Tomografia de raios X

Reconstrução de imagens

Segundo o Teorema da Projeção de Fourier, a transformada de Fourier de uma projeção que forma um ângulo q com o eixo x fornece os valores da transformada bidimensional do objeto ao longo de uma linha radial formando o mesmo ângulo com o eixo u. Desta forma, calculando a transformada de Fourier de um numero grande de projeções formando vários ângulos com o eixo x, obtém-se os valores da transformada bidimensional do objeto ao longo de várias linhas radiais:

[Fig. 1] Pontos da transformada bidimensional
obtidos a partir da transformada de várias projeções.

É possível obter a imagem da seção reta original a partir desta distribuição de pontos. Para isso, são necessárias duas etapas: (a) uma interpolação de forma a obter pontos distribuidos em coordenadas cartesianas e (b) a transformada bidimensional de Fourier inversa, fornecendo os valores da imagem no domínio do espaço. Este método é conhecido como reconstrução direta de Fourier (direct Fourier reconstruction).

Devido à dificuldade de interpolação de coordenadas polares para coordenadas cartesianas, esta técnica de reconstrução é pouco empregada.

A técnica mais conhecida e utilizada de reconstrução de imagens é a retroprojeção filtrada (filtered backprojection). Como será visto a seguir, este método, que tem como fundamento o Teorema da Projeção, faz proveito de uma mudança de coordenadas dos argumentos da transformada bidimensional inversa de Fourier.

A transformada de Fourier inversa de duas dimensões é dada pela equação (12):

(12)

Transformando esta expressão de coordenadas cartesianas (u,v) para coordenadas polares (w,q),

(13)

Separando os limites da integral acima de 0 até p e de p até 2p, obtém-se a equação (14):

(14)

A transformada de Fourier em coordenadas polares obedece à seguinte propriedade:

(15)

A substituição desta propriedade na equação (14) resulta na equação (16):

(16)

Aplicando o Teorema da Projeção (equação 11) na equação acima, obtém-se:

(17)

Esta expressão é a equação principal do método da retroprojeção filtrada. Este nome surge da interpretação da equaçao (17) ao ser dividida em duas integrais:

(18)

(19)

A equação (18) é a transformada inversa de Fourier do produto S_q(w)|w|. Esta multiplicação representa a filtragem da projeção P_q(t) (cuja transformada é S_q(w)) pela função |w|. Q_q(t) é denominada projeção filtrada. O gráfico do filtro |w|, conhecido como filtro rampa, está apresentado na figura abaixo. Este filtro também é conhecido como filtro de Ramachandran-Lakshminarayanan, ou simplesmente filtro Ram-Lak.

[Fig. 2] Filtro rampa.

A equação (19) representa a operação de retroprojeção das projeções filtradas Q_q(t). O valor de um determinado ponto de coordenadas (x,y) da imagem original é dado pelo somatório (ou integral) dos diversos valores Q_q(xcosq + ysenq), para q variando de 0 a p. A figura 3 mostra o significado da contribuição de uma projeção filtrada Q_q₁(t) qualquer.

[Fig. 3] Retroprojeção para reconstrução de uma imagem.

Para o ângulo q₁, o valor da projeção filtrada Q_q₁(t) que contribuirá para o valor final no ponto (x,y) é dado pela coordenada t₁ = xcosq₁ + ysenq₁. Para o mesmo ângulo q₁ e o ponto (x',y'), o valor da coordenada t será o mesmo: t₁' = x'cosq₁ + y'senq₁ = t₁.

Portanto, o valor da projeção filtrada Q_q₁(t₁) é retroprojetado na região da imagem original, contribuindo para todos os pontos ao longo da reta t = t₁. Todos os valores de Q_q₁(t) são desta maneira retroprojetados na região da imagem original. Este processo é realizado para todos os ângulos q_i em que foram adquiridas as projeções P_{q_i}.