|
ฐานของระบบเลข
(Base of Radix)
|
||
| จาก 2 หน้าที่แล้ว เราได้กล่าวถึงระบบตัวเลขทั้งแบบไม่มีหลัก และแบบมีหลักมาแล้ว ต่อไปจะได้ กล่าวถึงเฉพาะระบบเลขที่มีหลัก ซึ่งเป็นระบบที่สำคัญที่ใช้กันอยู่ในปัจจุบัน ระบบเลขมีหลักทุกระบบจะ ต้องมีฐานของระบบอยู่เสมอ | ||
| ในวิชาคณิตศาสตร์ เราสามารถเขียนตัวเลขแทนจำนวนใดๆ ให้มีค่าเท่ากับผลบวกของเลขต่างๆ ในชุดอนุกรม เช่น | ||
|
1,523
|
=
|
1,000 + 500 + 20 + 3 |
| = |  |
|
| ระบบเลขที่ใช้ดังตัวอย่างข้างบน เรียกว่า "ระบบเลขฐานสิบ (Decimal Number System) " หรือ "ระบบเลขสิบตัว" ซึ่งเป็นเลขหลัก หน่วย สิบ ร้อย พัน ตามลำดับ ซึ่งเป็นที่รู้จักกันโดยทั่วไป ระบบเลขฐาน สิบ หมายถึง มี 10 เป็นฐาน (Radix) เลขมีเลขโดดสิบตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 แล้วจึงนำเลขโดดเหล่านี้ไปประกอบเป็นตัวเลขอื่นๆ เพื่อแทนจำนวนที่ต้องการต่อไป | ||
| ด้วยวิธีการในทำนองเดียวกันนี้ เราอาจเขียนตัวเลขดังกล่าวนี้ด้วยระบบเลขฐานอื่นที่ไม่ใช่เลขฐาน สิบได้ คือ | ||
| ถ้าให้ B เป็นฐานของเลขหลัก หรือจำนวนเลขหลักทั้งหมด B ตัว ที่จะใช้ในระบบเลขฐานที่ต้องการ | ||
| 0 คือ เลขหลักที่น้อยที่สุด | ||
| B - 1 คือ เลขหลักที่โตที่สุดที่จะใช้ได้ในระบบเลขฐาน B | ||
| นั่นคือในระบบเลขฐาน B จะมีเลขโดดที่ใช้ทั้งหมด B ตัว คือ 0, 1, 2, ....., B - 1 | ||
| ด้วยเหตุนี้ เลขฐานสอง (Binary) จะมีเลขโดดใช้กัน 2 ตัว คือ 0 กับ 1 | ||
| เลขฐาน 8 (Octenary) จะมีเลขโดดที่ใช้ 8 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, ....., 6, 7 | ||
| เลขฐาน 16 (Hexadenary) จะมีเลขโดด 16 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, ....., 8, 9, A, B, C, D, E, F | ||
| จะสังเกตเห็นว่าตั้งแต่ฐานสิบเอ็ดขึ้นไป เพื่อมิให้สับสนในเรื่องหลักของตัวเลข จึงกำหนดให้ใช้ A, B, C, D, E, F แทนตัวเลขซึ่งมีค้าเป็น 10, 11, 12, 13, 14 และ 15 ตามลำดับ | ||
| เพื่อให้เข้าใจในระบบได้ชัดเจนขึ้น พิจารณาจาก 1,523 เราจะวิเคราะห์ถึงลักษณะภายในจำนวนนี้ได้ดังตาราง | ||
|
เลข 1,523
|
เลข 1
|
เลข 5
|
เลข 2
|
เลข 3
|
|---|---|---|---|---|
| เป็นเลขหลัก |
พัน
|
ร้อย
|
สิบ
|
หน่วย
|
| ตำแหน่งหลัก |
4
|
3
|
2
|
1
|
| ค่าของหลัก |
 |
 |
 |
 |
| ค่าของเลขในหลัก |
 |
 |
 |
 |
จากตารางจะเห็นว่า ตัวเลขนั้นจะต้องเขียนไว้ในหลักต่างๆ
ซึ่งแต่ละหลักจะให้ค่าของตัวเลข ณ ตำแหน่งนั้นๆ ได้ด้วยค่าฐานของเลขหลักในระบบที่ใช้อยู่
หลักแรกทางขวามือหน้าจุดทศนิยมจะมีค่าของหลักเท่ากับ  |
หลักถัดมาทางซ้ายลำดับที่ 2
มีค่าของหลักเป็น  |
หลักถัดมาทางซ้ายลำดับที่ 3
มีค่าของหลักเป็น  |
|
.
|
|
.
|
|
.
|
หลักถัดมาทางซ้ายลำดับที่ n
มีค่าของหลักเป็น  |
| เราจะสังเกตเห็นว่า เลขชี้กำลังของฐานจะน้อยกว่าตำแหน่งหลักอยู่ 1 เสมอ ผลคูณตัวเลขที่กำหนดไว้ในตำแหน่งหลักต่างๆ กับค่าของหลักจะเท่ากับค่าของตัวเลขที่อยู่ในหลักนั้นๆ เสมอ และผลบวกของค่าของตัวเลขในหลักต่างๆ ทุกๆ หลัก จะมีผลเท่ากับค่าสำเร็จเป็นเลขที่ต้องการ นอกจากนี้ยังมีข้อควรทราบอีก คือ ในการบวกเลขระบบที่ไม่ใช่ฐานสิบนั้น ถ้าบวกหนึ่งเข้าไปแล้วจะต้องได้เลขที่มีค่าเกินตัวเลขสูงสุดที่ใช้ในระบบแล้วให้บวกได้ค่าศูนย์ และทด 1 เข้ากับเลขหลักถัดไปทางซ้ายได้เลย |
|
ตัวอย่าง
|
| ระบบเลขชุดหนึ่งใช้ตัวเลขเพียง 0, 1, 2, 3, 4, 5 |
| 1. ฐาน B ของเลขระบบนี้เป็นเท่าไร |
| 2. ตัวเลขที่อยู่ถัดไปในระบบนี้ จาก 3,255 คือเลขใด |
| วิธีทำ |
| 1. เนื่องจากระบบที่กำหนดให้มีเลขโดดที่ใช้ทั้งหมด 6 ตัว ดังนั้น B = 6 |
|
2.
|
| วิธีคิด |
|
หลักที่ 1
|
5 + 1 = 6:
|
ครบฐาน 6
|
ใส่ 0 ทด 1
|
|
หลักที่ 2
|
1 (ตัวทด) + 5 = 6:
|
ครบฐาน 6
|
ใส่ 0 ทด 1
|
|
หลักที่ 3
|
1 (ตัวทด) + 2 = 3
|
ใส่3
|
|
หลักที่ 4
|
ชัก 3 ลงมา
|
จะได้ว่า
 |
| จากความเจริญก้าวหน้าทางด้านเทคโนโลยีสมัยใหม่ที่เป็นไปอย่างรวดเร็วมาก เครื่องคอมพิวเตอร์หรือ เครื่องประมวลผลอิเล็กทรอนิกส์ซึ่งมนุษย์สร้างขึ้นมาเพื่อช่วยในการคิดคำนวณ และช่วยอำนวยความสะดวกใน การประมวลผลข้อมูล ได้ถูกพัฒนาขึ้นมาอย่างเหมาะสม ช่วยเหลืองานของมนุษย์ได้อย่างมากมาย ถ้าเรามา พิจารณาหลักในการทำงานของเครื่องคอมพิวเตอร์แล้วจะเห็นว่า อาศัยหลักการไหลหรือการหยุดไหลของ สัญญาณในช่วงเวลาต่างๆ กัน เสมือนกับการเปิด - ปิดสวิตซ์ไฟฟ้านั่นเอง การทำงานของอุปกรณ์คอมพิวเตอร์ แต่ละส่วนจึงมีลักษณะ 2 จังหวะตลอดเวลา ดังนั้นค่าตัวเลขในระบบฐานสอง จึงมี ความเหมาะสมกับการทำงาน ของเครื่องคอมพิวเตอร์เป็นอย่างดี เพราะมีค่า 0 กับ 1 จึงสอดคล้องกับ ลักษณะการเปิด - ปิดสวิตซ์ไฟฟ้า และ การคำนวณในระบบเลขฐานสองนั้นก็สามารถทำได้เช่นเดียวกับ ระบบเลขฐานสิบ |
| ด้วยเหตุนี้การทำงานภายในเครื่องคอมพิวเตอร์แทบทุกชนิดจึงสร้างขึ้นในระบบตัวเลขในฐานสองทั้งสิ้น ซึ่ง ไม่มีระบบเลขใดที่เหมาะสมในการสร้างวงจร และแสดงคุณลักษณะทางฟิสิกส์ของอุปกรณ์ภายในเครื่องคอม พิวเตอร์ได้ดีเท่าระบบฐานสองได้ |
| นอกเหนือจากการใช้ระบบเลขฐานสองแล้ว ยังมีการใช้ระบบเลขฐานแปดและฐานสิบหก ซึ่งเป็นระบบเลข ที่สะดวกตอ่การนำไปใช้ในการตรวจสอบของเครื่องคอมพิวเตอร์ในแต่ละขั้นตอนเป็นอันมาก |
| หน่วยที่เล็กที่สุดในหน่วยความจำของคอมพิวเตอร์ดรียกว่า บิท (Binary Digit) ซึ่งมีค่าเป็น 0 หรือ 1 บาง ครั้งอาจกล่าวว่าบิท 0 หรือบิท 1 ส่วนกลุ่มของบิทนั้นเรียกว่า ไบท์ (Byte) หรือคาร์แรคเตอร์ (Character) ซึ่ง โดยปกติแล้ว 1 ไบท์ ประกอบด้วย 8 บิท หน่วยความจำ 1 ไบท์จะบันทึกอักขระได้ 1 ตัว |
|
ตัวอย่าง
|
| ถ้าใช้เลขฐานสองแบบ 3 บิท คือใช้เลข 0 และ 1 จำนวน 3 ตัว จะสามารถสร้างอักขระได้ทั้งสิ้นกี่ตัว |
ตอบ  คือ
000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 |
ในกรณีทั่วไปถ้าใช้ฐานสองแบบ
n บิท คือ ใช้เลข 0 และ 1 จำนวน n ตัว จะสามารถสร้างอักขระได้ 
ตัว นั่นคือ ถ้าใช้ระบบเลขฐานสองที่มีจำนวนบิทมากก็สามารถนำไปใช้เป็นรหัสแทนอักขระต่างๆ
ได้มากขึ้น คอมพิวเตอร์ก็จะสามารถทำงานได้กว้างขวางมากยิ่งขึ้น |
|
ตัวอย่าง
|
| เปรียบเทียบความสามารถในการเข้ารหัสแทนอักขระเมื่อใช้ระบบเลขฐานสอง ในกรณี 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 บิท ตามลำดับ |
| ตอบ |
|
จำนวนบิท
|
จำนวนแบบที่จัดเรียง
|
จำนวนการเข้ารหัสแทนอักขระ
|
|---|---|---|
|
2
|
 |
4
|
|
3
|
 |
8
|
|
4
|
 |
16
|
|
5
|
 |
32
|
|
6
|
 |
64
|
|
7
|
 |
128
|
|
8
|
 |
256
|
 |
