Sumas Numerales

En todo lo siguiente supondremos que p es un número primo.

Suponemos los números menores que pⁿ escritos como como a₁a₂...a_n siendo las aes sus cifras al escribirlos en base p. Supongamos que tenemos dos números a₁a₂...a_n y b₁b₂...b_n. Definimos su suma numeral respecto a la base p como el número c₁c₂...c_n donde c₁ = a_i + b_i (mod p), 1 <= i <= n.

Ejemplo:

315 + 645 = 253 (base 7)

De esta definición sale naturalmente la idea de la multiplicación numeral de un número por un natural n. Se hace sumando el número n veces consigo mismo.

Serie numeral de primer orden

Es la sucesión de p términos de la progresión aritmética numeral de razón r₁ :

0  r₁ 2r₁ ... (p-1)r₁

El número  r₁ se llama llave de la serie, a la que notamos como ( r₁)_p o simplemente ( r₁) cuando está claro en qué base estamos trabajando.

Por ejemplo (413)₅ es 000 413 321 234 142.

En los p términos de la serie las p cifras del mismo rango son diferentes, si la cifra de ese rango no es 0 en la llave. En ese caso son los números 0 1 2 ... p-1 en cierto orden.

Si la llave tiene todas las cifras distintas de 0, se llama plena.

La serie ( r₁)_p se llama plena si  r₁ es plena.

Serie numeral de segundo orden

Consideremos, en la misma base p, una segunda serie (r₂) cuya llave  r₂ no sea un término de (r₁).

Sumando numeral y sucesivamente a los p términos de (r₁) los p términos de (r₂) obtenemos p² términos de lo que llamamos la serie numeral de segundo orden (r₁r₂)_p.  r₁ y  r₂ son las llaves.

La serie numeral de segundo orden es fácil de obtener en forma de tabla, donde por comodidad llamé r y s a las llaves:

Es trivial demostrar que todos los términos de la serie de 2o orden son diferentes, que si  r₁ y  r₂ son números de dos cifras, la serie(r₁r₂) reproducirá en un cierto orden los números de 0 a p²-1 y que la suma numeral de dos términos de la serie es otro término de la serie.

Cuadrados mágicos

La serie (r) que constituye la primer fila de la tabla de adición que acabamos de ver es una serie numeral.

Cada una de las otras filas se obtiene sumándole a ella numeralmente un cierto número.

Veremos que la suma aritmética de los términos de una serie plena (r)_p, cuya llave sea de dos cifras, es igual a la constante K= p(p²-1)/2 de un cuadrado con los p² números de 0 a p²-1.

Sea ab un término de la serie. La suma de todos los términos es

S(ap+b) = pSa + Sb

Si la serie es plena, las p cifras del mismo rango de sus términos son diferentes. Su conjunto está compuesto de todos los números de 0 a p-1 por lo que

Sa = Sb = (p-1)p/2

de donde el resultado es inmediato.

Si la serie (r) no es plena, la suma de sus términos no será igual a K.

Ahora vamos a demostrar que la suma de las demás filas de la tabla de suma numeral también es igual a K.

Si expresamos como ab un término de (r), podemos expresar un término de una fila cualquiera como ab+a'b' con a'b' constante. Esta suma numeral da el número a+a' b+b'.

Si la serie es plena, sus términos serán los números 0,...,p-1 en algún orden, y su suma numeral con a' o b' nos dará el mismo conjunto de números.

De donde:

S(a+a')=S(b+b')=p(p-1)/2    y       S[(a+a')p+b+b']=K= p(p²-1)/2

Obviamente hay un resultado absolutamente análogo para las columnas.

Hemos demostrado que si consideramos la tabla de adición numeral como un cuadrado, siendo las dos llaves plenas, el cuadrado es semimágico.

Para lograr la magia del cuadrado hay que lograr que la suma de sus diagonales sea K.

Supongamos que la serie numeral (rs) que representa el cuadrado es tal que r=a₁b₁ y s=a₂b₂.

Su diagonal principal es la serie numeral de primer orden (r+s). Para que sea mágica, es suficiente pedirle que sea plena o sea

a₁+a₂ <> 0 (mod p)

b₁+b₂ <> 0 (mod p)

La segunda diagonal es (r - s)_p + (p-1)s

por lo que si (r - s)_p es plena, su suma será K, y lo mismo la diagonal considerada.

Para que (r - s)_p sea plena:

a₁-a₂ <> 0 (mod p)

b₁-b₂ <> 0 (mod p).

Ejemplo de construcción:

Construiremos un cuadrado de lado 5.

Elegimos una llave plena de dos cifras distintas de 0 e inferiores a 5. Por ejemplo r=23.

La serie (23)₅ será la primera fila del cuadrado

La llave s=ab también debe ser plena y además

2 + a <>0       2-a<>0

3+b<>0            3-b<>0      (mod 5)

puede ser entonces a=1 o a=4 y b=1 o b=4.

Además s no puede pertenecer a (23)₅.

Elegimos s=11

Construimos el cuadrado como tabla de adición:

Si queremos podemos convertir a base 10 desde base 5 y sumar 1 en cada celda, con lo que colocaremos los números de 1 a 25: