Sistema Tierra Luna. Websshots.com |
Guía Astronómica Gonzalo Duque-Escobar, P. As.
Universidad Nacional de Colombia Manizales, 1992 |
GUIA Nº 3
PLANETARIA
1.
POSICIONES DE UN PLANETA INTERIOR Y DE UNO EXTERIOR
Tomando
el Sol como centro se dibujan las órbitas de tres planetas; sean ellos Venus,
Tierra y Marte respectivamente a partir del Sol.
Si
la traslación de los planetas es retrógrada con relación a la estrella Polar y
las velocidades orbitales resultan poco diferentes, los períodos (años) de los
planetas difieren y las posiciones de ellos son las siguientes, vistas desde la
Tierra y con relación al Sol.
Como
asunto fundamental, las estrellas parecen fijas o firmes en el cielo o firmamento,
mientras los planetas son errantes.
|
Oi =
planeta interior (o superior) T = Tierra, S = Sol 2
= cuadratura Este 3
= oposición 4
= cuadratura Oeste 6
= elongación Este 7
=conjunción inferior 8
= elongación Oeste |
Nos
preguntamos ahora ¿Cómo diferenciar planetas de estrellas y planetas entre sí?
Es
importante diferenciar los planetas de las estrellas. Los primeros no
titilan, las estrellas sí. Ello se debe a la atmósfera.
Por
la enorme distancia que nos separa de las estrellas, sólo nos llega de cada una
de ellas un rayo de luz. Por los movimientos del aire, ese rayo se desvía
intermitentemente y la estrella titila.
De
los planetas, llegan muchos rayos de luz, simultáneamente, hasta el ojo del
observador. Cuando uno de ellos se desvía a causa del aire, otro toma de inmediato
su posición.
Pero
también es importante diferenciar los planetas entre sí. Los planetas
interiores no pueden ser vistos a media noche, como ocurre con planetas
exteriores, que tienen oposición. Los primeros, según su elongación, serán visibles
horas o minutos después del atardecer o antes de la madrugada.
El
color rojo o anaranjado de Marte y Saturno más intenso en el primero y el color
blanco de Venus y Júpiter, contribuye también a la diferenciación del planeta.
Pero adicionalmente, las fases y los movimientos que muestre el astro son
importantes.
|
Fases de Venus: A = Creciente O B = Llena C
= Menguante l
D = Nueva |
Figura
10. Cara iluminada de la Tierra, y de un planeta interior, de acuerdo al
sistema Tierra-Planeta-Sol.
a)
Los planetas interiores, como Mercurio y Venus, tienen las cuatro fases de la
Luna: como se muestra en la figura 10.
b)
Los planetas exteriores próximos (Marte, Júpiter y Saturno) son visibles y hacen
bucles. La figura muestra el movimiento retrógrado de un planeta exterior, como
Marte.
|
Parte
superior: Esfera Celeste sobre la Parte
inferior: Sol y órbitas de Tierra y Marte, con 5 posiciones sucesivas.
Las visuales salen de la Tierra, pasan por Marte y llegan a la Esfera
Celeste.
|
2.
VALORES l - L EN LAS CONFIGURACIONES DE LOS PLANETAS
|
τ = punto vernal T = Tierra S = Sol P =
Planeta observado l'= TP, longitud
l
= SP, longitud heliocéntrica del planeta L= longitud |
Figura
12. Longitudes de un planeta y la Tierra, sea el planeta interior o exterior. A
la derecha, de 1 a 4 posiciones de un planeta superior y de 5 a 8 posiciones de
un planeta inferior.
Conjunción
inferior l - L = 0°
Conjunción
superior l - L = 180°
Elongación
W l - L = 90°
- θ
Elongación
E l - L = 270°
- θ
Conjunción l - L = 180°
Oposición l - L = 0°
Para
Mercurio θ = 27° y para Venus θ = 48°
3.
LEYES DE KEPLER
Johannes
Kepler, basado en las posiciones de Marte, que Tycho Brahe observó y midió,
publica en 1609 las dos primeras leyes del movimiento planetario y en 1619 la
Tercera ley.
Estas
leyes permiten consolidar el esquema heliocéntrico, mejorar las predicciones astronómicas
y dimensionar el tamaño del sistema solar.
1.
Cada uno de los planetas se mueve siguiendo una órbita en forma de elipse,
en uno de cuyos focos se encuentra el Sol.
2.
Al moverse un planeta, su radio vector (línea planeta Sol) describe iguales áreas
en iguales intervalos de tiempo.
3.
Los cuadrados de los períodos de revolución sidéreos de los planetas,
son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas (a los
cubos de sus distancias medias al Sol), o sea:
|
||
Tercera
Ley a31 / a32 = p21 / p22 |
v
= anomalía verdadera |
|
De
acuerdo a la figura anterior, la Línea de los ápsides es la recta del afelio
al perihelio, cuya longitud es 2a, siendo a el semieje mayor de la
elipse.
AO = OP = a
e = c/a = excentricidad
Definida
la excentricidad e, como el cociente entre los valores anteriores, los
tipos de órbitas podrán ser:
Orbita
parabólica sí e = 1
Orbita elíptica si 0 < e < 1
Orbita circular si e = 0
También,
la distancia máxima entre el Sol y el planeta, AF, y la distancia mínima FP,
están dadas por
AF = a (1 + e)
FP = a (1 - e)
En
el segundo miembro de cada ecuación a representa el valor del semieje
mayor de la elipse y e su excentricidad.
4.
ELEMENTOS DE LAS ORBITAS PLANETARIAS
Los
elementos de una órbita sirven para determinar la órbita de un satélite, un
planeta, etc.
Supongamos
que el plano de una órbita, se describe con relación al plano de la eclíptica.
En consecuencia se debe conocer la inclinación de ambos planos, la línea de
intersección entre ellos, la geometría de la órbita elíptica y la posición de
esa elipse, entre otras variables.
A
modo de ejemplo, los elementos de la órbita del cometa Halley (órbita número 33
del International Halley Watch)
son:
instante
de paso por el perihelio 1986 febrero 9, 45862,
distancia
al Sol en el perihelio 0,5871012 UA,
excentricidad
0,9672750, argumento del perihelio 111°,84652,
longitud
del nodo ascendente 58°,14341,&
inclinación
162°,23921.
Para
ilustrar los comentarios veamos la figura siguiente:
|
Ω = longitud de los nodos NN' e
= (a-b)/a a y b = semiejes orbitales r = radio vector de posición T = paso por el perihelio t = momento de coordenadas W = argumento del perihelio |
Figura
14. Intersección entre un plano orbital y la eclíptica, para describir los
elementos de una órbita planetaria.
5.
ECLIPSES DE SOL Y DE LUNA
Los
eclipses de Sol tienen lugar en novilunio; los eclipses de Luna, en plenilunio
y cuando la Luna está situada en el plano de la órbita terrestre o en la
vecindad inmediata del nodo ascendente o descendente. En el primer caso, la
Luna oculta en mayor o menor medida al Sol; en el segundo, la Luna desaparece
total o parcialmente en la sombra de la Tierra.
Las
condiciones anteriores hacen que los eclipses se produzcan separados por medio
año aproximadamente. En efecto, si los nodos de la órbita lunar están en las
proximidades del equinoccio de primavera y otoño sobre la eclíptica, es de
prever que haya eclipses de Sol en la Luna Nueva apareciendo en torno al 21 de
marzo y al 23 de septiembre, respectivamente, y eclipse de Luna en la fase de
plenilunio que se dé en ese mismo intervalo. Por término medio hay anualmente 2
a 3 eclipses de Sol y de 1 a 5 eclipses de Luna. Ahora bien, como la línea de
nodos es retrógrada, se van adelantando los eclipses de año en año,
repitiéndose exactamente igual al cabo de unos 18 años.
La
duración exacta de este período de Saros se puede calcular, si se tienen
en cuenta que 223 meses sinódicos equivalen casi exactamente a 242 meses
dracónicos: 18 a 10,3216 d frente a 18 a 10,3592 d. La pequeña diferencia de
0,0376 d hace, sin embargo, que los ciclos de Saros de eclipses iguales se
desfasen de nuevo al cabo de algunos milenios.
5.1.
Eclipses de Sol
En
los eclipses de Sol hay que distinguir las siguientes formas:
1.
Eclipses parciales: en loss cuales la Luna nueva sólo oculta una
parte del disco solar. El observador está situado entonces en la penumbra
de la Luna.
2.
Eclipses totales: en loss cuales queda oculto el disco solar
entero. El observador se halla en la umbra de la sombra que proyecta la
Luna. Dado que esta sombra sobre la superficie terrestre sólo tiene un diámetro
máximo de 200 km, los eclipses totales sólo son
visibles desde una región muy limitada. Debido al efecto conjunto del
movimiento de la Luna alrededor de la Tierra y de la rotación de ésta, la
sombra de la Luna se desplaza con una velocidad de unos 28 km
/min por encima de la superficie terrestre (en el
ecuador) y barre una banda de totalidad (casi siempre de W a E) sobre la cual
se va observando sucesivamente un eclipse total de Sol. La totalidad dura un
máximo de 8 minutos; en ese intervalo el cielo se oscurece hasta el punto de
hacerse visibles muchas estrellas y planetas. Alrededor del disco solar oculto
aparece el anillo luminoso de la corona.
3.
Eclipse anular: en el cual se hace visible un anillo del
disco solar. Si la Luna está cerca de su apogeo (a la mayor distancia de
la Tierra), entonces el diámetro angular de su disco es tan pequeño que no se
produce un eclipse total sino anular.
|
Figura
15. Eclipse de Sol. En la zona de umbra el eclipse es total, en la de penumbra
es un eclipse parcial.
5.2.
Eclipses de Luna
Los
eclipses de Luna, a diferencia de los de Sol, son visibles desde una zona geográfica
mucho mayor; concretamente desde todo el lado nocturno de la Tierra que
tiene la Luna llena sobre el horizonte. La zona de visibilidad es incluso mayor
al 50% de la superficie terrestre, debido a que los eclipses de Luna llegan a
durar hasta un máximo de 3½ horas.
La
sombra que proyecta la Tierra aparece algo aclarada y suele mostrar una
coloración rojiza. Incluso en un eclipse total de Luna, es raro que la Luna
desaparezca del todo. El fenómeno se debe a la atmósfera terrestre: los rayos
de Sol que inciden tangencialmente en ella se refractan y penetran en el cono
de sombra proyectado por la Tierra, y es la luz rojiza de longitud de onda
larga la que pasa con más facilidad. El tipo de coloración y el grado de
obscurecimiento en un eclipse de Luna dependen de las condiciones atmosféricas
de la Tierra, pero a veces también, del contenido de polvo de la atmósfera,
habiéndose observado eclipses oscuros después de erupciones volcánicas.
6.
LEY DE LA GRAVITACIÓN
La
ley de la gravitación enunciada por Isaac Newton, dice que todas las masas del
Universo se atraen mutuamente con una fuerza F que es proporcional al
producto de las dos masas m1 y m2 e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r, así:
F
= G m1 m2 / rt2
donde G
es la constante gravitatoria universal.
Para
calcular la gravedad en la superficie de la Luna y compararla con la de la
Tierra, imaginemos la Tierra o la Luna de forma esférica y despreciemos los
efectos de su rotación.
La
fuerza de la gravedad en la superficie de la Tierra, es gt,
cuyo valor está dado por:
gt
= G mt/rt2
Hemos
denominado mt y rt
a la masa y radio de la Tierra. Además G es la constante de gravitación.
El
valor de la aceleración gl en la
superficie de la Luna, si su masa y radio son ml
y rl, esta dado por una expresión análoga:
gl
= G ml/rl2
Dividiendo
entre sí ambas ecuaciones se obtiene la relación de las fuerzas de gravedad, al
reemplazar numéricamente masas y radios, que para el efecto es seis veces mayor
en la Tierra.
De
la ley gravitatoria se pueden deducir las leyes de Kepler. La tercera, para un
planeta de masa m dice
|
Donde M es la masa del Sol y a la distancia Sol-Planeta
Un planeta se haya en una órbita estable cuando no se precipita hacia el Sol, como consecuencia de la fuerza de gravedad, ni sale despedido de la órbita como consecuencia de la fuerza centrífuga.
La fuerza de gravedad del Sol y la fuerza centrífuga tienen que equilibrarse mutuamente.
La fuerza centrífuga C depende de la masa m del planeta, de su velocidad orbital v y del radio de curvatura r de la órbita, es decir, de la distancia planeta- Sol.
C= mv2/r
Cálculo
de la masa de un planeta con satélite
Tomemos
el Sol de masa M, el planeta de masa m y el satélite de masa Ms. Sean los períodos p del planeta y Ps del satélite, y G la constante de
gravitación de Newton. Las fórmulas más exactas en la tercera ley, nos permiten
decir que:
Planeta
vrs. Sol:
|
Satélite
vrs. Planeta:
|
Dividiendo
las ecuaciones I y II tenemos:
|
Hemos
dividido por m y considerado ms
/m despreciable
|
:.
Con lo cual, como M/m se conoce, sale m.
7. ROTACIÓN DE DOS CUERPOS
ALREDEDOR DE UN CENTRO DE MASA a
El
esquema muestra un sistema doble, conformado por dos soles que se orbitan entre
sí. Las dos órbitas están en el mismo plano y los focos de las órbitas deben
alinearse y disponerse de tal manera que ambas tengan un foco común en el
centro de masa. Los sistemas de tres y más cuerpos presentan varias soluciones,
razón por la cual dichos sistemas múltiples resultan indeterminados.
Al
tratarse de elipses, siendo A1
y A2 los semiejes
mayores, la distancia entre los dos cuerpos d1 + d2 , será el producto entre uno de
los semiejes y la razón de las masas X/Y o Y/X según se trate de A1
o A2.
En
este arreglo geométrico el período de los planetas es el mismo (condición de
alineamiento con el centro de masa a),
al igual que la excentricidad de las elipses ( por la relación anterior).
|
(Ley de Distancias) d1+d2
= A1.masa X/masa Y d1+d2
= A2.masa Y/masa X (Ley de Areas) |
Si
la masa de un cuerpo X resulta insignificante, comparada con la
de su compañero Y, como el caso del sistema Luna-Tierra o del sistema Tierra-Sol,
el centro de masa coincide prácticamente con la masa Y, y la distancia total (d1
+ d2) se hace semejante a d1.
En
este caso el segundo cuerpo de gran masa puede considerarse en reposo, como
primera aproximación, para que el primero describa una órbita elíptica, cuyo
semieje será la suma de los semiejes A1 + A2 con el
segundo en uno de sus focos, de la manera que se ha ilustrado en las leyes de
Kepler.
Para
el caso de dos cuerpos con masas similares, la órbita es también una
elipse cuyo semieje mayor es igual a la suma de los semiejes A1 + A2.
Ilustraremos
el caso del sistema Tierra-Luna, haciendo uso de los siguientes valores para
conocer que tan cerca de la Tierra, y lejos de la Luna, se encuentra el centro
de masa a:
Relación
de masas entre la Tierra y la
Luna
mT/mL = 81 (1)
Distancia
media entre la Tierra y la
Luna
(dT + dL)=384400
km (2)
Por
lo visto en la relación de la Figura
anterior 1/81 = dT/dL
De
las dos últimas ecuaciones (1) y
(2)
dT = 384400 - 81 . dT
Se
obtiene de la anterior ecuación una distancia dT
de 4700 km, valor que, comparado del radio de la
Tierra de 6378 km, nos dice que el centro de masa a,
alrededor del cual orbitan la Luna y la Tierra, queda en el manto de la Tierra
y a una profundidad del orden de 1678 km, medidos
desde su superficie.
8.
VELOCIDAD ORBITAL
¿A
qué velocidad debe girar la Tierra para mantenerse en órbita?
Si
gira muy rápido escapa, si gira muy lento cae al Sol.
|
Figura
17. Superficie cónica, que intersecada por un plano, genera las cónicas.
Calcularemos
V1 y V2 que son las velocidades límites para el
giro del planeta.
Fórmula
General
|
Si r = a
: la trayectoria es circular y se
obtiene la primera velocidad de escape, que es
|
Si a es infinito
: la trayectoria es parabólica y se obtiene la segunda velocidad de escape que
es
|
Igualmente,
en caso de órbita elíptica, la velocidad es variable, pero su valor máximo, en
el perihelio, no supera V2 y su valor mínimo, en el afelio, no
resulta inferior a V1.
Llamando
a ambas velocidades Vp y Va
respectivamente, en una órbita de excentricidad e, se debe cumplir que:
|
De
la segunda velocidad de escape depende que un cuerpo celeste tenga atmósfera,
pues dicho valor se compara con la velocidad térmica de las moléculas de gas
dada por la siguiente expresión que involucra la temperatura ambiental T y la
masa molecular m:
|
Mientras la segunda velocidad de escape en la
Tierra, es de 11,2 km/s, las velocidades térmicas
moleculares de los gases ligeros a la temperatura de 3000 K, son:
para el hidrógeno, 1,1 km/s y para el helio, 0,8 km/s. Para el oxígeno y el nitrógeno, los valores son del
orden de los 0,3km/s.
Gonzalo Duque Escobar. P. As.
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Manual de geología para ingenieros
Túneles excavados en rocas blandas
Ciencia, Tecnología & Sociedad, y Economía
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