Introducción

Aquí veremos el más conocido y popular método para construir cuadrados mágicos. Es una generalización del método de La Loubere y solamente sirve para construir cuadrados de orden impar.

Si usted prefiere solamente saber cómo construir los cuadrados, puede ver el algoritmo de construcción sin ningún tipo de consideración teórica simplemente leyendo el comienzo.

Comenzaremos viendo el

Método de La Loubere

En 1693 este ex embajador de Francia en Siam publicó un método que permite construir un cuadrado mágico de nxn, siempre que n sea impar.

Ilustraremos el método para el caso en que n = 5. Nuestro objetivo es colocar los números 1, 2, 3, ..., 25 en las casillas del cuadrado de modo de obtener un cuadrado mágico.

El cuadrado que deseamos construir es el rojo. Los otros tres cuadrados son "copias" de él que nos servirán en la construcción.

Paso 1: Coloque el "1" en la casilla del medio de la fila superior.

Paso 2: Coloque el número siguiente (en este caso el 2) una casilla diagonalmente arriba y a la derecha de lo que colocó el 1. Queda fuera del cuadrado que pretendemos construir, dentro del cuadrado amarillo. Coloque un 2, entonces, en la casilla del cuadrado rojo correspondiente a la del amarillo donde está el 2.

Paso 3: Repita el paso 2 hasta que no pueda hacerlo porque la casilla donde va a colocar un número está ocupada. (En el ejemplo le ocurrirá al intentar colocar el 6).

En este último caso, coloque el número que está intentando colocar una casilla inmediatamente abajo del último número que colocó. (En el ejemplo, el 6 queda bajo el 5). Observe especialmente lo que sucede al intentar colocar el 16. Continúe de esta manera hasta completar el cuadrado.

¿Por qué funciona?

Para estudiar este método, asignémosle números a cada fila y cada columna del cuadrado, estableciendo coordenadas para cada celda. Numeramos las filas de derecha a izquierda y las columnas de abajo a arriba.Por ejemplo, en el cuadrado que acabamos de construir, el 1 está en la celda (3,5).La notación será pues (columna, fila)

Por otra parte, vemos que si  sumamos un mismo número en todas las celdas de un cuadrado mágico, el cuadrado relultante también será mágico. Para nuestro análisis, sumaremos -1 en cada celda, de modo que colocaremos los números 0, 1, ..., n²-1 en el cuadrado.

En el método de La Loubere, se coloca el primer número en una casilla específica, se avanza siempre una casilla arriba y una a la derecha, salvo que encontremos la celda ocupada en cuyo caso bajamos una columna. Nosotros no nos restringiremos a eso. Aceptaremos que podemos colocar el primer número en cualquier celda (a,b) y avanzar en cada paso c celdas a la derecha, d celdas hacia arriba, y que cuando encontremos una casilla ocupada, podemos colocar el número e celdas a la derecha y f celdas hacia arriba de la casilla donde se colocaría el número si estuviera vacía. 

Esto se llama método del paso uniforme. Merece una

Definición:

Sean a, b, c, d, e, f enteros y n un natural. El método del paso uniforme (m.p.u) para un cuadrado nxn coloca los n² números j = 0, 1, ..., n² - 1 en las celdas de coordenadas (x_j,y_j) donde

x_j = a + cj + e[j/n] (mod n)

y_j = b + dj + f[j/n] (mod n)

(Aquí [a] significa parte entera de a).

Verifique que en el caso del ejemplo, tenemos n=b=5, a=3, c=d=1, e=-1, f=-2. Por ejemplo, el número j=17 (que en el cuadrado construido es el 18) queda en la casilla (x_j,y_j) con:

x_j = 3 + 1*17 -1*[17/5] (mod 5) = 2

y_{j =} 5 + 1*17 - 2*[17/5] (mod 5) = 1

Al aplicar m.p.u, podemos elegir 6 enteros. Vamos a ver cómo se deben elegir para que el cuadrado sea mágico.

Definición: Diremos que el m.p.u llena un cuadrado nxn si cada una de las n² celdas tiene una única entrada.

Teorema: El m.p.u llena un cuadrado nxn si (cf - de,n) = 1.

Demostración: Supongamos que j₁ y j₂ son dos naturales diferentes entre 0 y n² - 1 que son colocados en la misma celda por el m.p.u, o sea

x_j1 = x_j2           y_j1 = y_j2   

Expresando  j₁ y  j₂ en base n

 j₁ =  v₁n +  u₁        j₂ =  v₂n +  u₂ con 0<= u_i, v_i <= n - 1.

Entonces:

cu₁ + ev₁ = cu₂ + ev₂ (mod n)

du₁ + fv₁ = du₂ + fv₂ (mod n)

Si miramos estas ecuaciones como un sistema en las incógnitas u₁ y v₁, sabemos que tiene solución única. Entonces obviamente u₁ = u₂ (mod n) y v₁ = v₂ (mod n), de donde j₁ = j₂.

Teorema: Si q, r y s son enteros y (q,n)=(r,n)=1, entonces hay exactamente n enteros j que cumplen 0<=j<=n²-1 tales que qj + r[j/n] = s (mod n) y la suma de esos enteros es n(n²-1)/2.

No daré aquí la demostración.

Teorema: Supongamos que aplicamos m.p.u a un cuadrado nxn con

x_j = a + cj + e[j/n] (mod n)

y_j = b + dj + f[j/n] (mod n)

Entonces si (c,n)=(e,n)=1, todas las columnas del cuadrado tienen igual suma, si además (d,n)=(f,n)=1, todas las filas del cuadrado tienen la misma suma. En cada caso, la suma es n(n²-1)/2.

Demostración:

Sea (c,n)=(e,n)=1. El número j es colocado en la columna k sii x_j=k, por lo que

cj + e[j/n] = k-a (mod n).

Aplicando el teorema anterior, la suma de los j's en el rango considerado es  n(n²-1)/2.

La 2a parte es totalmente análoga.

Teorema: En las hipótesis del teorema anterior, si (c+d,n)=(e+f,n)=(c-d,n)=(e-f,n)=1, entonces la suma de todas las diagonales es n(n²-1)/2.

Demostración: La ecuación de una diagonal que va "de arriba a abajo y de izquierda a derecha" es:

x+y=k (mod n)

Supongamos (c+d,n)=(e+f,n)=1

El número j estará en la diagonal citada sii

x_j + y_j =k(mod n)

O sea

(c+d)j + (e+f)[j/n] = k-a-b (mod n)

Por lo que la suma de los números en esta diagonal será n(n²-1)/2.

El resto es análogo.

Reuniendo todos estos resultados sabemos en qué condiciones el método genera un cuadrado mágico y aún diabólico.