筆者在《廣義量詞系列：單調性推理原理》中介紹了「單調性推理」的概
念，並總結出「單調性推理原理」。在該網頁中，筆者所討論的量詞全都是「<1,1>型量詞」(註1)。可是筆者
以往還介紹了多種其他類型的量詞和量化結構，一個自然的問題是，「單調性推理原理」是否也適用於這些量
詞和量化結構？本文將嘗試解答這個問題。
正如「<1,1>型量詞」包含著「模糊量詞」和「疑問量詞」等次類一樣，其他量詞和量化結構也包含著相應的次
類。不過，由於「模糊量詞」和「疑問量詞」涉及「隸屬度函數」和「可能世界集合」等複雜概念，為免使討
論過於複雜，本文將避免以這兩類量詞作為討論或舉例的對象。
我們首先從論元結構較「<1,1>型量詞」更簡單的「<−,1>型量詞」說起，這類量詞儘管也可以表達為「
三分結構」Q(A)(B)的形式，但它們的其中一個論元沒有真子集或真母集，因而只有「左／右單調性」。這類量
詞又可細分為「光桿名詞短語」和「第一類泛化量化結構」，本小節首先討論前者。
筆者在《廣義量詞系列：基本單式量詞》中介紹了三種「光桿名詞短語」：
「專有名詞」、光桿「類名詞」和光桿「抽象名詞」。這些名詞短語在表面上不含任何量詞，但其實隱含著全
稱語義，都可表達為「every(A)(B)」的形式，其中A為「單元集」(註2)，例如「John是學生」便可表
達為
根據上式，可以推知這類量化結構應像"every"那樣具有「右遞增性」。不過，由於這類量化結構的左 論元A是「單元集」，沒有非空真子集，因此這類結構無「左單調性」可言。根據以上討論，我們有以下有效推 理：
筆者在《廣義量詞系列：時間量化結構》中介紹了兩類「泛化量化結構」， 「第一類泛化量化結構」的抽象形式為Q(U)(B)，其中U代表「論域」。這類結構中的量詞都是「<−,1>型 量詞」，例如"everything"、"(nobody except John)"等。由於這類結構的左論元U相當於一個 常項，這類結構無「左單調性」可言。至於「右單調性」，則與相關的「<1,1>型量詞」的「右單調性」相同， 例如"everything"和"somebody"分別跟"all"和"some"一樣具有「右遞增性」； "nothing"跟"no"一樣具有「右遞減性」，而"(everything except God)"和 "(nobody except John)"則分別跟"(all except John)"和"(no except John)"一樣具 有「右非單調性」。以下是上述結構的一些有效及無效推理的實例：
「第二類泛化量化結構」是指英語的「存在句」，其抽象形式為Q(A)(U)。這類結構中的量詞可以是各式各樣的 量詞，最常見的是「<1,1>型量詞」。由於這類結構的右論元是論域U，這類結構無「右單調性」可言，但仍有 「左單調性」，此即結構中的量詞Q的「左單調性」。以下是這類結構的一些有效及無效推理的實例：
如前所述，「第二類泛化量化結構」中的量詞也可以是其他量詞。特別地，如果我們是以"something" 、 "nothing"等作為這類結構中的量詞(從而構成「第一、二類混合泛化量化結構」)的話， 那麼所得結構的抽象格式將為Q(U)(U)，即兩個論元都沒有「單調性」可言，我們將無法進行任何「單調性推理 」：
不過，如果這類結構帶有「後續成分」，那麼由於這個「後續成分」可以有真母集或真子集，我們仍可以談論 這類結構的「單調性」，例見以下推理：
筆者在《廣義量詞系列：基本單式量詞》中介紹了三類「結構化量詞」，由 於這類量詞包含兩個以上的論元，我們不能再用「左」／「右」來標示這些論元，而必須把這些論元稱為「第1 論元」、「第2論元」...。相應地，我們也需要更一般的「單調性」定義。設有一個「n位量詞」 Q(A1, ... An)，我們說Q是「第k論元遞增」(Increasing in the kth Argument)的當且僅當對所有集合A1, ... Ak, Ak', ... An 而言，若Ak ⊆ Ak'，則有
至於「第k論元遞減」(Decreasing in the kth Argument)、「第k論元非單調」 (Non-Monotone in the kth Argument)等概念，也可作出相應定義。以下筆者將考察各類「結構化量詞」的「 單調性」，在以下的討論中，筆者將要多次使用以下定理(證明從略)：
| 定理1： | 設A ⊆ B，則對任何集合C而言， | |
| (1) | |C ∩ A| ≤ |C ∩ B| | |
| (2) | C ∩ A ⊆ C ∩ B | |
| (3) | C ∪ A ⊆ C ∪ B | |
第一類「結構化量詞」是指包含兩個以上論元的「數量比較詞」，這類量詞可體現為<12,1>、
<1,12>和<12,12>這三種論元結構。由於在這三種結構中，
<12,12>型是最複雜的，而且其餘兩種可被視為第三種的特例，以下將主要討論
「<12,12>型結構化量詞」的「單調性」，其餘兩種結構類型的「單調性」可從這種結
構類型的「單調性」推導出來。
首先考察「<12,12>型量詞」"(more ... than ...)"的「單調性」，這個量詞
的真值條件為
根據上式，容易看到論元A是「遞增」的，這是因為若A ⊆ A'，則根據「定理1(1)」，有|A' ∩ C| ≥ |A ∩ C|，因此
同理亦容易推斷其他論元的「單調性」。由於C跟A一樣位於(1)中「>」號的左方(以下稱為「多」方)，這個論
元也應跟A一樣具有「遞增性」。反之，由於B和D位於(1)中「>」號的右方(以下稱為「少」方)，這兩個論元應
具有「遞減性」。總括而言，上述量詞是「第1、3論元遞增，第2、4論元遞減」的。
接著考察「<12,1>型量詞」"(more ... than ...)"的「單調性」，這個量詞的真值條件為
跟(1)比較，上式中的A和B的位置不變，因此這兩個論元的「單調性」同前；但在上式中C的位置卻很特殊，它 同時出現於「多」方和「少」方中，由此可以推斷這個論元很可能是「非單調」的。事實上，不難找出一些反 例以證明C的「非單調性」。試看下圖：
在上圖中，C'分別是C的真子集和真母集，我們看到在上面兩圖中，
由此可見C是「非單調」的。總括而言，上述量詞是「第1論元遞增，第2論元遞減，第3論元非單調」的。
接著考察「<1,12>型量詞」"(more ... than ...)"的「單調性」，這個量詞的真值條件為
根據類似上面的推理，容易推斷上述量詞是「第1論元非單調，第2論元遞增，第3論元遞減」的。
我們可以從以上對"(more ... than ...)"的分析中總結出以下原理：
以下是上述原理的一些應用實例。試考慮量詞
| (at least n fewer ... than ...)(A, B)(C, D) | ⇔ |B ∩ D| − |A ∩ C| ≥ n |
| ⇔ |B ∩ D| ≥ n + |A ∩ C| |
根據上式，論元B和D處於「多」方，而A和C則處於「少」方，因此根據上面第2點，這個量詞是「第1、3論元遞
減，第2、4論元遞增」的。
其次考慮量詞
| (proportionally more ... than ...)(A, B)(C, D) | ⇔ |A ∩ C| / |A| > |B ∩ D| / |B| |
| ⇔ |B| × |A ∩ C| > |A| × |B ∩ D| |
根據上式，論元C和D分別處於「多」方和「少」方，而A和B則跨越「多」、「少」兩方，因此根據上面第2點， 這個量詞是「第1、2論元非單調，第3論元遞增，第4論元遞減」的(註3)。
第二類「結構化量詞」是指包含兩個以上論元的「同異比較詞」，這類量詞只能體現為<1,12>型的 論元結構。根據上述網頁的表7，這類量詞只有四個，所以我們可以逐一考察其「單調性」。首先考慮 "(different ... than ...s)"，其真值條件為
由於這個量詞的真值條件跟"no"非常相似，容易看到這個量詞在三個論元上都是「遞減」的。其次考慮 "(whatever ... also ...)"，其真值條件為
根據上式，論元B是「遞減」的，這是因為根據「定理1(2)」，若B' ⊆ B，則有A ∩ B' ⊆ A ∩ B，因此
同理也易見論元C是「遞增」的。至於論元A，則是「遞減」的，以下讓我們來證明這一點。設(3)成立並且A' ⊆ A，我們要證明
設x ∈ A' ∩ B，那麼根據「定理1(2)」，我們有x ∈ A ∩ B。根據(3)，我們亦有x ∈ A ∩ C。至此我們有x ∈ A'和x ∈ C，即x ∈ A' ∩ C。由於x是任意的元素，我們證明 了(4)。總結以上推理，我們證明了
即A是「遞減」的。總括而言，上述量詞是「第1、2論元遞減，第3論元遞增」的。
看到這裡，有些讀者可能感到奇怪，為何在(3)中同時出現於「⊆」號左、右兩邊的A不是「非單調」的？
事實上，如果把(3)改為下式，那麼我們可以透過類似3.1小節的「溫氏圖」，證明下式中的A是「非單調」的：
這當中究竟有甚麼奧妙？其實，(3)和(5)存在以下關係：若(3)成立，則必有(5)，但反之卻不一定成立。換句
話說，我們可以把(3)看成(5)的一種特殊情況。看到了這一點，上述現象便不難理解。由於(5)涵蓋多種不同情
況，並非在每一種情況下A都是「遞減」的，因此A在較狹窄的條件(3)下具有「遞減性」，但在較廣泛的條件
(5)下卻具有「非單調性」，這是不足為奇的；這一點跟二次函數f(x) = x2在較小的「定義域」x
≤ 0內具有「遞減性」，但在較廣泛的「定義域」−∞ ≤ x ≤ ∞內卻具有「非單調
性」是一樣的。
接著考慮"(the same ... as ...)"，其真值條件為
由此可見，
根據與上一章介紹的「並列量詞」類似的推理(註4)，我們可以推斷上述量詞是「第1論元遞減，第2、3論元非
單調」的。
最後考慮"(different ... than ...w)"，其真值條件為
由於上式是(6)的否定，根據上一章對「算子否定」的討論，我們知道上述量詞是「第1論元遞增，第2、3論元 非單調」的。
第三類「結構化量詞」是指由較簡單的量詞通過「否定」、「合取」、「析取」等而得的複合結構，由此可見
，上一章所討論的「算子否定」和「並列量詞」其實都可看做這類量詞的特例。不過，第三類「結構化量詞」
並不限於由「<1,1>型量詞」構成的複合結構，而可以有多種複雜結構。由於這類量詞是派生性的，它們的「單
調性」一般都可以透過其組成部分的「單調性」推導出來，而無須逐一研究，所以這裡只抽選幾個較有代表性
的例子以作說明。
首先考慮以下這個由「<−,1>型量詞」構成的第三類「結構化量詞」：
我們只需考慮論元A的「單調性」。根據2.2小節，"everything"和"nothing"的唯一論元分別是
「遞增」和「遞減」的，因此它們的「析取」(「並列」的一種)應是「非單調」的。根據「算子否定」的特性
，我們知道上述量詞也是「非單調」的。
其次考慮以下這個「<14,1>型量詞」：
根據「定理1(3)」，若A' ⊆ A，則A' ∪ B ∪ C ∪ D ⊆ A ∪ B ∪ C ∪ D，
因此A是「遞減」的，此一推理亦適用於B、C和D。此外，根據"every"的「右遞增性」，易見E是「遞增
」的。總括而言，上述量詞是「第1、2、3、4論元遞減，第5論元遞增」的。
最後考慮以下這個<<1,12>,1>型量詞(在下式中，m、n和p都是自然數)：
為方便分析，我們把這個量詞的真值條件改寫為：
運用筆者在3.1小節總結出來的原理以及有關「並列量詞」的原理，容易根據上式推斷上述量詞是「第1、4論元 非單調，第2論元遞增，第3論元遞減」的。
筆者在《廣義量詞系列：迭代量詞》中介紹了「迭代量詞」的概念，並指出 此一概念可用來表達那些以「及物動詞短語」、「雙及物動詞短語」以及其他複合動詞／形容詞／介詞結構作 為謂語中心的語句。因此，如果我們把「單調性」概念推廣至「迭代量詞」，便可發掘和解釋更多類型語句的 推理模式。在以下的討論中，筆者將要使用以下兩條定理(證明從略)：
| 定理2： | 設P、Q為函項，則P(x) ⇒ Q(x)當且僅當{x: P(x)} ⊆ {x: Q(x)}。 |
| 定理3： | 設R(x1, ... xn+1)和R'(x1, ... xn+1)為n + 1元函項，則對任何y1, ... yn而言，有 |
| R ⊆ R' ⇒ {xn+1: R(y1, ... yn, xn+1)} ⊆ {xn+1: R'(y1, ... yn, xn+1)}。 |
由於「迭代量詞」是派生性的，即由較簡單的量詞通過「迭代」運算複合而成，這類量詞的「單調性」應能由 其組成部分的「單調性」推導出來，而無須逐一研究。舉例說，讓我們分析以下「迭代<1,1>型量詞」的「單調 性」：
首先考慮論元A，根據上式，容易看到A是「遞減」的。請注意此一結果其實反映了"every"的「左遞減
性」。
其次考慮論元B。設B ⊆ B'，那麼容易看到
請注意上述結果其實反映了"some"的「左遞增性」。接著，根據「定理2」，有
由此得
即B是「遞增」的。
最後考慮論元C。設C ⊆ C' (其中C和C'均為二元函項)，那麼根據「定理3」，我們有
由此得到
請注意上述結果其實反映了"some"的「右遞增性」。由於上式跟(7)非常相似，因此運用與上面分析B的
「單調性」類似的推理，容易推得C也是「遞增」的。總括而言，上述「迭代量詞」是「第1論元遞減，第2、3
論元遞增」的。換句話說，上述「迭代量詞」的「名詞性論元」A和B的「單調性」剛好分別等同於
"every" 和 "some"的「左單調性」，而「謂詞性論元」C的「單調性」則等同於"some"
的「右單調性」。
接著讓我們看一個更複雜的例子。試考察以下量詞的「單調性」：
首先考慮論元A，容易看到A是「非單調」的。
其次考慮論元B。設B' ⊆ B，那麼我們有
因此根據「定理2」，有
由此得
即B是「遞減」的。
接著考慮論元C。設C ⊆ C'，那麼我們有
因此根據「定理2」，有
由此得到
由於上式跟(8)非常相似，因此運用與上面分析B的「單調性」類似的推理，可以推得C是「遞增」的。
最後考慮論元D。設D' ⊆ D (其中D和D'均為三元函項)，那麼根據「定理3」，我們有
由此得到
由於上式跟(9)非常相似，因此運用與上面分析C的「單調性」類似的推理，可以推得D是「遞減」的。總括而言
，上述「迭代量詞」是「第1論元非單調，第2、4論元遞減，第3論元遞增」的。換句話說，上述「迭代量詞」
的「名詞性論元」A、B和C的「單調性」剛好分別等同於"most"、"no"和"~every"的「
左單調性」，而「謂詞性論元」D的「單調性」則等同於"~every"的「右單調性」。
從上述兩個例子我們可以總結出以下一般原理。設(Q1 ... Qn)(A1 ...
An)(B)為由n個「<1,1>型量詞」組成的「迭代量詞」，其中A1 ... An為
「名詞性論元」，B為「n元謂詞性論元」：
為方便應用上一小節介紹的一般原理，以下將借助筆者在《廣義量詞系列：時間 量化結構》中介紹的「迭代<1,1>型量詞」的「三分結構」來推導這類量詞的「單調性」。利用這種 「三分結構」，上一小節討論的「(most ... no ... every)(A, B, C)(D)」可以表達為：
現在我們可以沿用筆者在上一章介紹的「單調性推理原理」推斷上面各個論元的「單調性」，與上一章不同的
是，在上式中，某些論元處於多個量詞的「轄域」之內，而且相對於不同量詞，可能處於不同的論元位置。以
論元C為例，它便處於"every"、"no"和"most"的「轄域」之內，而且相對於這三個量詞
，C分別處於左論元、右論元和右論元位置。由此可見，處於愈內層的論元便愈可能受到「遞減性」、「非單調
性」或「否定性」的影響，但只要靈活運用「單調性推理原理」和「多重否定律」，我們總能推斷出「迭代量
詞」各論元的「單調性」，以下筆者舉一個例子以作說明。
以前述的"(most ... no ... every)"為例，首先，由於most ∈ −MON↑，論元
A是「非單調」的。其次，由於no ∈ ↓MON↓，我們可以把"no"看成一種「左、
右論元否定詞」，因此論元B相當於受到一重否定，因而是「遞減」的，而處於更內層的C和D也受到至少一重否
定。最後，由於every ∈ ↓MON↑，我們可以把"every"看成一種「左論元否定詞
」，這樣論元C便總共受到兩重否定，因此C是「遞增」的，而只受到一重否定的D則是「遞減」的。此一結果與
上一小節的分析完全一致。根據上述結果，我們知道以下推理是有效的：
請注意在上述兩句中，儘管動詞「推薦」出現於句中，但它作為「謂詞性論元」卻對應於(10)中的最後一個論
元D。
我們還可以進一步研究各種否定對(10)的影響。由於(10)含有七個部分(四個論元和三個量詞)，相應地可以在
七個層面進行否定。我們不一定每次只對一個層面進行否定，而是可以同時對多個層面進行否定。現在假設我
們對量詞"most"和論元B進行否定，使(10)變為
由於量詞"most"位於最外層，對它的否定波及所有論元，而對B的否定則只影響B。不過由於論元A在 "most"影響下呈「非單調性」，它不受任何否定影響。至於論元B、C和D，則分別相當於受到三重、三 重和兩重否定，因此分別呈「遞減性」、「遞減性」和「遞增性」。根據上述結果，我們有以下有效推理：
請注意由於「三分結構」具有清晰簡潔的優點，即使對於一些結構複雜的「迭代量詞」，我們也能容易推導其 「單調性推理」模式。
「三分結構」也可用來分析「迭代<−,1>型量詞」的「單調性」，唯一不同之處是這類量詞沒有「名詞性 論元」，因此只需考慮其「謂詞性論元」的「單調性」。現在讓我們研究以下量詞的「單調性」：
根據前面對「光桿名詞短語」和「第一類泛化量化結構」的處理，這個量詞可以表達為以下「三分結構」：
在上式中，儘管"every"相當於一個「左論元否定詞」，但由於論元A相對於兩個"every"都是處 於右論元位置，所以不受任何否定影響，因而是「遞增」的。以下推理是上述結果的一個實例：
筆者在《廣義量詞系列：時間量化結構》中還介紹了「迭代結構化量詞」的 「三分結構」，其優點是簡潔地顯示了各個論元相對於各個量詞的「轄域」和論元位置，因此也可用來確定這 些論元的「單調性」。舉例說，以下量詞
可以表達為以下「三分結構」：
根據"more"的定義，我們可以把"more"的第一和第二論元分別看成「多」方和「少」方。根據 筆者在3.1小節總結出的規律，由於論元E跨越兩方，它是「非單調」的。由於論元B和D處於「少」方，它們受 到至少一重「遞減性」(即「否定性」)影響。由於論元D又處於"no"的「轄域」之內，它再受多一重否 定，因此B和D分別相當於受到一重和兩重否定，因而分別呈「遞減性」和「遞增性」。至於論元A和C，由於它 們處於「多」方，而且"some"並無任何「遞減性」或「非單調性」，所以它們都是「遞增」的。總括而 言，上述量詞是「第1、3、4論元遞增，第2論元遞減，第5論元非單調」的。以下推理是上述結果的一個實例：
我們還可以把上述推理方法推廣應用於含複雜定語的語句，首先考慮含有「定語分句」的句子，以下僅以一例 說明如何用「三分結構」推斷含「定語分句」的句子的「單調性」。試看以下句子：
上句可以表達為以下「三分結構式」：
上式顯示論元BOY、GIRL和LOVE都處在"every"的左論元位置上，由於"every"相當於一個「左論 元否定詞」，這三個論元都受到至少一重否定。由於"some"並無任何「遞減性」或「非單調性」，所以 處在其「轄域」內的GIRL和LOVE跟BOY一樣只受到一重否定，都呈「遞減性」。MOST-HAPPY則處在 "every"的右論元位置上，不受任何否定影響，所以呈「遞增性」。根據上述結果，我們有以下有效推 理：
其次考慮含有複雜「所有格結構」的句子。根據《廣義量詞系列：特殊單式量詞 》，我們可以把語句
表達為以下「三分結構式」：
從上式容易看到論元MEMBER、CAR和RED都呈「遞減性」，因此我們有以下推理：
由於這類語句包含多個量詞，當不同「單調性」的量詞組合在一起時，可能會令某些論元呈「非單調性」，試 看以下語句：
根據上述網頁，上句可表達為以下「三分結構式」：
從上式容易看到論元BOY和FIERCE都呈「遞增性」，至於DOG，則由於這個論元同時出現於"some"和 "every"的左論元位置，它受相反的「單調性」影響，結果它是「非單調」的。事實上，以下兩個推理 是無效的：
上面第一個推理的無效性是容易看到的，至於第二個推理之所以無效，是因為假如該推理的前件是真的，那麼 必有男孩擁有狗，但這並不蘊涵有男孩擁有黑狗，因而後件中的"some boys' black dogs"可能根本不存在，從 而使後件假。
筆者至今討論的「單調性推理」都只集中於「個體論域」上的量詞，但正如筆者在以往一再強調的，量化是自 然語言中的普遍現象，因此「單調性推理」也應適用於「個體論域」以外的論域。在本節筆者將把「單調性推 理原理」推廣應用於其他論域，從而解釋大量推理現象。不過由於並非筆者以往介紹過的每一種量化結構都有 合適的「母集-子集」概念(例如「程度」便沒有這樣的概念，我們難以定義何謂「xx程度的真子集」)，所以以 下的討論只局限於某些論域。
在眾多論域中，「時間論域」與「個體論域」最相似，「個體論域」中的多種量詞在「時間論域」中都有相應 的表現形式，因此上文提到的各種「單調性推理」模式可推廣應用於「時間論域」。舉例說，設集合A為「昨天 」，B 為「John穿著紅色T恤的時間」。那麼~A就是「昨天以外的時間」；而語句「John 在昨天以外的小部分 時間不穿紅色的T恤」則可表達為
現在研究這語句各論元的「單調性」。根據上一章的討論，(a minority of) ∈ −MON↓，因此在上式中，論元A具有非單調性，而B則相當於受到雙重否定，應該呈「遞增性」。由 此我們有以下有效推理：
筆者在《廣義量詞系列：時間量化結構》中曾指出，某些表達時間的語句可 被分析成含有「結構化量詞」或「迭代量詞」的句子，例如以下兩句
便可以分別表達為以下「三分結構式」(在下式中，HAVING-MEAL和PRAYING分別代表「John進餐」和「John祈禱 」的事件組成的集合)：
現在讓我們推斷以上兩式中各論元的「單調性」。首先，根據(12)，由於Time(PLAY-TV-GAME(j))和 Time(READ-BOOK(j))分屬"more"的「多」方和「少」方，而yesterday(X')則跨越兩方，上述三個論元 分別為「遞增」、「遞減」和「非單調」的。由此我們有以下有效推理：
其次，根據(13)，由於HAVING-MEAL和PRAYING分別位於"every"的左論元和右論元位置，這兩個論元分 別為「遞減」和「遞增」的。由此我們有以下有效推理：
筆者在《廣義量詞系列：模態量化結構》中曾指出，「相對模態句」(即各 種「條件句」)與「個體論域」上的量化句存在著對應關係。舉例說，以下五個抽象句式
可分別表達為以下「三分結構式」：
根據"every"、"some"、"only"、"(no except World(p)"和"(all except World(p)"的「單調性」以及「單調性推理原理」，容易知道以下推理是有效的(以下沒有關於"if and only if"和"except when ... otherwise"的推理，因為與這兩個連詞對應的量詞是「左、右非單調」的)：
對於「絕對模態句」，我們也能進行「單調性推理」，這是因為這類語句可以表達為「第一類泛化量化結構」 ，例如
由此可知以下推理是有效的：
筆者在上述網頁中還曾指出，「無人稱動詞句」可以表達為一種「模態量化句」。舉例說，語句「(現在)下雨 了」便可以表達為
由於上式中的wACTUAL相當於「可能世界論域」中的專有名詞，根據上面2.1小節的討論，可以推知 以下推理是有效的：
筆者在上述網頁亦指出，借助「命題論域」，我們可以把「p真和q真」以及「p真或q真」分別表達為以下「三 分結構式」：
我們首先研究以上兩式的「左單調性」，根據"every"的「左遞減性」和"some"的「左遞增性 」，我們得到以下有效推理：
上述兩個推理分別正是「命題邏輯」中的「合取消去律」和「析取引入律」。
接著我們還可以研究以上兩式的「右單調性」。根據當前邏輯學和形式語義學的分析，有一類「生成世界的謂
詞」稱為「事實謂詞」(Factitive Predicate)，包括"know"、"regret"等。這類謂詞的語義特點是，當它們與
任一命題p連用後，便預設該命題是真的，即對任何命題而言，
從「命題論域」的角度看，這等於說BILL-KNOW、BILL-REGRET、~BILL-KNOW和~BILL-REGRET是TRUE的真子集。 把上述結果應用於「單調性推理」中，我們便有以下有效推理模式：
用日常語言表達，這就是
筆者在上述網頁還曾指出，可以把混合了「合取」／「析取」的複合命題表達為「迭代三分結構」，現在我們 看如何用「單調性推理原理」推導一些有趣的結果。舉例說，命題(p ∧ q) ∨ (r ∧ s)可以表達為
儘管上式像前面介紹過的「迭代三分結構」那樣包含兩層「三分結構」，但各層之間沒有變項聯繫，無法應用 前面的「定理2」和「定理3」，所以各層論元的「單調性」只受該層量詞影響，例如{p, q}和{r, s}的「單調 性」只受"every"影響，不受"some"影響。因此在分析各論元的「單調性」時，只需逐層各自分 析，無須應用「多重否定律」。現在我們考慮上式中內層的兩個集合{p, q}和{r, s}，它們的「單調性」受 "every"影響。由於"every"是「左遞減」的，我們可以從這兩個集合中各去掉至少一個元素， 所得結果仍將為真。其次，考慮外層的集合{every({p, q})(TRUE), every({r, s})(TRUE)}， 這個集合的「單調性」受"some"影響。由於"some"是「左遞增」的，我們可以在這個集合中隨 意加入任何元素(例如命題t)，所得結果仍將為真。由此，我們可以得到以下有效推理：
上式不是唯一有效的推理結果。事實上，根據以上討論，我們至少還可以有以下推理結果：
請注意上述推理結果完全可以根據以下等式並綜合運用「合取消去律」和「析取引入律」得到：
上述結果再一次顯示，利用「量化結構」的概念，我們可以把「命題邏輯」中的很多結果解釋成某個統一框架 下的特例。
筆者在《廣義量詞系列：相關詞與度量結構》中曾指出，「最高級」和「 比較級」分別與量詞"every"和"some"存在某種對應關係，因此原則上我們也可以對「比較結 構」進行「單調性推理」。試看以下語句及其「三分結構式」：
由於"every"和"some"都具有「右遞增性」，而且
容易得到以下有效推理：
在考察「比較結構」的「左單調性」時，則存在一個問題，這就是「最高級」和「比較級」語句一般帶有預設 ，例如上面的例句便預設了John是語句中所提到的那一「班」(即上式中的集合CLASS)的一分子。以往筆者在討 論這類結構的「直接推理」和「三段論推理」時，只要規定有關語句是有關同一個集合CLASS，通常不會產生問 題。可是，由於「單調性推理」涉及到真母／子集的問題，便可能產生不符合預設的問題。由於
所以「比較級」語句的「左遞增推理」不會引致不符合預設的問題，例如以下推理：
但由於
所以「最高級」語句的「左遞減推理」可能會引致不符合預設的問題，例如以下推理(假設John是男生)：
不過，上述推理的問題只是由於「最高級」的預設問題。如果我們改用另一種不帶上述預設的方法表達上面推 理中的後件，上述問題便不再存在，例如：
筆者在上述網頁中還指出了一般「序數詞」與「例外量詞」的對應關係，即「序數詞」"nth"對應著「例外量詞 」"(all except n − 1)"。由於在上一章中，筆者已證明上述形式的「例外量詞」具有「左、右 非單調性」，我們可以推斷以下推理的無效性：
不過，上述論斷不適用於"first"和"last"這兩個極端「序數詞」。由於這兩個「序數詞」分別對應著量詞 "every"和"no"，它們具有與這兩個量詞相似的推理模式，例如：
筆者在上述網頁中亦介紹了「不可數名詞」和「部分-整體關係」，並指出可以使用「整體」的概念表達這兩類 結構。舉例說，以下兩句
便可以分別表達為(在下式中，RIVER代表正在談論中的那條河的河水)：
接著讓我們分析以上兩句的「單調性」，首先考慮(14)。儘管(14)中的「⊆」是「整體論」下的關係，但 容易驗證此一關係具有與集合論下的「包含」關係相同的性質，因此該句具有與「全稱量化句」相似的推理模 式，例如
其次考慮(15)。有些人可能覺得由於(15)表現為一個等式，該句似乎具有「非單調性」。但回顧上述網頁， (15)原來的形式是
只是由於在上式中，「⊆」左邊的集合是右邊的集合的母集，根據集合論的原理，我們才把上式改寫為 (15)。事實上，不論是根據上式還是根據「全」字的語義，「John全身濕透」都應被理解為一個「全稱量化句」 ，因此應具有以下推理模式：
我們可以用反證法來證明即使根據(15)，上述推理仍是有效的。首先把(15)中「=」號兩端的集合分解為兩個互 斥的集合(分別代表John的上、下半身)：
並假設(16)的後件不成立，即
那麼基於(15)、(17)－(19)，必有
但這是不可能的，由此證明(16)的後件必真，即該推理是有效的。
「單調性推理」在本質上是有關集合的推理，但其原理其實與某些數學原理有相通之處。筆者在3.1小節總結出 的一般原理便對應著以下有關數值比較的事實：
以下是上述原理的一些推理實例：
我們可以把上述原理應用於某些「量化結構」的推理中，這是因為在某些情況下，我們需要直接對「量化結構」 的數值進行推理。舉例說，筆者在《廣義量詞系列：時間量化結構》中曾指 出，表達「絕對時間量」的「三分結構式」Q(A)(B)中的Q和A、B應分別採取數學運算符和數值(可能含有計量單 位)的形式，例如：
由於「John睡覺的時段集合」是「John熟睡的時段集合」的母集，「John贏得頭獎的事件集合」則是「John得 獎的事件集合」的子集，而母集的基數必然不少於子集的基數，我們有以下有效推理：
我們可以綜合運用前述的各種原理，推斷「混合量化結構」的「單調性」，以下僅舉一例以作說明。語句
涉及「可能世界論域」、「個體論域」和「時間論域」，可以表達為以下「三分結構式」(在下式中，TIME(a) 代表「該節目的頒獎環節所佔去的時段」)：
現在讓我們分析上式中各論元的「單調性」。由於"every"相當於「左論元否定詞」，而CHAMPION位於 兩個"every"的左論元位置上，這個論元相當於受到雙重否定，因而是「遞增」的。SONG和SING則位於 外層"every"的左論元和內層"every"的右論元位置上，這兩個論元相當於受到一重否定( "(at least 1)"沒有「否定性」)，因而是「遞減」的。上式中的
則表達了一個數值比較關係，根據5.6小節的討論，我們可以把這個「不等式」中的「|Time(a)|」和「1 h」分 別換成較大和較小的數字而不影響「不等式」的有效性。基於以上分析，我們有以下有效推理：
在上一節筆者沒有討論「空間論域」，這是因為「空間關係詞項」(包括表達空間關係的介詞以及少數動詞／形
容詞，如"overlapping"等)有其獨特的「單調性」概念。事實上，Zwarts和Winter在Vector Space
Semantics: a Modeltheoretic Analysis of Locative Prepositions一文中為這類詞項定義了兩種「單調
性」，本節將介紹這些概念。
筆者在《廣義量詞系列：空間量化結構》中曾指出，我們可以採取兩種方式
處理「空間關係詞項」。以"above"為例，我們既可以把它處理成以一個點集合為輸入值，並輸出一個向量集合
的一元函項ABOVE，也可以把它處理成以兩個點集合為輸入值，並輸出一個真值的二元函項above，例如
語句「A在B之上」便可以有以下兩種表達法：
以下介紹的兩種「單調性」將分別用到上述兩種表達方式，為清楚區別這兩種方式，以下將沿用上述網頁的辦 法，用大寫正體字母表示「空間關係一元函項」(例如ABOVE)，並用小寫斜體字母表示「空間關係二元 函項」(例如above)。
如前所述，我們可以把某些含有「空間關係詞項」的語句表達為「三分結構」Q(A)(B)的形式，其中Q是「空間
關係二元函項」，A和B則是點集合。這樣我們便可以把「<1,1>型量詞」的「單調性」概念推廣應用於「空間關
係二元函項」，從而得到「點單調性」(Point Monotonicity)的概念(註5)，其中「左／右遞增／遞
減／非單調」等概念的定義跟「<1,1>型量詞」的相應概念大致相同，這裡不再贅述。惟須注意的是，為區別於
下文要介紹的另一種「單調性」，本文使用「PMON」作為「點單調性」的代號，例如↓PMON↑便代表
具有「左點遞減性、右點遞增性」的「空間關係詞項」組成的集合。
正如筆者在以往指出的，「空間關係詞項」"inside"、"outside"和"overlapping"分別
與量詞"every" 、 "no" 和 "some"存在對應關係，所以這三個「空間關係二元函項」
也分別具有與上述三個量詞相似的「左、右點單調性」，即
以下是上述結果的推理實例：
除了上述三個最基本的「空間關係二元函項」外，其他「空間關係二元函項」大多數是「左、右點非單調」的 。現以"above"為例作出說明，請看下圖：
在上圖中，B' ⊆ B ⊆ B''。我們發現儘管「A在B之上」是真的，但「A在B'之上」卻是假的，這是因
為B'某些以A的點為「終點」的「外部最近向量」(例如圖中的v)與垂直線的夾角大於45°，不符合
筆者在上述網頁介紹的"above"的定義(該定義要求|vup| >
|v⊥up|)。同樣，上圖亦顯示「A在B''之上」也是假的，因為事實上A是在B''之內。
總上所述，"above"是「右點非單調」的，同理亦可以證明"above"也是「左點非單調」的。對
於其他表達空間位置的介詞，也可以用相似的方法證明其「左、右點非單調性」。
表達距離的「空間關係詞項」的情況則有所不同。首先考察"(far away from)"，筆者在
《廣義量詞系列：三段論推理的革新》的(15)中實際上證明了
由此可見，"(far away from)"是「右點遞減」的。基於相同原理，也易證"(far away from)" 是「左點遞減」的，即
根據對稱性，"(far away from)"的反義詞"near"似乎應該屬於↑PMON↑。但根據定義 ，「near(A)(B)」成立的必要條件是A與B不重疊。可是，當我們把A或B換成其真母集A'或B'時，無法保 證A與B'不重疊，或A'與B不重疊。由此可見，"near"實際上屬於−PMON−。基於相同理由， 表達極短距離的"on"也屬於−PMON−。
正如上一小節所述，自然語言中大多數「空間關係詞項」都是「左、右點非單調」的，因此儘管「點單調性」 的概念相當直觀，但似乎是一個沒有太大適用性的「單調性」概念。為此，Zwarts和Winter又引入了「向 量單調性」(Vector Monotonicity)的概念。在介紹此一概念前，我們需要「左向量序」(Left Vector Order)和「右向量序」(Right Vector Order)的定義(註7)：對任何一對具有相同「起點」的 向量v、v'而言，我們說v ≤l v'當且僅當存在一個實數r ≥ 1使得v' = r • v。對任何一對具有相同「終點」的向量v、v'而言，我們 說v ≤r v'當且僅當存在一個實數r ≥ 1使得v' = r • v。上文定義中「≤」的下標「l」和「r」分別代表「左向量序」和「右向量序」。以下兩圖直觀地 顯示「左向量序」和「右向量序」的概念：
有了上述概念，我們便可以作出如下定義：設P為「空間關係一元函項」，A、B為點集合。我們說P是「左 向量遞增」(Left Vector-Increasing)的當且僅當
P是「左向量遞減」(Left Vector-Decreasing)的當且僅當
P是「右向量遞增」(Right Vector-Increasing)的當且僅當
P是「右向量遞減」(Right Vector-Decreasing)的當且僅當
有關「左／右向量(非)單調」的概念類似「<1,1>型量詞」的相應概念，這裡不予贅述。類似上文，以下使用「
VMON」作為「向量單調性」的代號。
以下以「空間關係一元函項」ABOVE為例闡明上述概念，這個函項是「左、右向量遞增、遞減」的(註8)，即
以下四圖可驗證ABOVE滿足(20)－(23)的條件：
我們可以把上述結果應用於某些日常推理中。舉例說，從上面最左圖，我們可以得到以下「左向量單調性推理」 (以下把A理解為某幢房子的屋頂，並把v和v'分別理解為某架飛機和某隻鳥兒在某一時刻相對於 屋頂的位置向量)：
| 前提1： | 鳥兒在屋頂之上。 |
| 前提2： | 鳥兒介於屋頂與飛機之間。 |
| 結論： | 飛機在屋頂之上。 |
請注意基於上面對「向量序」的定義，我們在這裡必須把「X介於Y與Z之間」理解為「X在Y與Z的某條連線的某
一中間點上」，而不能是前述網頁中介紹的較寬鬆的空間關係BETWEEN。比較上面的「前提1」和「結論」，可
以看到上述推理涉及語句「above(A)(B)」中左論元A的變化，故稱為「左向量單調性推理」。
同理，從上面最右圖，我們可以得到以下「右向量單調性推理」(以下把A和B分別理解為山頂和雲層，並把
v和v'分別理解為某架飛機相對於山頂和雲層的位置向量)：
| 前提1： | 飛機在山頂之上。 |
| 前提2： | 雲層介於山頂與飛機之間。 |
| 結論： | 飛機在雲層之上。 |
請注意上述推理涉及語句「above(A)(B)」中右論元B的變化，故稱為「右向量單調性推理」。
容易看到，大多數表達空間位置的詞項都具有ABOVE那樣的「向量單調性」(註9)，不過也有少數例外。INSIDE
便是一個顯著的例子，儘管這個詞項是「左向量遞減」的，但卻不是「左向量遞增」的，這是因為把點集合A的
某一個「內部最近向量」延長後，所得結果不一定仍是A的「內部最近向量」(該向量的「終點」可能不再在A
內)。至於「右向量單調性」，以下兩圖顯示，儘管v'是B的「邊界向量」，但卻不一定是B的「內部最
近向量」：
由此得到
以下是上述結果的推理實例：
| 前提1： | X在A之內。 |
| 前提2： | Y介乎X與A之間。 |
| 結論： | Y在A之內。 |
惟請注意，由於INSIDE在語義上的特殊性，上面「前提2」中的「Y介乎X與A之間」代表著與前面所述很不同的 情況，至少可包括以下兩種情況：
最後討論表達距離的「空間關係詞項」。容易看到，
這是因為當我們把一個本來大於某長度標準s的向量朝箭頭或箭尾方向延長後，所得向量的長度也必大於s；但 在把這個向量縮短後，所得向量的長度卻不一定仍大於s。基於相同原理，與FAR-AWAY-FROM相反的NEAR以及表 達極短距離的ON應具有相反的「向量單調性」，即
「單調性推理」是當代廣義量詞理論提出的新推理模式，但它與古典推理卻有一定的聯繫。Hoeksema在 Monotonicity Phenomena in Natural Language一文中便指出「單調性推理」與古代的「曲全公理」 (Dictum de Omni et Nullo)有相通之處(註10)，而「曲全公理」又是「三段論推理」的普遍依據，由此可見「 單調性推理」與「三段論推理」的聯繫。事實上，我們可以把某些「三段論推理」的有效格式重新詮釋為當代 的「單調性推理」。以「AAA-1式」為例，其抽象格式可以表達為
| 大前提： | every(A)(B) |
| 小前提： | every(A')(A) |
| 結論： | every(A')(B) |
請注意我們可以把上述推理模式重寫為
上式正是"every"的「左遞減性」的定義，由此我們可以把傳統「三段論推理」的「AAA-1式」看成 "every"的「左單調性推理」的古典版本，其餘某些「三段論推理」的有效格式也可以作類似的詮釋。 由此可見，我們可以把當代的「單調性推理」看成把某些「三段論推理」有效格式從"every"、 "some"和"no"推廣至更多量詞的嘗試。
到目前為止，筆者所討論的「左／右單調性」的定義都是把「三分結構」Q(A)(B)中的Q固定而讓A／B變化。現
在的問題是，如果我們把A和B固定而讓Q變化，能否得到一種新的「單調性」定義？本小節嘗試探討這個問題。
根據筆者在《廣義量詞系列：直接推理的革新》提出的「對當方陣一般模
式(第二形式)」，給定「單向蘊涵關係」：
便可構造以下「對當方陣」：
現在讓我們從另一個角度看上圖的「差等關係」。根據集合論，兩類事物之間的關係可理解為由「集合有序對」 組成的集合。由於「<1,1>型量詞」表達兩個集合之間的關係，它們可以被看成「集合有序對」的集合，例如 "every"便可以定義為
這樣，語句「Q(A)(B)」便可以重新表達為 (A, B) ∈ Q，而前述的(24)則可以改寫為
但上式正是「真子集」的定義，即
這樣我們便把量詞重新理解為集合，並把量詞之間的「差等關係」重新理解為集合之間的「真包含關係」。同 樣，量詞之間的「蘊涵關係」也可以重新理解為集合之間的「包含關係」：
舉例說，根據「古典對當方陣」，我們有(假設「主語存在預設」成立)：
把量詞看成集合(一種「高階集合」)後，我們便可以定義作用於這些集合的「高階算子」。由於在廣 義量詞理論下，量詞被視為語句(即命題)的核心，作用於量詞的算子就是作用於命題的算子，即「命題聯結詞」 ，因此我們可以把「命題聯結詞」看成「高階算子」。下表列出一些常用「高階算子」的真值條件(在下表中， A、B、C、D為集合)(註11)：
| 論元結構 | 真值條件 |
|---|---|
請注意在上表中，"not"被定義為「高階一元算子」，它以一個量詞作為其論元，把
"not"作用於量詞Q後，所得結果"not(Q)"相當於一個「<1,1>型量詞」(它以兩個集合作為其論
元)；"if"(以及其餘四個算子)則被定義為「高階二元算子」，它以兩個量詞作為其論元，把
"if"作用於量詞Q和Q'後，所得結果"if(Q)(Q')"相當於一個「<<1,1>,<1,1>>型量詞」(它以四
個集合作為其論元，這四個集合又分成兩組)。
接著讓我們考察「高階一元算子」"not"的「高階單調性」(Higher Order Monotonicity)。
根據上述「對當方陣」以及表1的定義，我們有
把上述結果與筆者以往提出的「遞減性」的定義比照一下，可以看到上述結果其實反映了一種「遞減性」。事 實上，一般地，給定「高階一元算子」O1，我們可以把「遞減性」定義為
利用(25)，我們可以進一步把上述定義化簡為
現在容易看到，(26)與(27)具有相同的形式。由此我們得到以下結果(在下式中，HMON代表「高階單調性」)：
仿照上面的處理方法，我們可以定義「高階二元算子」的「左、右單調性」如下：設O2為「高階二 元算子」，那麼O2的「左遞減性」可定義為
其他「單調性」概念也可以作出類似定義。舉例說，"if"就是「左遞減」的，以下讓我們來證明這一點 。設Q' ⊆ Q和[if(Q)(Q'')]((A)(B))((C)(D))，那麼根據(25)和表1，我們分別有
根據「假言三段論」，我們有
而根據表1，上式等同於
由此可見，"if"滿足(28)的條件，即"if"是「左遞減」的。類似地，我們也可以證明 "if"是「右遞增」的，即
以下是上述結果的一個推理實例：
基於相同原理，我們也可以證明其他「高階二元算子」的「高階單調性」：
請注意普通的「單調性推理」是同一個量詞下的推理，通過「高階單調性」的概念，我們可以得到不同量詞之 間的推理模式，而這正是「對當關係推理」的特點，由此我們看到了傳統「對當關係推理」與當代「單調性推 理」的聯繫。
註1：其實上述網頁也討論了「<1,1,1>型疑問量詞」，不過由於「<1,1,1>型疑問量詞」在本質上只是在「 <1,1>型陳述量詞」的原有論元結構上加上一個「解答論元」後形成的量詞，所以我們可以把「<1,1,1>型疑問 量詞」看成「<1,1>型陳述量詞」的變體。
