|
En esta sección construiremos cuadrados diabólicos a partir de algunos de sus invariantes. Los más simples de estos son, obviamente, la suma en columnas y en filas. Notemos como ars el número que se encuentra en la fila r y la columna s. Para este trabajo, supongamos que a cada elemento de un cuadrado diabólico nxn se le ha restado K/n, siendo K la constante del cuadrado. Es claro que el cuadrado resultante es diabólico siendo todas sus sumas pertinentes 0. A estos cuadrados los llamaremos "cuadrados-0".
Vamos a introducir los operadores F y C tales que:
Far,s = ar-1,s Car,s = ar,s+1
Entendemos los subíndices módulo n cuando sean mayores que n.
El cuadrado-0 de orden 4
Tenemos los siguientes invariantes operando sobre cualquier elemento ars del cuadrado:
I1) Columna: (1 + F + F2 + F3)ars = 0 I2) Fila: (1 + C + C2 + C3)ars = 0 I3) Diagonal (1 + FC + F2C2 + F3C3)ars = 0 I4) (F3 + F2C + FC2 + C3)ars = 0
Restando I1) de I3) se obtiene:
F(C - 1)[1 + F(C+1) + F2(C2 + C + 1)]ars = 0
Entonces [1 + F(C+1) + F2(C2 + C + 1)]ar+1,s = Qr+1, donde Qr+1depende de r + 1 pero no de s. Si sumamos en s desde s=1 hasta s=4 ,SQr+1= [1 + F(C+1) + F2(C2 + C + 1)]Sar+1,s=0, por lo que Qr+1=0. Entonces [1 + F(C+1) + F2(C2 + C + 1)]ar+1,s = 0. Como esto se cumple para todo r y s, conviene eliminar el operando de aquí en más y simplemente escribimos:
I5) [1 + F(C+1) + F2(C2 + C + 1)] = 0
Los elementos involucrados en I5 forman un triángulo. Llamaremos a I5 el invariante triangular.
El invariante triangular
Se ha demostrado que la suma de los elementos marcados en rojo es 0, así como la de cualesquiera otros que muestren igual configuración. Por simetría, es posible intercambiar F y C en I5, obteniendo:
I6) 1 + C(F +1) + C2(F2 + F + 1) = 0
Haciendo I5 - I6 se obtiene: (F - C)(1 + F +C + FC) = 0, de modo que (1 + F +C + FC)ars = Q, donde Q es una cantidad constante en la diagonal ascendente de izquierda a derecha, por lo que SQ = 0 sobre esa diagonal, por lo que Q=0. Así queda establecido el "invariante cuadrado"
I7) (1 + F +C + FC) = 0 Invariante cuadrado
De los dos diagramas anteriores se ve que se obtiene un invariante más simple restando el invariante cuadrado del triangular. I7 - I5 = 1 + F(C + 1) + F2(C2 + C + 1) - F(1 + F + C + FC) = 0
I8) 1 + F2C2 = 0
Esto nos dice que ar,s + ar+2,s+2 = 0 en todos los cuadrados-0 de orden 4. Lo llamaremos "El invariante complementario". Los invariantes I2, I7 e I8 nos permiten construir el cuadrado-0 de orden 4 general de la forma más económica:
Elija arbitrariamente a11,a12,a13. I2 determina a14. Elija arbitrariamente a21. Con I7 determine a22 y luego a23. Ahora, I2 o I7 determinan a24. Las dos últimas filas restantes quedan determinadas inmmediatamente por el invariante complementario. El cuadrado-0 de orden 4 nos quedaría así:
El cuadrado-0 de orden 5
En este caso tenemos los invariantes de línea
I9) 1 + F + F2 + F3 + F4 = 0 I10) 1 + FC + F2C2 + F3C3 + F4C4 = 0
Restando I9 de I10 y justificando la remoción del factor F(C - 1), obtenemos
I11) 1 + F(C+1) + F2(C2 + C + 1) + F3(C3 + C2 + C + 1) = 0
que es un invariante triangular:
Si intercambiamos F y C, restamos y justificamos la eliminación de F - C, obtenemos el siguiente invariante cuadrado:
I12) (1 + F + F2)(1 + C + C2) + FC = 0
Se ve que los pesos se incrementan en el centro del cuadrado.
Intercambiando F y C en I11 y restando de I12 se obtiene:
I13) -F3 - C3 + FC + F2C2 = 0
cuyo diagrama es:
los términos negativos se pueden eliminar sumando el invariante diagonal C3 + CF2 + F2C + C3 + F4C4 = 0, con lo que se obtiene
I14) FC(1 + F)(1 + C) + F4C4 = 0
que tiene esta estructura:
Otro invariante importante se obtiene sustituyendo En I11 C por C-1, lo que representa una simetría en un eje vertical, restando el resultado de I11, reconociendo un invariante que queda en la expresión, y finalmente justificando la eliminación de F(C - C-1) (¡inténtelo!) se obtiene el invariante
I15) 1 + F(C + 1 + C-1) + F2 = 0
que podemos llamar invariante rómbico y aquí se muestra:
Una diferencia fundamental entre los cuadrados de orden par e impar es la inexistencia y existencia, respectivamente, del invariante rómbico. Ahora podemos construir el cuadrado-0 general de orden 5: Elija los 4 primeros elementos de las dos primeras filas. I9 determina a15 y a25. Ahora, el invariante rómbico permite completar primero la tercera y luego la cuarta y quinta filas. Nos queda así:
Cuadrados-0 de orden n
Para el cuadrado-0 de orden n, sea
Y(x) = 1 + x + ...+ xn-1
Haciendo Y(FC) - Y(F) y eliminando el factor F(C - 1) se obtiene el invariante triangular de lado n-1 dado por
I16) 1 + F(1 + C) + F2(1 + C + C2) + ... + Fn-2(1 + C + ... + Cn-2)
Intercambiando F, C restando, y eliminando F - C se obtiene el invariante cuadrado de lado n-2
I17) (1 + F + ... + Fn-3)(1 + C + ... + Cn-3) + FC(1 + F + ... + Fn-5)(1 + C + ... + Cn-5) + ...
donde el último término es (FC)(n-3)/2 o (FC)(n-4)/2(1+F)(1+C) según n sea impar o par. Haciendo I17 - I16 y sumando el invariante diagonal se obtiene I18, un invariante con dos cuadrados, uno de lado 1 y otro de lado n-3. Restando el invariante fila de las n-2 primeras filas I17 se obtiene I19 y sumando el invariante columna a las dos últimas columnas se obtiene un invariante I20 con dos cuadrados, uno de lado dos y el otro de lado n-4. Finalmente, si en I16 se reemplaza C por C-1 y se resta, se obtiene para n impar un invariante rómbico I21. La construcción del cuadrado-0 de orden n se hace ahora así: se dispone una matriz arbitraria de (n-3)x(n-1). Las filas se completan con los invariantes fila. Si n es impar el invariante rómbico completa la fila n-2, y I18 se despacha la fila n-1. El cuadrado se completa con los invariantes columna. Si n es par, para completar la fila n-2 se usa I9 y después se sigue como en el caso anterior.
|
