Tomografia de raios X

Projeções

Como exposto na seção introdução, a tomografia tem como objetivo apresentar a estrutura interna de um objeto. Em tomografia de raios X, a imagem interna obtida ao final de uma reconstrução representa a distribuição bidimensional dos coeficientes de atenuação do objeto.

A figura 1 apresenta a seção transversal de um objeto a uma altura qualquer. A função f(x,y) representa o coeficiente de atenuação de raios X no ponto (x,y). Esta representação será utilizada no desenvolvimento a seguir. Esta dedução baseia-se no livro Principles of computerized tomographic imaging, de Avinash C. Kak e Malcolm Slaney.

[Fig. 1] Representação dos coeficientes de atenuação de uma seção transversal.

Para realizar a reconstrução de uma seção transversal, a tomografia baseia-se em medições externas ao corpo em análise. Cada tipo de tomografia utiliza uma espécie diferente de medida.

A tomografia de raios X utiliza, como informação externa, a atenuação que um feixe de raios X sofre ao atravessar um objeto. Ao atravessar um objeto ao longo de um determinado caminho reto, um feixe monocromático obedece à Lei de Beer-Lambert:

  (1)

onde µ(x,y) ou f(x,y) é o coeficiente de atenuação no ponto (x,y), N_i é o número de fótons que entram no objeto e N_d é o número de fótons que saem do objeto.

Como em um objeto real o coeficiente de atenuação varia de um ponto para outro, a atenuação sofrida por um raio X ao longo de um caminho A não será necessariamente igual à atenuação sofrida ao longo de um caminho B. Em outras palavras, o número de fótons N_d que emergem de uma trajetória A não será necessariamente igual ao número de fótons provindo de uma trajetória B.

A figura 2 mostra a seção transversal de um objeto sendo atravessada por um feixe de raios X paralelo (todos os raios do feixe são paralelos). A parte superior da figura apresenta a curva da atenuação sofrida pelo feixe em função da coordenada t.

[Fig. 2] Objeto atravessado por um feixe de raios X e projeção.

A amplitude da curva para um determinado valor t=t₁ é função dos coeficientes de atenuação ao longo do caminho AB. A curva P(t) é denominada projeção e constitui a informação necessária para a reconstrução de uma seção transversal.

Na figura acima, o eixo t representa uma linha de detectores. Cada ponto da curva P(t) é dado pela intensidade medida por cada detector.

Existem três tipos de projeções: projeções paralelas (ou projeções de feixe paralelo), projeções de feixe em leque e projeções de feixe em cone. A figura 2 mostra um exemplo de projeção paralela (parallel projection).

A figura 3 apresenta uma projeção de feixe em leque (fan beam projection). Neste tipo de projeção, todos os raios têm origem em um ponto (fonte) e abrem-se na forma de um leque.

[Fig. 3] Projeção de feixe em leque.

Uma projeção de feixe em cone (cone beam projection) é ilustrada na figura 4. Neste caso, vários feixes em leque emergem da fonte, atravessando o objeto em diversas alturas e atingindo um detector planar.

[Fig. 4] Projeção de feixe em cone.

O eixo t, entretanto, pode ter uma orientação qualquer, não necessitando estar paralelo ao eixo x como na figura 2. A figura 5 apresenta uma projeção P_q(t), onde q é o ângulo formado pelos eixos t e x.

[Fig. 5] Caso geral: projeção P_q(t).

Assim, para o caso geral, uma projeção P_q(t) é dada pela integral de linha abaixo, onde (q,t) representa as coordenadas da trajetória percorrida por um raio X.

  (2)

O sistema de coordenadas (t,u) corresponde à rotação do par de eixos (x,y) de um ângulo q:

  (3)

Utilizando a equação (2) e a expressão acima relativa a t (t = xcosq + ysenq), pode-se escrever a projeção P_q(t) da seguinte forma:

  (4)

A equação acima é conhecida como a Transformada de Radon da função f(x,y).