Las sucesiones de Prouhet son más conocidas como sucesiones Morse - Heldlund, pero parece ser que el primero que las introdujo fue E. Prouhet en un paper publicado en Comptes Rendus en 1851.

La sucesión t de Prouhet se define como (a_n), siendo a_n la suma, módulo t, de los dígitos de la expresión de n en base t.

Ejemplo: Sucesión binaria de Prouhet

 La construcción que veremos sirve para fabricar cubos mágicos. En lo que sigue, veremos cómo utilizar estas sucesiones para construir cubos mágicos, y si lo único que desea el lector es construir cuadrados mágicos, todo lo que tiene que considerar es el caso en que N = 2.

Definición: Un cubo-N de orden T es un arreglo N - dimensional de T^N celdas N - dimensionales.  Asignaremos a cada celda un número tomado del conjunto {0, 1 , ..., T^N - 1} de forma que no aparezcan números repetidos en el cubo. Expresaremos, por conveniencia, esos números en base T.

Notaciones: Sea x un entero tal que x < t^E. Notaremos como x₁...x_E su expresión en base t.

Si y es otro entero, notaremos con x ¤ y al entero cuya expresión en base t es Z₁...Z_E con

Z_i = x_i + y (mod t) .

S(t,E) significará el conjunto {0, 1 , ..., T^E - 1}.

La sucesión de Prouhet t-aria se notará {a_n}.

A continuación enuncio los dos teoremas fundamentales, sin demostración. Ésta puede verse en la bibliografía o, si alguien interesado no puede acceder a ella, puedo enviárselas por correo electrónico.

Teorema

Sea E divisible entre t. Entonces la función f:S(t,E) -> S(t,E) definida como f(n) = n ¤ a_n es una permutación de S(t,E).

Para el siguiente teorema, se considera un cubo-N de orden t^M con MN=E. Se asume que t divide a E y que M >= 1 si t es impar y M >=2 si t es par. Se indizan las celdas del cubo como 0, ..., t^E-1 siguiendo el orden lexicogéfico de las coordenadas de las celdas.

Teorema

Asignando el número f(n) a la n-ésima celda, se obtiene un cubo-N mágico de orden t^M.