24個，這將 是繁重的工作，本文的討論只能到此為止。

3. 模糊三段論

3.1 可歸約為對當關係推理的模糊三段論

筆者在《廣義量詞系列：直接推理的革新》定義了「模糊量化句」之間的 蘊涵關係，並提出了一條定理(即上述網頁的定理1)。原則上我們可以把上述定義和定理推廣至「三段論推理」 ，從而推導或證明某些「模糊三段論」的有效格式。舉例說，以下「模糊三段論」推理格式顯然是有 效的：

以下推理就是應用這個有效格式的實例：

現在就讓我們來證明(2)的有效性。為方便討論，以下提供「模糊量詞」"(a very large proportion of)"和"(at least a small proportion of)"的「隸屬度函數」的圖象：

根據(2)的大前提，我們有M ⊆ P。其次，根據前面的定理1(3)，我們有

而根據上面μ[(a very large proportion of)](x)的圖象，容易看到

根據筆者在上述網頁定義的式(2)，上式等價於

換句話說，我們可以從(2)的大前提和小前提推出「(a very large proportion of)(S)(P)」。另外， 根據上述網頁的式(5)，我們有以下「差等關係」：

上面右端的表達式正是(2)的結論，至此我們證明了(2)的有效性。

請注意在上述證明中，我們實際上是利用(2)的大前提把其小前提改寫為「(a very large proportion of)(S)(P)」，然後再根據一個「差等關係」推出結論，因此上述「模糊三段論」推理實際被歸約為「對當 關係推理」。我們之所以能進行這種歸約，是因為在(2)中，我們利用了「非模糊量詞」"all"的特性， 因此嚴格地說，上述推理並非純粹的「模糊三段論」推理。現在的問題是，我們能否不依賴上述歸約而推導出 純粹的「模糊三段論」有效格式？

3.2 量詞擴張原理(等式形式)

筆者在《廣義量詞系列：直接推理的革新》)中指出，如要定義兩個具有不 同「模糊量詞」的語句之間的蘊涵關係，必須確保這兩個語句具有相同的「參項」(詳見上述網頁的式(3))。可 是，傳統的「直言三段論」涉及三個詞項之間錯綜複雜的關係，難以確保「三段論」中的三個命題具有相同的 「參項」。以傳統「三段論」的「第一格」為例，假如我們把「第一格」中三個命題的真值轉化為「隸屬度函 數」的形式，那麼我們有(以下假設Q、Q'和Q''皆表達相對數量)：

由於上面三個命題的「參項」各不相同且不能化約，我們無法界定它們之間的蘊涵關係。由此可見，我們不能 從傳統的「直言三段論」有效格式簡單推出純粹的「模糊三段論」有效格式。

為克服上述困難，Zadeh另闢蹊徑。他從以下「交積三段論」(Intersection / Product Syllogism)推理得到啟 發：

請注意由於上述推理已非傳統「直言三段論」的形式，傳統對「大前提」和「小前提」的區分已失去意義，所 以在上面我們把這兩個前提分別稱為「前提1」和「前提2」，而且這兩個前提是可以自由對調的。我們可以把 上述推理抽象為一般形式，並把三個命題寫成「特徵函項」的形式(以下用A、B和C分別代表「學生」、「單身」 和「男性」)(註8)：

請注意如果我們把上面兩個前提的「參項」相乘，便會得到與結論相同的「參項」：

這樣我們便解決了傳統「三段論」格式中前提與結論沒有相同「參項」的問題。不僅如此，上例還顯示如果我 們把兩個前提的「量詞」所代表的實數相乘，便可得到結論的「量詞」所代表的實數：

總上所述，在上述推理中，「參項」與「量詞」具有平行的關係。當「三段論」中三個命題的「參項」存在某 種函數關係時，該三個命題的「量詞」也存在相同的函數關係。Zadeh把上述情況推廣到「模糊量詞」，從而得 到以下的「量詞擴張原理」(Quantifier Extension Principle)：

定理2：設有以下「三段論」形式(表達為「隸屬度函數」的形式)：

如果x'' = f(x, x')，則Q'' = f(Q, Q')。其中f(Q, Q')代表量詞之間的某個函數關係，這個函數與f(x, x') 的關係可用模糊數學上的「擴張原理」(Extension Principle)來定義。

在模糊數學上，「擴張原理」可用來把普通集合元素的函數轉化為模糊集合的函數。設f: X → Y為普通集 合元素的一元函數，那麼我們可以把f轉化為以下函數：設A為X上的模糊集合，則f(A)為Y上的模糊集合，其隸 屬度函數為(在下式中，x ∈ X，y ∈ Y)：

另設f: X × X' → Y為普通集合元素的二元函數，那麼我們可以把f轉化為以下函數：設A和A'分別 為X和X'上的模糊集合，則f(A, A')為Y上的模糊集合，其隸屬度函數為(在下式中，x ∈ X，x' ∈ X' ，y ∈ Y)：

利用上述定理，我們可以嘗試推導某些純粹的「模糊三段論」有效格式。舉例說，我們可以把(3)中兩個前提的 量詞換成「模糊量詞」：

現在的問題是，上面結論中的Q''是甚麼量詞？根據前面的討論和定理2，我們知道

可是上式右端究竟又代表甚麼意思？為讓讀者易於明白，以下用一個簡化的例子以作說明。設"(slightly more than half of)"的「參項」x和"(slightly less than half of)"的「參項」x'的取值範圍為 離散實數集{0, 0.1 ... 0.9, 1}，並且有以下「隸屬度函數」：

(slightly more than half of) × (slightly less than half of)的「參項」y的取值 範圍為{y: ∃_{x, x' ∈ {0, 0.1 ... 0.9, 1}} (y = x × x')} = {0, 0.01, ... 0.9, 1}。由於「×」是二元算子，我們可以用(5)來求上述乘積的「隸屬度函數」。容易看到上述乘積的 絕大多數隸屬度皆為0，以下僅給出一個非0值的計算步驟。設y = 0.18，那麼由於0.18 = 0.2 × 0.9 = 0.3 × 0.6 = 0.6 × 0.3 = 0.9 × 0.2，我們用(5)作以下計算：

利用上述方法，我們便可以求得上述乘積的「隸屬度函數」(下式僅列出隸屬度不為0的項)：

上式可粗略地看成「模糊量詞」"(about 1/4)"的「隸屬度函數」，這樣我們便可以把"(about 1/4)"代入(6)中的Q''。以下推理是應用(6)的實例：

3.3 量詞擴張原理(不等式形式)

當然，並非在所有情況下均可以像上例那樣用一條「等式」把「三段論」的結論與兩個前提聯繫起來，有時我 們充其量只能得到一條「不等式」。但即使在這種情況下，我們仍可運用定理2，只要把該定理中的「等式」 x'' = f(x, x')和Q'' = f(Q, Q')改為相應的「不等式」便行了。舉例說，設有以下推理：

我們可以把上述推理抽象為

由於上述三個「隸屬度函數」的「參項」有相同的分母，我們只需考慮這些「參項」的分子。根據集合論，我 們有以下「不等式」：

根據定理2，我們應有

不過，由於上述的Q''表達相對數量，其「參項」y的值不應超出[0, 1]以外，但在進行上述「+」運算時，其結 果可能大於1。為把上述運算結果限制在[0, 1]之內，我們把上述Q''的定義修改為

上式就是(7)中量詞Q''的形式，我們可以把這個量詞解讀成「最多xxx」，其中的「xxx」由「≤」後面的算 式確定。儘管我們可以用模糊數學的「擴張原理」求得這個「xxx」的「隸屬度函數」，但卻不一定能用簡單的 自然語言表達它。這裡我們看到了「模糊量詞」的局限性，儘管在現實中存在的模糊性有無限種可能程度，但 自然語言中的「模糊量詞」卻很有限，遠遠不能涵蓋各種可能情況。不過，上述情況正是模糊推理的特點。當 代模糊數學對模糊推理(其中包括「模糊三段論」推理)尚有其他研究成果，這裡不能一一詳述。

4. 疑問三段論

4.1 疑問句的蘊涵關係

筆者在《廣義量詞系列：直接推理的革新》中定義了疑問句之間的蘊涵關 係，因此原則上我們可以把上述定義推廣至「三段論推理」，從而推導或證明某些「疑問三段論」的 有效格式。不過，為了與其他「對當關係」的定義相一致，筆者在上述網頁對蘊涵關係採取了較為狹窄的定義 。在此一定義下，凡是沒有相同解答的疑問句之間都談不上蘊涵關係。可是，由於此一定義大大限制了我們所 能考察的疑問句推理，我們有必要在這裡放寬上述定義。

具體地說，我們作出如下定義：疑問句q蘊涵疑問句q'，當且僅當對q的每個可能解答a而言，都有q'的某個可能 解答a'使得

請注意在上述定義中，a與a'可以是不同的解答。上述定義反映了如下事實：假如我們可以憑q的真解答a推斷出 q'的真解答a'，我們便說q蘊涵q'。根據以上定義，以下蘊涵關係是成立的：

以下讓我們來驗證上述蘊涵關係的有效性。為簡化討論，我們假設論域中的人物只有John、Bill和Mary，並且 只有以下八個「可能世界」：

其中w_{j}代表「只有John出席了聚會」的「可能世界」，其餘類推。q₁有八個可能解 答：「沒有人」 ... 「John、Bill和Mary」(以下分別記作a₁ = Φ ... a₁ = {j, b, m})，而且對應於每一個可能解答的「可能世界集合」剛好等於上述八個「可能世界」之一：

至於q₂，則只有兩個可能解答：「有」和「沒有」(以下分別記作a₂ = y和 a₂ = n)。對應於這兩個可能解答的「可能世界集合」為：

容易看到，上面的(9)和(10)符合(8)的條件，所以q₁蘊涵q₂。上述結果亦告訴我們 q₁和q₂的解答之間的對應關係。舉例說，由於World(q₁(Φ)) ⊆ World(q₂(n))，當q₁的真解答為「沒有人」時，我們便可以推斷q₂的真解 答為「沒有」。

4.2 疑問句的三段論推理

接著讓我們把上述蘊涵關係推廣為「三段論推理」。「三段論推理」實質上就是兩個前提與結論之間的蘊涵關 係，這兩個前提之間又存在「合取」關係。從「可能世界集合」的角度看，兩個前提的「合取」相當於對應於 這兩個前提的「可能世界集合」的「交集」。綜合以上討論，我們可以作出如下定義：設有疑問句q、q'和q'' ，如果對q的每一可能解答a以及q'的每一可能解答a'，都有q''的某個可能解答a''使得

我們便說q、q'和q''構成「疑問三段論」，其中q和q'為前提，q''為結論。

跟「模糊三段論」相似，我們難以構造與傳統「直言三段論」具有相似形式的「疑問三段論」。不過， Groenendijk和Stokhof在Type-Shifting Rules and the Semantics of Interrogatives一文中提出了 以下推理：

請注意如果我們把上述推理中的"who(m)"分解成"what + person"，並把"men"、"loved by Mary"和 "person"分別看成「小項」、「大項」和「中項」，那麼上述推理在形式上便與傳統的「第三格」三段論推理 很相似。現在讓我們驗證上述推理的有效性，為簡化討論，我們假設論域中的人物只有John和Bill，並且只有 以下16個「可能世界」：

其中w_{{j}, Φ}代表「只有John是男人並且Mary不愛任何人」的「可能世界」，其餘類推。上面 的q₃、q₄和q₅均可以"Nobody"、"John"、"Bill"和"John and Bill"為可 能解答，可分別用Φ、{j}、{b}和{j, b}來代表。但請注意同一個解答在作為不同疑問句的解答時，可能對 應著不同的「可能世界集合」。以解答{j}為例，對應於上述三個疑問句，我們有：

請注意上面的World(q₅({j}))體現了疑問句的「預設」，因為當我們以"John"回答q₅ 時，我們預設了John是男人，所以World(q₅({j}))不應包括那些John不是男人的「可能世界」，例 如w_{{b}, {j}}。從(13)可以看到，

這反映了如下事實：當某人以"John"作為q₃和q₄的真解答時，我們可以推斷他對 q₅的真解答也必然是"John"。對於其他解答，我們也可作類似驗證，這裡不一一詳述。

我們可以把(12)抽象為以下推理形式(在下式中，A、A'和A''為「解答論元」)：

可以證明上述「三段論」是有效的推理形式。有關「疑問三段論」的其他有效格式乃至疑問推理的一般原理， 尚有待進一步的研究。

5. 空間三段論

筆者在《廣義量詞系列：空間量化結構》中指出，"inside"、"outside"和 "overlapping"分別與量詞"all" 、 "no" 和"some"相對應，因此我們可以為含有這些 詞項的命題構造相應的「三段論推理」。筆者在上述網頁中亦指出，自然語言中的其他「方位介詞」在某種程 度上也與量詞存在對應關係。由此我們可以推斷，應可把「三段論推理」推廣至這些「方位介詞」，從而構造 出一些有效的「空間三段論」推理模式，本節將探討這個問題。

雖然筆者在上述網頁中指出，絕大多數「方位介詞」都含有"outside"的語義，但這並不代表這些介詞具有與 "no"完全相同的推理模式。舉例說，很多「方位介詞」(例如"above")都具有「傳遞性」，即符合以下 推理模式(以下把含有「方位介詞」的語句寫成「三分結構式」)：

在這一方面，"above"等介詞與"all"具有相似的推理模式(試比較上述推理與傳統「三段論」的「AAA-1 式」)：

而與"no"的推理模式不相似(「EEE-1式」並非有效的推理模式)。

可是，我們亦發現某些介詞在某些方面與"no"有相似的推理模式，例如"far away from"便符合以下推 理模式：

請注意上述推理模式與傳統「三段論」的「AEE-2式」非常相似：

事實上，「方位介詞」的推理模式與量詞的對應關係是錯綜複雜的。某一介詞的推理模式可能在某一方面與某 一量詞相似，在另一方面卻與另一量詞相似，因此我們不能把"inside"、"outside"以外的任一「方位介詞」簡 單比附作某一量詞，而必須根據某一介詞的語義論證該介詞在某一推理模式中的有效性，以下筆者運用上述方 法驗證上面(14)和(15)的有效性。

首先考慮(14)，根據上述網頁，我們可以把(14)的大前提表達為

但上式過於繁複，不方便進行推理，所以以下改用文字與符號夾雜的方法。為簡化討論，以下只考慮一個特殊 情況，就是假設S、P和M僅包含平面上的一個點。為易於理解，讀者可參考下圖：

經上述簡化後，我們可以把(14)的大前提和小前提分別理解為：有一個向量v從P點指向M點和另一個向 量v'從M點指向S點，並且

接著求上述兩個向量的和：v'' = v + v'，v''就是由P點指向S點的向量。根據 向量「內積」的特性，我們有

另外，根據向量的加法，我們有v''_up = v_up + v'_up以及v''_⊥up = v_⊥up + v'_⊥up。由於v • up > 0和v' • up > 0， 我們有|v''_up| = |v_up + v'_up| = |v_up| + |v'_up|。根據上述兩個前提，我們又有 |v_up| + |v'_up| > |v_⊥up| + |v'_⊥up|。最後利用不等式

我們得到|v_⊥up| + |v'_⊥up| ≥ |v_⊥up + v'_⊥up| = |v''_⊥up|。 由此最終得到

綜合以上結果，(14)的結論得證，至此我們驗證了(14)的有效性。

接著考慮(15)，為易於理解，讀者可參考下圖：

沿用上述網頁的定義，我們把(15)的小前提理解為

其中s代表某個長度標準。接著，根據(15)的大前提，由於所有P的點都是M的點，我們必有

由此必有

即

(15)的結論乃得證，至此我們驗證了(15)的有效性。

以上兩例顯示，如要發掘或證明「空間三段論」，須綜合運用「向量空間語義學」、數學以及邏輯學的知識， 筆者認為這方面的研究尚有廣闊的空間，有待學者探討。

6. 混合三段論

筆者在《廣義量詞系列：相關詞與度量結構》中介紹了「混合量化結構」 ，這種結構涉及多種論域。與此相對應，我們也可討論「混合三段論」，即涉及多種論域的「三段 論推理」，其中一種「混合三段論」就是「模態邏輯」中的某些「模態三段論」。其實筆者在 《廣義量詞系列：古典推理模式》中已介紹過「模態三段論」，當時筆者 指出，並非所有「模態三段論」都可透過把「直言三段論」的24種有效格式推廣到「可能世界論域」而得到， 這是因為某些「模態三段論」在實質上是「混合三段論」。試看以下顯然有效的推理模式：

請注意上述推理混合了「個體論域」和「可能世界論域」上的量詞，無法表達為傳統「直言三段論」的格式。 因此為證明(16)的有效性，我們必須借助「廣義量詞理論」和「可能世界語義學」的某些定義。首先，根據上 面的小前提，我們知道在至少一個「可能世界」中命題「有S是M」是真的，假設這個「可能世界」是w，換句話 說，在w中以下「三分結構式」是真的：

其次，根據上面的大前提，在所有「可能世界」中命題「所有M都是P」是真的，這意味著在w中，以下「三分結 構式」也是真的：

接著，利用「直言三段論」的「AII-1式」，我們可以從以上兩個「三分結構式」推得，在w中以下「三分結構 式」也是真的：

換句話說，命題「有S是P」在至少一個「可能世界」中是真的，這正是上面的結論，由此證明了(16)的有效性 。

其他「模態三段論」有效格式也可使用類似的方法證明。除了「模態三段論」外，筆者認為還應存在其他類型 的「混合三段論」，但學界對這方面還沒有系統的研究，因此對此一課題的討論只能到此為止。

7. 含複雜量詞的三段論推理

在這最後一節，筆者將簡介包含某些複雜量詞(包括「結構化量詞」和「迭代量詞」)的「三段論推理」。由於 這是一個鮮有學者涉足的領域，尚無系統的研究，以下筆者只提供一些零星的有效推理模式及部分證明。 Keenan在Excursions in Natural Logic一文中提出了一個包含「<1²,1>型結構化量詞」 "(more ... than ...)"的「三段論推理」有效格式：

以下是這個推理模式的實例：

請注意(17)是容易證明的，根據「結構化量詞」的真值條件，我們可以把(17)的兩個前提分別表達為|A ∩ D| > |B ∩ D|和|B ∩ D| > |C ∩ D|。接著，根據「>」的「傳遞性」，我們有|A ∩ D| > |C ∩ D|，這正是(17)的結論。

Keenan還指出，可把(17)中的量詞改為"(fewer ... than ...)"或"(exactly as many ... as ...)"等，推理模式仍然有效。此外，他還提出以下有效推理模式：

讀者不妨自行證明上述模式的有效性。

Peterson在其著作中介紹了「關係命題」(即包含「迭代量詞」的命題)的「三段論推理」，這種推理的結論一 般都包含一個關係分句。儘管他為這種推理提供了一套推理規則，但他沒有為這些規則提供數學論證，因此本 文不擬引述他的推理規則。以下只提供一個簡單的「迭代量詞三段論」的實例：

容易看到上述推理是有效的，因為根據前提1，我們可以假定有一個男孩b，他愛每一個女孩。另外，根據前提2 ，我們可以假定有一個女孩g，她迷戀最少三個明星；而且由於g是女孩，她為b所愛。換句話說，b愛一個迷戀 最少三個明星的女孩，因此結論得證。

上述例子顯示，要證明個別含複雜量詞的「三段論推理」並不困難，但由於這類推理中的三個命題比傳統推理 包含較多的詞項或量詞，如要逐一考察各種可能推理模式的有效性，這將是繁重的工作，還有待學者作進一步 研究。

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