การเปลี่ยนเลขฐานหนึ่งเป็นเลขอีกฐานหนึ่ง (Base Conversion)

การเปลี่ยนเลขจากฐานหนึ่งไปเป็นเลขอีกฐานหนึ่ง นิยมเปลี่ยนเป็นเลขฐานสิบก่อน แล้วจึงเปลี่ยนไปยังเลขฐานที่ต้องการ

แต่ในบางกลุ่มของระบบเลขฐาน เช่น เลขฐานสอง เลขฐานแปด เลขฐานสิบหก สามารถจะเปลี่ยนจำนวนเลขกันได้โดยตรง โดยไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนเป็นเลขฐานสิบก่อน ดังรายละเอียดในหัวข้อการเปลี่ยนฐานนั้นๆ

การเปลี่ยนระหว่างเลขฐานสิบและเลขฐานสอง

เนื่องจากมนุษย์เราคุ้นเคยกับการใช้ระบบเลขฐานสิบในการคิดคำนวณตามปกติ แต่ไม่คุ้นเคยกับการใช้ระบบเลขฐานสอง ซึ่งเป็นระบบเลขฐานที่ใช้ในการคำนวณในดิจิตอลคอมพิวเตอร์ ดังนั้นการรับรู้และเข้าใจถึงกระบวนการในการเปลี่ยนระบบเลขจากฐานสิบเป็นฐานสอง และจากระบบเลขฐานสองเป็นฐานสิบจะทำให้เกิดความเข้าใจในระบบการทำงานของคอมพิวเตอร์ได้ดี่ขึ้น

การเปลี่ยนระบบเลขฐานสองเป็นระบบเลขฐานสิบ

ในการเปลี่ยนระบบเลขฐานสองเป็นระบบเลขฐานสิบนั้น เราสามารถดำเนินการได้ 2 วิธี คือ

1. วิธีคำนวณหาค่าของเลขในแต่ละหลัก

เป็นวิธีการคำนวณหาค่าของเลขโดด (บางครั้งเรียกว่า บิท) ในแต่ละหลัก โดยคูณเลขโดดด้วยค่าประจำหลักนั้นแล้วรวมค่าที่ได้เข้าด้วยกัน จะเป็นคำตอบในระบบเลขฐานสิบ

ตัวอย่าง

กำหนดเลขในระบบฐานสอง 101010 จงเปลี่ยนให้เป็นระบบเลขฐานสิบ
วิธีทำ

ขั้นที่ 1

เขียนกระจ่ยตามค่าประจำหลักได้ดังนี้

101010

ขั้นที่ 2

คำนวณค่าตามระบบเลขฐานสิบแล้วรวมเข้าด้วยกัน จะได้

32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0

ถ้าเลขในระบบฐานสองเป็นเลขที่มีจุดทวิภาคก็ทำได้ทำนองเดียวกันคือ ในส่วนของเลขหน้าจุดก็กระจายตามค่าประจำหลักดังในกรณีตัวอย่างข้างบน ส่วนเลขหลังจุดก็กระจายตามค่าประจำหลักหลังจุดทวิภาค แล้วคำนวณค่าตามระบบฐานสิบ แล้วก็รวมเป็นจำนวนเดียวกัน

ตัวอย่าง

จงเปลียนเลขในระบบฐานสอง 10011.1101 ให้เป็นเลขในระบบฐานสิบ

วิธีทำ

10011.1101	=
	=	16 + 0 + 0 + 2 + 1 +0.5 + 0 + 0.0625
	=	19.8125

2. วิธีคูณและบวก

วิธีคูณและบวกนี้เราดำเนินการได้โดยการเขียนเลขในระบบเลขฐานสองให้ห่างกันแล้วกระทำดังนี้

1. เริ่มจากเลขหลักซ้ายมือสุด โดยนำ 2 ไปคูณเข้าไป แล้วนำผลที่ไปบวกกับเลขในหลักขวามือถัดมา (หลักสูงสุดที่ 2) เขียนผลลัพธ์ในหลักเลขที่นำมาบวกนั้น

2. นำ 2 คูณเข้ากับผลลัพธ์ใน (1) แล้วบวกกับเลขในหลักขวามือถัดขวา (หลักสูงสุดที่ 3) เขียนผลลัพธ์ไว้ใต้หลักสูงสุดที่ 3

3. กระทำเช่นนี้เรื่อยๆ จนถึงหลักขวามือสุด ผลลัพธ์สุดท้ายที่ไดคือคำตอบ

ตัวอย่าง

จงเปลี่ยนค่า 101101 ในระบบเลขฐานสองให้เป็นระบบเลขฐานสิบ

วิธีทำ

1	0	1	1	0	1
	2 x 1 + 0 = 2	2 x 2 + 1 = 5	5 x 2 + 1 = 11	11 x 2 + 0 = 22	22 x 2 + 1 = 45

ดังนั้น คำตอบคือ 45

การเปลี่ยนระบบเลขฐานสิบเป็นระบบเลขฐานสอง

ในการเปลี่ยนระบบเลขฐานสิบเป็นเลขฐานสองนั้น เราสามารถดำเนินการได้ 2 วิธี คือ

1. วิธีกระจายฐานสองยกกำลัง

วิธีการนี้ดำเนินการเป็นขั้นตอนดังนี้

1. พิจารณาค่ายกกำลังของ 2 ที่มีค่าใกล้เคียงกับเลขในระบบฐานสิบที่ต้องการเปลี่ยนมากที่สุด และไม่เกินเลขฐานสิบ นั่นคืิสามารถนำไปลบออกจากเลขฐานสิบได้

2. นำเลขยกกำลังของ 2 ที่ได้ไปลบออกจากเลขฐานสิบที่กำหนดให้ ค่าที่ได้ให้เป็นผลต่างในคั้งที่1

3. พิจารณาค่ายกกำลังของ 2 ที่มีค่าใกล้เคียงกับผลต่างที่ได้ในขั้นที่ 2 มากที่สุดและมีค่าไม่เกินผลต่างนั้น

4. นำเลขยกกำลังของ 2 ที่ได้ในขั้นที่ 3 ไปลบออกจากผลต่างในครั้งทื่ 2 เป็นผลต่างครั้งที่ 2

ดำเนินการในลักษณะเช่นนี้ไปเรื่อยๆ จนกว่าจะลบหมด

สำหรับค่ายกกำลังของ 2 ที่นำใาลบแต่ละครั้ง ถ้าลบได้ให้ใส่เลข 1 ลงไป แต่ถ้าค่าที่ยกกำลังขอ 2 แล้วลบไม่ได้ให้ใส่เลข 0 ลงไป โดยต้องคิดทุกๆ ตัว ตั้งแต่ตัวแรกที่ลบได้เป็นต้นมา

ตัวอย่าง

จงเปลี่ยน 37 ในระบบเลขฐานสิบ ให้เป็นระบบเลขฐานสอง

การดำเนินการ	เลขในระบบฐานสอง
37 - = 5	1 (หลักที่มีค่ามากที่สุด)
5 - ลบไม่ได้	0
5 - ลบไม่ได้	0
5 - = 1	1
1 - ลบไม่ได้	0
1 - = 0	1

จะได้ 100101 เป็นเลขในระบบเลขฐานสองที่มีค่าท่ากับ 37 ในระบบเลขฐานสิบ

2. วิธีหารด้วยสอง หรือวิธีเศษหาร

วิธีนี้เป็นวิธีที่นิยมใช้กันมาก ดำเนินการได้ด้วยการนำเลข 2 ไปหารเลขฐานสิบที่กำหนดให้ ได้ผลหารและเศษไปเรื่อยๆ เมื่อมีเศษก็จะมีเศษเป็น 1 เสมอ และถ้าหารลงตัวจะไม่มีเศษ หรือเศษเป็น 0 ดำเนินการหารด้วย 2 ไปเรื่อยๆ จนกว่าจะได้ผลลัพธ์เป็น 0 จึงหยุด จากนั้นก็นำ 1 และ 0 ซึ่งเป็นเศษที่เกิดจากการหารเป็นลำดับต่อเนื่องกันมาเขียนเรียงลำดับจากล่างขึ้นบน ก็จะเป็นระบบเลขฐานสองตามที่ต้องการ

ตัวอย่าง

จงเปลี่ยนเลข 314 ในระบบฐานสิบให้เป็นระบบฐานสองโดยวิธีเศษหาร

วิธีทำ

				เศษหาร	ระบบเลขในฐานสอง
314	:	2	=	157	0
157	:	2	=	78	1
78	:	2	=	38	0
39	:	2	=	19	1
19	:	2	=	9	1
9	:	2	=	4	1
4	:	2	=	2	0
2	:	2	=	1	0
1	:	2		0	1

ดังนั้น 314 = 100111010

ในกรณีเลขในระบบเลขฐานสิบเป็นทศนิยม เราสามารถเปลี่ยนเป็นเลขในระบบฐานสองได้ด้วยการคูณด้วย 2 ในทุกครั้งที่คูณ ผลคูณที่ได้ในส่วนที่เป็นเลขจำนวนเต็มจะนำมาเป็นค่าของเลขในระบบฐานสอง แล้วนำเฉพาะเลขหลังจุดทศนิยมมาคูณด้วย 2 อีก จำนวนเต็มที่ได้จากการคูณก็นำไปเป็นเลขในระบบเลขฐานสองในหลักถัดไป ในกรณีที่เมื่อคูณแล้วผลคูณไม่มีจำนวนเต็ม ก็ให้แทนเลขในระบบเลขฐานสองเป็น 0 ดำเนินการเช่นนี้ไปเรื่อยไปจนกว่าจะไม่มีเลขหลังจุดทศนิยม แต่ถ้าเป็นเลขทศนิยมไม่รู้จบ เราก็พิจารณาตัดเอาตามจำนวนตำแหน่งทศนิยมตามที่ต้องการ

ตัวอย่าง

จงเปลี่ยน 0.75 ในระบบเลขฐานสิบให้เป็นระบบเลขฐานสอง

วิธีทำ	0.75 x 2	=	1.50	ใส่จำนวนเต็มที่ได้เป็นระบบเลขฐานสองเป็น 1
	0.50 x 2	=	1.00	เลขในระบบฐานสองเป็น 1

เนื่องจากผลคูณชุดสุดท้ายเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นจึงสิ้นสุดการดำเนินการ

จะได้จำนวน 0.75 ในระบบเลขฐานสิบเท่ากับ 0.11 ในระบบเลขฐานสอง

จงเปลี่ยน 0.65 ในระบบเลขฐานสิบให้เป็นระบบเลขฐานสอง

วิธีทำ	0.65 x 2	=	1.30	ใส่จำนวนเต็มที่ได้เป็นระบบเลขฐานสองเป็น 1
	0.30 x 2	=	0.60	เลขในระบบฐานสองเป็น 0
	0.60 x 2	=	1.20	เลขในระบบฐานสองเป็น 1
	0.20 x 2	=	0.40	เลขในระบบฐานสองเป็น 0
	0.40 x 2	=	0.80	เลขในระบบฐานสองเป็น 0
	0.80 x 2	=	1.60	เลขในระบบฐานสองเป็น 1

ถ้าต้องการเลขหลังจุดทวิภาคเพียง 6 ตำแหน่ง ก็จะได้ว่าเลข 0.65 ในระบบเลขฐานสิบเท่ากับ 0.101001 ในระบบเลขฐานสอง

จงเปลี่ยนเลขในระบบเลขฐานสิบ 25.50 เป็นเลขในระบบเลขฐานสอง

วิธีทำ

พิจารณาส่วนของจำนวนเต็มของเลข 25.50 คือ 25 เปลี่ยนให้เป็นเลขในระบบเลขฐานสองได้ดังนี้

				เศษหาร	ระบบเลขฐานสอง
25	:	2	=	1	1
12	:	2	=	0	0
6	:	2	=	0	0
3	:	2	=	1	1
1	:	2	=	1	1

ดังนั้น 25 = 110011

ส่วนทศนิยมของ 25.50 คือ 0.50 เปลี่ยนเป็นระบบเลขฐานสองได้เป็น 0.50 x 2 = 1.00 เลขในระบบเลขฐานสองเป็น 0.1

ดังนั้นค่าในระบบเลขฐานสิบ 25.50 เท่ากับ 11001.1 ในระบบเลขฐานสอง