Tomografia de raios X

Teorema da projeção de Fourier

O Teorema da Projeção, também conhecido como o Teorema da Faixa Central, relaciona as projeções paralelas de um objeto com sua transformada de Fourier bidimensional. Este teorema é de grande importância e constitui uma ferramenta fundamental para o método de reconstrução por retroprojeção filtrada.

O Teorema da Projeção de Fourier baseia-se nas transformadas de Fourier unidimensional e bidimensional. As equações (5) e (6) apresentam as definições das transformadas de Fourier unidimensional e bidimensional, respectivamente:

  (5)

  (6)

Como definido na seção projeções, f(x,y) representa a distribuição dos coeficientes de atenuação da seção transversal de um objeto. Tomando esta transformada para o caso particular em que v=0, obtém-se a seguinte expressão:

  (7)

A equação (7) pode ser reescrita da seguinte maneira:

  (8)

A integral entre colchetes da equação (8) é um caso particular da equação (2). A integral corresponde à projeção do objeto ao longo de linhas paralelas ao eixo y (ou seja, à projeção de ângulo q=0):

  (9)

Portanto, F(u,0) é igual à transformada de Fourier unidimensional S₀(x) da projeção P₀(x):

  (10)

A dedução acima pode ser extendida para o caso geral, no qual calcula-se a transformada de uma projeção subtendendo um ângulo q qualquer com o eixo x. Encontra-se então a equação (11), que é a forma geral do Teorema da Projeção de Fourier:

  (11)

A figura 1 ilustra o Teorema da Projeção: a transformada de Fourier unidimensional de uma projeção formando um ângulo q com o eixo x é igual aos valores da transformada bidimensional do objeto ao longo de uma linha radial subtendendo o mesmo ângulo q com o eixo u.

[Fig. 1] Teorema da Projeção de Fourier.